復(fù)習(xí)筆記Day113：概率論知識(shí)總結(jié)(五)

2023-03-04 22:54 作者:間宮_卓司 0人讀過(guò) | 我要投稿

雖然本來(lái)不打算看第七章的，但今天早上翻了一下課本，發(fā)現(xiàn)有的內(nèi)容我還是感興趣的，所以選著看一些

第七章隨機(jī)序列的收斂

§7.5 依分布收斂

定義7.5.1?(1)設(shè) $F_n$ 是 $%5Cmathbf%7BR%7D$ 上的分布函數(shù)。稱(chēng) $%5Cleft%5C%7B%20F_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 弱收斂，如果存在一個(gè)遞增右連續(xù)的函數(shù) $F$ ，使得對(duì)任何 $F$ 的連續(xù)點(diǎn) $x$ ，有 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7DF_n%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3DF%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ ，記為 $F_n%5Cxrightarrow%7Bw%7DF$ ;

(2)如果 $%5Cxi%20_n$ 的分布函數(shù)序列 $F_n$ 弱收斂于 $%5Cxi$ 的分布函數(shù) $F$ ，稱(chēng) $%5Cxi%20_n%5CRightarrow%20%5Cxi%20$ ，這里 $%5Cxi%20_n$ 和 $%5Cxi$ 甚至不需要是一個(gè)概率空間上的

$%5Cxi%20_n%5CRightarrow%20%5Cxi%20$ 個(gè)人感覺(jué)是一個(gè)很弱的條件，隨機(jī)序列 $%5Cxi_n$ 甚至可以不收斂，例如取 $%5Cxi$ 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， $%5Cxi_n%3D(-1)%5En%5Cxi$ ，那么 $%5Cxi_n$ 和 $%5Cxi$ 分布函數(shù)相同

定理7.5.1 設(shè) $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20%2C%5Cxi%20$ 是隨機(jī)變量，分別具有分布函數(shù) $%5Cleft%5C%7B%20F_n%20%5Cright%5C%7D%20%2CF$ 。如果 $%5Cxi%20_n%5Cxrightarrow%7Bp%7D%5Cxi%20$ ，則對(duì) $F$ 的任意連續(xù)點(diǎn) $x$ 有 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7DF_n%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3DF%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$

式中的 $%5Cxrightarrow%7Bp%7D$ 指的是依概率收斂，即 $%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cleft%7C%20%5Cxi%20_n-%5Cxi%20%5Cright%7C%5Cge%20%5Cvarepsilon%20%5Cright)%20%2C%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0$

定理7.5.2?( $%5Ctext%7BSkorohod%7D$ )設(shè) $F_n%2Cn%5Cge1$ ， $F$ 是 $%5Ctextbf%7BR%7D$ 上的分布函數(shù)，如果 $F_n%5Cxrightarrow%7Bw%7DF$ ，則存在概率空間 $%5Cleft(%20%5COmega%20%2C%5Cmathscr%7BF%7D%20%2C%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cright)%20$ 與其上的隨機(jī)變量 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20%2C%5Cxi%20$ 使得

(1) $%5Cxi_n$ 點(diǎn)點(diǎn)收斂于 $%5Cxi$

(2) $F_n$ 與 $F$ 分別是 $%5Cxi_n$ 與 $%5Cxi$ 的分布函數(shù)

這個(gè)定理的證明思路上和定理 5.1.2的證明有點(diǎn)像，先證明了在連續(xù)點(diǎn)處， $F_%7Bn%7D%5E%7B-1%7D$ 點(diǎn)點(diǎn)收斂于 $F$ ，然后再記 $%5Cxi%20_n%3DF_%7Bn%7D%5E%7B-1%7D%5Cleft(%20%5Ceta%20%5Cright)%201_%7B%5Cleft%5C%7B%20%5Ceta%20%5Cnotin%20D%20%5Cright%5C%7D%7D%2C%5Cxi%20%3DF%5E%7B-1%7D%5Cleft(%20%5Ceta%20%5Cright)%201_%7B%5Cleft%5C%7B%20%5Ceta%20%5Cnotin%20D%20%5Cright%5C%7D%7D$ ，其中 $%5Ceta$ 服從 $%5B0%2C1%5D$ 上的均勻分布， $1_%7B%5Cleft%5C%7B%20%5Ceta%20%5Cnotin%20D%20%5Cright%5C%7D%7D$ 是 $1_%7B%5Cleft%5C%7B%20x%5Cnotin%20D%20%5Cright%5C%7D%7D%5Cleft(%20%5Ceta%20%5Cright)%20$ 的意思， $D$ 是 $F$ 的不連續(xù)點(diǎn)集。那么 $%5Cxi_n$ 逐點(diǎn)收斂于 $%5Cxi$ ，且因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=D" alt="D">至多可列，所以 $%5Cxi_n%2C%5Cxi$ 的分布函數(shù)就是 $F_n%2CF$

定理7.5.3?( $%5Ctext%7BHelly-Bray%7D$ )設(shè)有分布函數(shù) $F_n%2CF$ 。則 $F_n%5Cxrightarrow%7Bw%7DF$ 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何有界連續(xù)函數(shù) $f$ ， $%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%7Bf%5Cmathrm%7Bd%7DF_n%7D%5Crightarrow%20%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%7Bf%5Cmathrm%7Bd%7DF%7D$

