????????線性代數(shù)中，有關(guān)方程組 AX=b 和 AX=0 解的情況，很多同學(xué)都沒有搞清楚。

????????在這里，我以我的一點(diǎn)理解來解釋這個(gè)問題，文中的重要內(nèi)容用 加粗字體 展示，重要結(jié)論用?藍(lán)色字體?展示，文章的最后我還做了一些總結(jié)。因?yàn)槲易约阂彩菍W(xué)生，水平有限，如果有問題請(qǐng)指正哈。

????????首先，我們引入一個(gè)問題：

當(dāng) A 為 n 階方陣時(shí)，AX=b（b≠0）的解的情況：

????????在線性代數(shù)第一章行列式的內(nèi)容里，就講過克拉默法則這一求解線性方程組的利器。

????????若方程組 AX=b?中，矩陣A的行列式 D≠0，那么方程組有唯一解，這是因?yàn)椋?/p>

????????D在分母上，如果D≠0，那么x1, x2, ..., xn的值一定能一一求出來，所以x1, x2, ..., xn的值是唯一的，即方程組的解是唯一的。

????????反之，若|A| ≠ 0，則方程組不可能有唯一解，可能無解，也可能有無窮多解。

????????書本上還有另外一種判斷方法：

????????若 r(A) = r(A | b) = n，那么方程組有唯一解，其中 r(A) 表示方程A 的秩，r(A | b)表示A和b組成的增廣矩陣的秩，也可以寫成r(A,b)

????????若?r(A) = r(A | b) ，那么方程組有解。若r(A) = r(A | b) < n，則方程組有無窮多解，若?r(A) = r(A | b)?= n，那么方程組有唯一解。

????????若?r(A) ≠?r(A | b) ，那么方程組無解。

????????但是我想介紹的方法不是書上的這種，重點(diǎn)從這里開始：

????????這里，我就要引入解方程組中兩個(gè)重要的概念：行滿秩和列滿秩。

????????行滿秩就是矩陣的秩等于它的行數(shù)，列滿秩就是矩陣的秩等于它的列數(shù)。也可以理解為行滿秩就是矩陣的行向量組線性無關(guān)，列滿秩就是矩陣的列向量組線性無關(guān)。

????????行滿秩和列滿秩有以下的特點(diǎn)：

（1）若矩陣A行滿秩，那么AX = b（無論b是否為零向量）一定有解。

????????這個(gè)很好理解，如果A行滿秩了，那么A的增廣矩陣( A | b) 也一定行滿秩，這是因?yàn)锳和b組成的增廣矩陣不過就是在 A 的右邊增加了一列元素，而矩陣的行數(shù)沒有發(fā)生改變，而矩陣的秩一定不超過它的行數(shù)和列數(shù)（即 r(A) ≤ min{ m, n }，其中m和n分別表示行和列）。因此，若A行滿秩，那么一定有?r(A) = r(A | b) ，方程組一定有解。對(duì)于b ≠ 0的情況，我們便可以用行滿秩的方法判斷；而當(dāng)b = 0時(shí)，AX = 0是一定有解的，X = 0一定是它的解，不需要考慮是否行滿秩。

（2）若矩陣A列滿秩，那么當(dāng) AX = b（無論b是否為零向量） 有解時(shí)，解一定唯一；如果列不滿秩，那么當(dāng)AX=b有解時(shí)，一定有無窮多解。

????????矩陣A列滿秩，我們不能知道A是否有解，但是如果有解，那么一定有唯一解?；叵胍幌拢阍谧鼋夥匠探M的題目時(shí)，會(huì)經(jīng)常用到矩陣的初等行變換，你在變換的過程中，如果一個(gè)矩陣列不滿秩，你是一定會(huì)解出自由變量出來的，是不是這樣？

????????第一張圖矩陣A列滿秩，所以解不出自由變量出來。

????????第二張圖矩陣A列不滿秩，會(huì)解出自由變量，自由變量為x2。

????????如果有自由變量的存在，就不可能有唯一解，因?yàn)樽詈蟮慕庖欢ㄓ纱嬖?kα 的式子表示的，系數(shù)k的值是可以任意取的，所以有無窮多解。

????????行滿秩和列滿秩是非常重要的兩個(gè)概念。明白了這兩個(gè)概念后，我們來重新審視解方程組的四種問題。此時(shí)，在分析這些方程組解的問題的時(shí)候，你需要熟悉和使用行滿秩和列滿秩的思維。

1. 
   

