前置知識(shí)：高等數(shù)學(xué)(一元函數(shù)微積分、無(wú)窮級(jí)數(shù))

????????形如

的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為x的冪級(jí)數(shù)，其中x為實(shí)數(shù)。在一個(gè)區(qū)間(-R,R)內(nèi)，冪級(jí)數(shù)可能收斂到一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(x)上，這個(gè)R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。收斂半徑可以用D'Alembert判別法或Cauchy判別法求得。對(duì)于f(x)，在相應(yīng)的收斂區(qū)間內(nèi)，冪級(jí)數(shù)展開(kāi)是唯一的。

????????冪級(jí)數(shù)是十分重要的，它為我們研究許多函數(shù)的性質(zhì)，包括眾多的非初等函數(shù)提供了便利。

????????冪級(jí)數(shù)具有很多優(yōu)良的性質(zhì)，可以進(jìn)行加減乘除、逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)微分運(yùn)算，除了除法運(yùn)算可能會(huì)使收斂半徑變小，其他運(yùn)算不影響收斂半徑。

????????Taylor級(jí)數(shù)則是形如

的冪級(jí)數(shù)。多數(shù)時(shí)候，我們關(guān)心其收斂到的和函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處的性質(zhì)，這時(shí)我們令x0=0

得到的級(jí)數(shù)也稱(chēng)Maclaurin級(jí)數(shù)。不過(guò)為了方便，我們不做嚴(yán)格區(qū)分，仍稱(chēng)之為T(mén)aylor級(jí)數(shù)。

? ? ????簡(jiǎn)單回顧了一下要用到的知識(shí)，下面我們開(kāi)始玩Taylor級(jí)數(shù)。

1.幾何級(jí)數(shù)

提示：對(duì)公比介于-1和1之間(當(dāng)然還要除去0)的等比數(shù)列求和公式取項(xiàng)數(shù)n趨于無(wú)窮時(shí)的極限。

????????對(duì)級(jí)數(shù)(1)稍作變換，可以得到很多結(jié)果：

????????用-x代替x得級(jí)數(shù)(2)

? ? ????用x2代替x得級(jí)數(shù)(3)

? ? ????用-x2代替x得級(jí)數(shù)(4)

????????級(jí)數(shù)(4)很有意思，在級(jí)數(shù)(1)~(3)中，和函數(shù)在x=-1或x=1處存在極點(diǎn)(使分母為0)，從而導(dǎo)致收斂半徑R=1。而級(jí)數(shù)(4)處處無(wú)極點(diǎn)，為何收斂半徑也為R=1？盡管使用D'Alembert判別法容易求得R=1，但至于背后的原因，我們先留個(gè)懸念，后面再說(shuō)這件事。

2.Newton二項(xiàng)級(jí)數(shù)

????????實(shí)際上，Newton對(duì)二項(xiàng)式定理進(jìn)行推廣，發(fā)現(xiàn)了級(jí)數(shù)(5)

其中

是組合數(shù)的推廣。

提示：從Taylor級(jí)數(shù)的定義公式(3)出發(fā)容易證明級(jí)數(shù)(5)。

????????利用級(jí)數(shù)(5)我們可以寫(xiě)出級(jí)數(shù)(6)(7)

其中n!!為雙階乘，表示所有小于等于n且奇偶性與n相同的正整數(shù)之積。如5!!=1×3×5=15。

提示：2?·n!=(2n)!!

3.對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)

提示：對(duì)級(jí)數(shù)(2)逐項(xiàng)積分得對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)(8)。

4.指數(shù)級(jí)數(shù)

提示：從Taylor級(jí)數(shù)的定義出發(fā)容易證明級(jí)數(shù)(9)。

????????接下來(lái)要用到Bernoulli數(shù)Bn，它有許多種定義方式，其中一種較為簡(jiǎn)單、易于手算的定義方式是是利用組合數(shù)，寫(xiě)出遞推式

并規(guī)定當(dāng)n=0時(shí)B0=1，這樣由公式(5)可依次算出B1=-1/2，B2=1/6，B3=0，B4=-1/30，B5=0……可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)除n=1外的全部奇數(shù)，Bn=0。這個(gè)定義方式實(shí)際上來(lái)源于對(duì)自然數(shù)冪次求和的問(wèn)題。(可參見(jiàn)數(shù)學(xué)漫談第1期中的數(shù)學(xué)歸納法，想想這種定義的合理性)

????????下面我們證明指數(shù)級(jí)數(shù)(10)[1]，其中涉及到Bernoulli數(shù)，并且對(duì)后續(xù)推導(dǎo)十分有用。

證明 設(shè)

????????于是有

????????逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)就有

等價(jià)于

????????將Bernoulli數(shù)的定義公式(5)稍作變形就能得到

????????對(duì)比得到

指數(shù)級(jí)數(shù)(10)得證。這也是定義Bernoulli數(shù)的另一種方法。至于其收斂半徑為什么是2π，我們也留到后面去說(shuō)。

