拓端tecdat|R語言時(shí)間序列TAR閾值自回歸模型
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為了方便起見，這些模型通常簡稱為TAR模型。這些模型捕獲了線性時(shí)間序列模型無法捕獲的行為，例如周期，幅度相關(guān)的頻率和跳躍現(xiàn)象。Tong和Lim（1980）使用閾值模型表明，該模型能夠發(fā)現(xiàn)黑子數(shù)據(jù)出現(xiàn)的不對(duì)稱周期性行為。
一階TAR模型的示例：
σ是噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差，Yt-1是閾值變量，r是閾值參數(shù)， {et}是具有零均值和單位方差的iid隨機(jī)變量序列。
每個(gè)線性子模型都稱為一個(gè)機(jī)制。上面是兩個(gè)機(jī)制的模型。
考慮以下簡單的一階TAR模型：
#低機(jī)制參數(shù)i1 = 0.3p1 = 0.5s1 = 1#高機(jī)制參數(shù)i2 = -0.2p2 = -1.8s2 = 1thresh = -1delay = 1#模擬數(shù)據(jù)y=sim(n=100,Phi1=c(i1,p1),Phi2=c(i2,p2),p=1,d=delay,sigma1=s1,thd=thresh,sigma2=s2)$y#繪制數(shù)據(jù)plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t',ylab=expression(Y[t])abline(thresh,0,col="red")
?TAR模型框架是原始TAR模型的修改版本。它是通過抑制噪聲項(xiàng)和截距并將閾值設(shè)置為0來獲得的：
框架的穩(wěn)定性以及某些規(guī)律性條件意味著TAR的平穩(wěn)性。穩(wěn)定性可以理解為，對(duì)于任何初始值Y1，框架都是有界過程。
在[164]中：
#使用不同的起點(diǎn)檢查穩(wěn)定性startvals = c(-2, -1.1,-0.5, 0.8, 1.2, 3.4)count = 1for (s in startvals) {ysk[1} else {ysk[i] = -1.8*ysk[i-1]}count = count + 1}#繪制不同實(shí)現(xiàn)matplot(t(x),type="l"abline(0,0)
Chan和Tong（1985）證明，如果滿足以下條件，則一階TAR模型是平穩(wěn)的
一般的兩機(jī)制模型寫為：
在這種情況下，穩(wěn)定性更加復(fù)雜。然而，Chan and Tong（1985）證明，如果
模型估計(jì)
一種方法以及此處討論的方法是條件最小二乘（CLS）方法。
為簡單起見，除了假設(shè)p1 = p2 = p，1≤d≤p，還假設(shè)σ1=σ2=σ。然后可以將TAR模型方便地寫為
如果Yt-d> r，則I（Yt-d> r）= 1，否則為0。CLS最小化條件殘差平方和：
在這種情況下，可以根據(jù)是否Yt-d≤r將數(shù)據(jù)分為兩部分，然后執(zhí)行OLS估計(jì)每個(gè)線性子模型的參數(shù)。
如果r未知。
在r值范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，該值必須在時(shí)間序列的最小值和最大值之間，以確保該序列實(shí)際上超過閾值。然后從搜索中排除最高和最低10％的值
在此受限頻帶內(nèi)，針對(duì)不同的r = yt值估算TAR模型。
選擇r的值，使對(duì)應(yīng)的回歸模型的殘差平方和最小。
#找到分位數(shù)lq = quantile(y,0.10)uq = quantile(y,0.90)#繪制數(shù)據(jù)plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t'abline(lq,0,col="blue")abline(uq,0,col="blue")
#模型估計(jì)數(shù)sum( (lq <= y ) & (y <= uq) )
80
如果d未知。
令d取值為1,2,3，...，p。為每個(gè)d的潛在值估算TAR模型，然后選擇殘差平方和最小的模型。
Chan（1993）已證明，CLS方法是一致的。
最小AIC（MAIC）方法
由于在實(shí)踐中這兩種情況的AR階數(shù)是未知的，因此需要一種允許對(duì)它們進(jìn)行估計(jì)的方法。對(duì)于TAR模型，對(duì)于固定的r和d，AIC變?yōu)?/p>
然后，通過最小化AIC對(duì)象來估計(jì)參數(shù)，以便在某個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)搜索閾值參數(shù)，以使任何方案都有足夠的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。
#估算模型#如果知道閾值#如果閾值尚不清楚#MAIC 方法for (d in 1:3) {if (model.tar.s$AIC < AIC.best) {AIC.best = model.tar.s$AICmodel.best$d = dmodel.best$p1 = model.tar.sar.s$AIC, signif(model.tar.s$thd,4)AICM
dAICR121311.2-1.0020112372.60.2218123388.4-1.387010
非線性測(cè)試
1.使用滯后回歸圖進(jìn)行目測(cè)。
繪制Yt與其滯后。擬合的回歸曲線不是很直，可能表明存在非線性關(guān)系。
在[168]中：
lagplot(y)
?
