1.我們可以用自然數(shù)為原料，將所有的整數(shù)都制造出來。再用整數(shù)做原料，將所有有理數(shù)制造出來。

但是雖然√2可證明是無理數(shù)，但無法通過構(gòu)造開根號的方法制造所有無理數(shù)。本質(zhì)上開根號只是求代數(shù)方程的根，這只占無理數(shù)的極小部分，稱為“代數(shù)數(shù)”。

比如圓周率Π就不能通過求代數(shù)方程的根求解出來。這類數(shù)稱為“超越數(shù)”。

2.構(gòu)造無理數(shù)需要“無限過程”，以制造超越數(shù)。如使用無窮級數(shù)、連分?jǐn)?shù)、序列、閉區(qū)間套(無限小數(shù))、戴德金分割等。

3.定義實(shí)數(shù)

構(gòu)造的目標(biāo)：

①構(gòu)造出所有無理數(shù)

②有全序關(guān)系（序關(guān)系凸顯分析學(xué)的核心）

③定義代數(shù)運(yùn)算：加、減、乘、除

④拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

4.戴德金分割

分析數(shù)軸上某代數(shù)方程的某一個(gè)正根的位置(如√2) 和 由根分割出的前后兩個(gè)區(qū)間，可證明前面的區(qū)間沒有最大元素，后面的區(qū)間沒有最小元素。并且戴德金用算數(shù)化的語言描述了沒有最大(小)元素，即對于任意一區(qū)間內(nèi)元素，總可以找出另一個(gè)元素比它大(小)。

因此有理數(shù)域雖然稠密，但依然存在”空隙“，需要定義更大的數(shù)集來填滿這些空隙。

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戴德金分割【詳見講義中算術(shù)化語言的描述】：

對集合做一個(gè)劃分，切成兩個(gè)非空集合{α,β}。

首先，α向下封閉。

其次，α中無最大元素，

則稱：該劃分，確定了該集合上的一個(gè)戴德金分割。

集合若是有理數(shù)集，那么這樣的一個(gè)分割決定了一個(gè)實(shí)數(shù)。

我們常用下集α來談?wù)摲指睿虼丝梢哉f一個(gè)集合（即下集α），決定了一個(gè)實(shí)數(shù)。

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有理數(shù)域上，所有的戴德金分割的下集組成的集合稱為實(shí)數(shù)集。

在戴德金分割中，下集α沒有最大元素這一條件隱含了”無限過程“，整個(gè)下集本身就是一個(gè)無限逼近我們想要的數(shù)的過程。因此可用來構(gòu)造實(shí)數(shù)。

5.實(shí)數(shù)集的序結(jié)構(gòu)

戴德金分割構(gòu)造了實(shí)數(shù)，接下來需要定義序關(guān)系。

由于一個(gè)集合決定一個(gè)實(shí)數(shù)，集合的包含關(guān)系自然是一種序關(guān)系。

序關(guān)系中，我們可以用包含來定義小于等于。

并且可以證明，因?yàn)棣潦且粋€(gè)下集，所以這樣的包含關(guān)系一定是全序關(guān)系。因此，由此定義出來的實(shí)數(shù)集一定是全序集。

6.實(shí)數(shù)集上的運(yùn)算

加法：

由于當(dāng)前實(shí)數(shù)是由集合定義的，本身沒有集合加集合這樣的運(yùn)算。

我們可以任取兩個(gè)集合中的元素，這兩個(gè)元素相加（這兩個(gè)元素應(yīng)位于有理數(shù)域），其相加結(jié)果的值構(gòu)成的新集合，這就是加法運(yùn)算。