5.三角級(jí)數(shù)

????????從指數(shù)級(jí)數(shù)(9)(10)出發(fā)可證明大部分三角級(jí)數(shù)。

證明 由指數(shù)級(jí)數(shù)(9)可知

????????而由歐拉公式

????????可知

????????于是前述兩式做差再除以2i即得級(jí)數(shù)(11)。

提示：對(duì)正弦級(jí)數(shù)(11)逐項(xiàng)求導(dǎo)得余弦級(jí)數(shù)(12)。

證明 由指數(shù)級(jí)數(shù)(10)

????????用2x替換x得

????????我們知道對(duì)于Bernoulli數(shù)Bn，當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，Bn=0，也就是說(shuō)等式右側(cè)只有偶數(shù)項(xiàng)非0。所以我們用2k替換k得

????????用ix替換x得

????????又(請(qǐng)觀眾同學(xué)自行證明)

????????代入即得余切級(jí)數(shù)(14)。

????????由于(請(qǐng)觀眾同學(xué)自行證明)

????????因此

????????兩側(cè)除以x即得正切級(jí)數(shù)(13)[2]。

????????接下來(lái)要用到Euler數(shù)En，與Bernoulli數(shù)類(lèi)似，它也有多種定義方式，其中一種易于手算的遞推定義方式為

并規(guī)定E0=1，其余(也就是n為奇數(shù)時(shí))En=0。利用公式(6)可以計(jì)算出E2=-1, E4=5, E6=-61……

提示：參考指數(shù)級(jí)數(shù)(10)的證明過(guò)程，類(lèi)似可證正割級(jí)數(shù)(15)。

提示：利用

結(jié)合余切級(jí)數(shù)(14)可證余割級(jí)數(shù)(16)。

6.反三角級(jí)數(shù)

提示：對(duì)級(jí)數(shù)(6)逐項(xiàng)積分可得反正弦級(jí)數(shù)(17)。

提示：對(duì)級(jí)數(shù)(4)逐項(xiàng)積分可得反正切級(jí)數(shù)(18)。

????????令反正切級(jí)數(shù)(18)中的x=1就得到了著名的Leibniz級(jí)數(shù)

????????反余弦函數(shù)、反余切函數(shù)分別與反正弦函數(shù)、反正切函數(shù)加和得到π/2，因此它們的級(jí)數(shù)很好表示。至于反正割函數(shù)和反余割函數(shù)，它們?cè)诙x域內(nèi)沒(méi)有Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)。

7.雙曲級(jí)數(shù)

????????(關(guān)于雙曲函數(shù)的定義，可以參考數(shù)學(xué)漫談第4期)

提示：根據(jù)雙曲函數(shù)的定義和指數(shù)級(jí)數(shù)(9)可證雙曲正弦級(jí)數(shù)(19)。

提示：對(duì)雙曲正弦級(jí)數(shù)(19)逐項(xiàng)求導(dǎo)可得雙曲余弦級(jí)數(shù)(20)。

提示：利用tanh(x)=-itan(ix)結(jié)合正切級(jí)數(shù)(13)可證雙曲正切級(jí)數(shù)(21)。

提示：在證明余切級(jí)數(shù)(14)時(shí)已經(jīng)證出雙曲余切級(jí)數(shù)(22)。

提示：利用sech(x)=sec(ix)結(jié)合正割級(jí)數(shù)(15)可證雙曲正割級(jí)數(shù)(23)。

提示：利用csch(x)=icsc(ix)結(jié)合余割級(jí)數(shù)(16)可證雙曲余割級(jí)數(shù)(24)。

8.反雙曲級(jí)數(shù)

提示：對(duì)級(jí)數(shù)(7)逐項(xiàng)積分可得反雙曲正弦級(jí)數(shù)(25)。

提示：對(duì)級(jí)數(shù)(3)逐項(xiàng)積分可得反雙曲正切級(jí)數(shù)(26)。

????????反雙曲余弦函數(shù)和反雙曲余切函數(shù)在定義域內(nèi)沒(méi)有Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)。至于反雙曲正割函數(shù)和反雙曲余割函數(shù)，等后面我們?cè)僮鲇懻摗?/p>

?

參考資料

[1]?(德)E. Zeidler等著. 數(shù)學(xué)指南——實(shí)用數(shù)學(xué)手冊(cè)[M]. 李文林等譯. 北京: 科學(xué)出版社, 2012

[2]?羅嚴(yán)塔爾. tan x的麥克勞林公式系數(shù)和伯努利數(shù)的關(guān)系是怎么得到的？ - 的回答[EB/OL].?https://www.zhihu.com/answer/913175006,?2019-11-27/2020-03-28