2.Keenan檢驗(yàn)：
考慮以下由二階Volterra展開引起的模型：
其中{?t} 的iid正態(tài)分布為零均值和有限方差。如果η=0，則該模型成為AR（mm）模型。
可以證明，Keenan檢驗(yàn)等同于回歸模型中檢驗(yàn)η=0：
其中Yt ^ 是從Yt-1，...，Yt-m上的Yt回歸得到的擬合值。
3. Tsay檢驗(yàn)：
Keenan測(cè)試的一種更通用的替代方法。用更復(fù)雜的表達(dá)式替換為Keenan檢驗(yàn)給出的上述模型中的項(xiàng)η（∑mj = 1?jYt-j）2。最后對(duì)所有非線性項(xiàng)是否均為零的二次回歸模型執(zhí)行F檢驗(yàn)。
在[169]中：
#檢查非線性: Keenan, Tsay#Null is an AR model of order 1Keenan.test(y,1)
$test.stat
90.2589565661567
$p.value
1.76111433596097e-15
$order
1
在[170]中：
Tsay.test(y,1)
$test.stat71.34$p.value3.201e-13$order1
4.檢驗(yàn)閾值非線性
這是基于似然比的測(cè)試。
零假設(shè)是AR（pp）模型；另一種假設(shè)是具有恒定噪聲方差的p階的兩區(qū)域TAR模型，即σ1=σ2=σ。使用這些假設(shè)，可以將通用模型重寫為
零假設(shè)表明?2,0 = ?2,1 = ... = ?2，p = 0。
似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以證明等于
其中n-p是有效樣本大小，σ^ 2（H0）是線性AR（p）擬合的噪聲方差的MLE，而σ^ 2（H1）來自TAR的噪聲方差與在某個(gè)有限間隔內(nèi)搜索到的閾值的MLE。
H0下似然比檢驗(yàn)的采樣分布具有非標(biāo)準(zhǔn)采樣分布；參見Chan（1991）和Tong（1990）。
在[171]中：
res = tlrt(y, p=1, d=1, a=0.15, b=0.85)res
$percentiles
14.1
85.9
$test.statistic
:?142.291963130459
$p.value
:?0
模型診斷
使用殘差分析完成模型診斷。TAR模型的殘差定義為
標(biāo)準(zhǔn)化殘差是通過適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)化的原始?xì)埐睿?/p>
如果TAR模型是真正的數(shù)據(jù)機(jī)制，則標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖應(yīng)看起來是隨機(jī)的?？梢酝ㄟ^檢查標(biāo)準(zhǔn)化殘差的樣本ACF來檢查標(biāo)準(zhǔn)化誤差的獨(dú)立性假設(shè)。
#模型診斷diag(model.tar.best, gof.lag=20)
預(yù)測(cè)
預(yù)測(cè)分布通常是非正態(tài)的。通常，采用模擬方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。考慮模型
然后給定Yt = yt，Yt-1 = yt-1，...
因此，可以通過從誤差分布中繪制et + 1并計(jì)算h（yt，et + 1），來獲得單步預(yù)測(cè)分布的Yt + 1的實(shí)現(xiàn)。 。
通過獨(dú)立重復(fù)此過程?B?次，您可以?從向前一步預(yù)測(cè)分布中隨機(jī)獲得B值樣本?。
可以通過這些B?值的樣本平均值來估計(jì)提前一步的預(yù)測(cè)平均值?。
通過迭代，可以輕松地將仿真方法擴(kuò)展為找到任何l步提前預(yù)測(cè)分布：
其中Yt = yt和et + 1，et + 2，...，et + l是從誤差分布得出的ll值的隨機(jī)樣本。
在[173]中：
#預(yù)測(cè)model.tar.pred r.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)y.pred = ts(clines(ts(model.tar.pred$pred.interval[2,], start=end(y) + c(0,1), freq=1), lty=2)lines(ts(model
樣例
這里模擬的時(shí)間序列是1700年至1988年太陽黑子的年數(shù)量。
在[174]中：
#數(shù)據(jù)集#太陽黑子序列，每年plot.ts(sunsp
#通過滯后回歸圖檢查非線性lagplot(sunspo)
#使用假設(shè)檢驗(yàn)檢查線性Keenan.test(sunspot.year)Tsay.test(sunspot.year)
$test.stat
18.2840758932705
$p.value
2.64565849317573e-05
$order
9
$test.stat
3.904
$p.value
6.689e-12
$order
9
在[177]中：
#使用MAIC方法AIC{sunspot.tar.s = tar(sunspot.year, p1 = 9, p2 = 9, d = d, a=0.15, b=0.85)AICM
dAICR121228522.7692224841.0993222631.5794225147.8875229684.8936229119.8897227243.9998224448.5929222147.593
在[178]中：
#測(cè)試閾值非線性tl(sunspot.year, p=9, d=9, a=0.15, b=0.85)
$percentiles
15
85
$test.statistic
:?52.2571950943405
$p.value
:?6.8337179274236e-06
#模型診斷
tsdiag(sunspot.tar.best)
#預(yù)測(cè)sunspot.tar.pred <- predict(sunspot.tar.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)lines(ts(sunspot.tar.pred$pretart=e
#擬合線性AR模型#pacf(sunspot.year)#嘗試AR階數(shù)9ord = 9ar.mod <- arima(sunspot.year, order=c(ord,0,0), method="CSS-ML")plot.ts(sunspot.year[10:289]
模擬TAR模型上的AR性能
示例1.?將AR（4）擬合到TAR模型
set.seed(12349)#低機(jī)制參數(shù)i1 = 0.3p1 = 0.5s1 = 1#高機(jī)制參數(shù)i2 = -0.2p2 = -1.8s2 = 1thresh = -1delay = 1nobs = 200#模擬200個(gè)樣本y=sim(n=nobs,Phi1=c(i1,p1),Phi$y#使用Tsay的檢驗(yàn)確定最佳AR階數(shù)ord <- Tsay.test(y)$order#線性AR模型#pacf(sunspot.year)#try AR order 4
例子2.?將AR（4）擬合到TAR模型
例子3.?將AR（3）擬合到TAR模型
例子3.?將AR（7）擬合到TAR模型
參考文獻(xiàn)
恩德斯（W. Enders），2010年。應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)時(shí)間序列
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