? ?最近十幾年，數(shù)學(xué)科普家都在熱推代數(shù)幾何，一提到代數(shù)幾何的內(nèi)容，就難免會提到各種各樣的層（sheaf），但嚴(yán)格說層論并不屬于代數(shù)幾何，可以作為拓?fù)渑c范疇的延伸理論。

??層論對于代數(shù)幾何而言，主要是一個數(shù)學(xué)工具，可以用來算上同調(diào)之類的，這正如拓?fù)鋵W(xué)對于分析而言是一個工具，這并不意味著拓?fù)鋵W(xué)就是分析學(xué)的分支。實際上，層論除了代數(shù)幾何而言，至少還在代數(shù)拓?fù)洌ǚ闯樱?，D-模理論、代數(shù)分析（微局部分析）等領(lǐng)域中起到關(guān)鍵的工具性作用。

??有些人可能是看到什么就以為是什么，比如有人要問我實變函數(shù)的問題，結(jié)果卻問了一個集合基數(shù)的問題，因為有的實變函數(shù)書就是以集合論作為開篇的，正如有些代數(shù)幾何的教材會以層論開篇。更有甚者，看到給小學(xué)生做一個立方體的智力題，就上綱上線說是立體幾何，然后就變成拿高中數(shù)學(xué)去刁難小學(xué)生了。

??層論除了作為工具之外，還有自身的發(fā)展邏輯。事實上，層論大致有下面三個層次：

??1）應(yīng)用層論：一般是概型上自帶的環(huán)層結(jié)構(gòu)，主要就是計算層的上同調(diào)，不討論層的內(nèi)部結(jié)構(gòu)細節(jié)。

??2）通用層論：在拓?fù)淇臻g上定義的抽象層，主要就是研究層自身的結(jié)構(gòu)，也包括層與其態(tài)射之間的關(guān)系，比如Grothendieck六算子，并用來處理代數(shù)拓?fù)涞确矫娴膯栴}。

??3）專用層論：在范疇上定義的Grothendieck層，主要是層的拓?fù)渌估碚摚╰opos theory），乃至于一般意義上的拓?fù)渌估碚摗?/p>

??還有一些人把層論看做代數(shù)幾何，可能是受到Grothendieck的影響。作為傳奇性的偉大數(shù)學(xué)家，Grothendieck開創(chuàng)了現(xiàn)代的代數(shù)幾何理論，他的工作貫穿了層的三個層次，于是有人把這三個層論都當(dāng)成了代數(shù)幾何，這在理論上是牽強的。

??應(yīng)用層論對于代數(shù)幾何，就相當(dāng)于點集拓?fù)鋵τ跀?shù)學(xué)分析。如果把應(yīng)用層論作為代數(shù)幾何，就相當(dāng)于把點集拓?fù)錃w為數(shù)學(xué)分析；如果把通用層論歸為代數(shù)幾何，就相當(dāng)于把代數(shù)拓?fù)湟矚w為數(shù)學(xué)分析；如果把專用層論歸為代數(shù)幾何，就相當(dāng)于把同調(diào)代數(shù)與范疇論都歸為數(shù)學(xué)分析。

??總而言之，應(yīng)用層論勉強可以作為代數(shù)幾何的工具，但這個工具并不是專門的，通用層論適合作為拓?fù)鋵W(xué)的延伸，最后也會反作用于代數(shù)拓?fù)?，而專用層論則是更多的與范疇和邏輯相結(jié)合，變成了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要領(lǐng)域。

??擴展閱讀：

??【1】Hartshorne R. Algebraic geometry[M]. Springer Science & Business Media, 2013. （代數(shù)幾何的高級參考書，自帶應(yīng)用層論的部分）

??【2】Bredon G E. Sheaf theory[M]. Springer Science & Business Media, 2012. （拓?fù)淇臻g上的層論參考書，屬于通用層論的范疇）

??【3】Johnstone P T. Topos theory[M]. Courier Corporation, 2014. （拓?fù)渌估碚摰慕?jīng)典參考書，屬于專用層論的范疇）