定理7.5.4?任何分布函數(shù)列 $%5Cleft%5C%7B%20F_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 有一個(gè)子列 $%5Cleft%5C%7B%20F_%7Bk_n%7D%20%5Cright%5C%7D%20$ 弱收斂

這個(gè)定理的證明看的我有點(diǎn)懵，我按照自己的理解寫(xiě)一下好了

取 $%5Cmathbf%7BR%7D$ 中的一個(gè)稠密點(diǎn)集 $D%3D%5C%7Bx_n%3An%5Cge1%5C%7D$ ，那么對(duì)于任何給定好的 $n$ ，可以找到點(diǎn)列 $%5Cleft%5C%7B%20F_n%5Cleft(%20x_1%20%5Cright)%20%5Cright%5C%7D%20$ 收斂子列 $%5Cleft%5C%7B%20F_%7Bk_%7Bn%7D%5E%7B%5Cleft(%201%20%5Cright)%7D%7D%5Cleft(%20x_1%20%5Cright)%20%5Cright%5C%7D%20$ ，接下來(lái)，對(duì)于點(diǎn)列 $%5Cleft%5C%7B%20F_%7Bk_%7Bn%7D%5E%7B%5Cleft(%201%20%5Cright)%7D%7D%5Cleft(%20x_2%20%5Cright)%20%5Cright%5C%7D%20$ ，又可以找到收斂子列 $%5Cleft%5C%7B%20F_%7Bk_%7Bn%7D%5E%7B%5Cleft(%202%20%5Cright)%7D%7D%5Cleft(%20x_2%20%5Cright)%20%5Cright%5C%7D%20$ ，一直這樣做下去，就可以找到函數(shù)序列 $%5C%7BF_n%5C%7D$ 的一個(gè)收斂子列 $%5Cleft%5C%7B%20F_%7Bk_%7Bn%7D%5E%7B%5Cleft(%20n%20%5Cright)%7D%7D%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cright%5C%7D%20$ ，使得其滿足 $%5Cleft%5C%7B%20F_%7Bk_%7Bn%7D%5E%7B%5Cleft(%20n%20%5Cright)%7D%7D%5Cleft(%20x_i%20%5Cright)%20%2Ci%5Cle%20n%5Cright%5C%7D%20$ 收斂，所以記 $k_%7Bn%7D%5E%7B%5Cleft(%20n%20%5Cright)%7D%3Dk_n$ 的話，

就有 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7DF_%7Bk_n%7D%5Cleft(%20x_i%20%5Cright)%20%2Cx_i%5Cin%20D%20%5Cright%5C%7D%20$ 收斂

接下來(lái)去證明 $%5Cleft%5C%7B%20F_%7Bk_n%7D%20%5Cright%5C%7D%20$ 確實(shí)是弱收斂的，首先記 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7DF_%7Bk_n%7D%5Cleft(%20x_i%20%5Cright)%20%3Dy_i$ ，那么如果弱收斂到的函數(shù)就被 $%5C%7By_i%5C%7D$ 所唯一確定了，所以不妨定義

$F%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%09y_i%2Cx_i%5Cin%20D%5C%5C%0A%09%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7Dy_%7Bx_0%5Cleft(%20n%20%5Cright)%7D%2Cx%3Dx_0%5Cnotin%20D%5C%5C%0A%5Cend%7Bcases%7D$

其中 $%5C%7Bx_0(n)%5C%7D%5Csubset%20D$ 且 $x_0%5Cleft(%20n%20%5Cright)%20%5Cdownarrow%20x_0$ ，下面來(lái)證明確實(shí)有 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7DF_%7Bk_n%7D%5Cleft(%20x_0%20%5Cright)%20%3DF%5Cleft(%20x_0%20%5Cright)%20$ ，其中 $x_0$ 是連續(xù)點(diǎn)，那么此時(shí) $F_%7Bk_n%7D%5Cleft(%20x_%7Bi_m%7D%20%5Cright)%20%5Cle%20F_%7Bk_n%7D%5Cleft(%20x_0%20%5Cright)%20%5Cle%20F_%7Bk_n%7D%5Cleft(%20x_%7Bj_n%7D%20%5Cright)%20$ ，其中 $x_%7Bn_j%7D%2Cx_%7Bn_i%7D%5Csubset%20D%2Ci%2Cj%3D1%2C2%2C%5Ccdots%20%2Cn$ ，令 $n%5Crightarrow%20%5Cinfty%20$ ，可得 $y_%7Bn_j%7D%5Cle%20%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7DF_%7Bk_n%7D%5Cleft(%20x_0%20%5Cright)%20%5Cle%20y_%7Bn_i%7D$ ，這里嚴(yán)格來(lái)說(shuō)要取上下極限，但是我懶得打了。再取 $x_%7Bi_m%7D%5Cuparrow%20x_0%2Cx_%7Bj_n%7D%5Cdownarrow%20x_0$ ，并分別令 $i%2Cj$ 趨于無(wú)窮，這就證明了結(jié)論