   AX=b（b≠0），A為n階方陣

   
   

????????若 A 的行列式 |A| ≠ 0，意味著矩陣A滿秩，由于矩陣A是方陣，所以滿秩意味著行滿秩，而且列滿秩?；貞浺幌聞偛诺膬?nèi)容，行滿秩意味著一定有解，列滿秩意味著沒有自由變量。有解，而且解不出自由變量，那么一定有唯一解。

????????若 A 的行列式 |A| ＝?0，方陣A行不滿秩，那么可能有解，也可能無解；A的列不滿秩，所以存在自由變量，所以，若A有解，一定有無窮多解。

????????據(jù)此，我們可以得出結(jié)論：

????????方程組AX=b，b≠0，A為方陣，有唯一解的充分必要條件是A的行列式 |A| ≠ 0。

????????若|A| ＝ 0，那么方程組不可能有唯一解，可能無解，也可能有無窮多解。

????????根據(jù)結(jié)論，來練習(xí)一下：“ 若AX=b，其中A為方陣，b≠0，此方程組有無窮多解，那么一定有| A | = 0 ”，這句話正確嗎？

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????【答案】 正確

2. AX=b（b≠0），A為 n x m 階矩陣

??????剛剛我們討論了A為方陣的情況，那如果A不是方陣呢？比如A是3行4列的矩陣，那么A就沒有行列式這一說了。

????????我們還是用行滿秩和列滿秩的概念。如果行滿秩，那么一定有解；如果列滿秩，那么沒有自由變量，要么無解，要么有唯一解。

????????回憶一下，對(duì)于A為n階方陣的情況，書上有定理：

????????若?r(A) = r(A | b)?= n，那么方程組有唯一解，其中 r(A)?表示方程A?的秩，r(A | b)表示A和b組成的增廣矩陣的秩，也可以寫成r(A,b)；若?r(A) = r(A | b)?，那么方程組有解；若r(A) = r(A | b) < n，則方程組有無窮多解，若?r(A) = r(A | b)?= n，那么方程組有唯一解；若?r(A) ≠?r(A | b) ，那么方程組無解。

????????我們對(duì)其進(jìn)行推廣，推廣到A為任意n x m形式的矩陣：

????????若?r(A) = r(A | b)?= m，那么方程組有唯一解，其中 r(A)?表示方程A?的秩，r(A | b)表示A和b組成的增廣矩陣的秩，也可以寫成r(A,b)；

????????若?r(A) = r(A | b)?，那么方程組有解；若r(A) = r(A | b) < n，則方程組有無窮多解，若?r(A) = r(A | b)?= n，那么方程組有唯一解；

????????若?r(A) ≠?r(A | b) ，那么方程組無解。

????????是的，就是把?r(A) = r(A | b)?= n換成了r(A) = r(A | b)?=?m，其中m為矩陣A的列數(shù)。這里不進(jìn)行證明，請(qǐng)自行證明。

3. AX=0，A為方陣，和A為n x m矩陣的情況

????????我們知道，AX=0是一定有解的，不管矩陣A具體元素是什么，X=0總是這個(gè)方程組的解。所以，在AX=0的情況下，討論行是否滿秩沒有意義，重點(diǎn)是列是否滿秩。

????????由于AX=0一定有解，那么：

????????當(dāng)列不滿秩時(shí)，一定有無窮多解；列滿秩時(shí)，一定有唯一解。

????????當(dāng)A為方陣時(shí)，列滿秩即代表A的行列式|A|≠0，所以：當(dāng)A為方陣時(shí)，AX=0只有零解的充分必要條件為|A| ≠?0，這和AX=b的情況是一樣的。

?對(duì)于上述四種情況，可進(jìn)行以下總結(jié)：

對(duì)于方程組AX=b，其中A為任意 n x m 型矩陣，B為任意列向量（可能為0，也可能非0）

（1）若A為方陣，那么AX=b 有唯一解的充分必要條件是 |A| ≠ 0。

（2）若A為方陣，已知 AX=b 無解或有唯一解，那么一定有 |A| = 0。

（3）若b≠0，那么AX=b有解的一個(gè)充分條件是A行滿秩，即：若A行滿秩，那么AX=b一定有解；反之，若AX=b有解，不一定能說明A行滿秩，因?yàn)榭赡苡袩o窮多解。

（4）若b≠0，A列滿秩，那么AX=b要么無解，要么有唯一解；若A列不滿秩，那么AX=b要么無解，要么有無窮多解。是否有唯一解是區(qū)分是否列滿秩的標(biāo)準(zhǔn)。

（5）若b=0，那么AX=0只有零解的充要條件是A列滿秩，即A的列向量組線性無關(guān)；AX=0有非零解的充要條件是A列不滿秩。特別地，當(dāng)A為方陣時(shí)，AX=0只有零解的充要條件為A的行列式 | A | ≠ 0。

背結(jié)論沒有意義，重要的是理解！

????????你學(xué)會(huì)了嗎？來做一道簡單的題來測試一下：

（注：此文章經(jīng)過一次修改，此為修改后的版本。之前的文章有些許錯(cuò)誤。）