插值與擬合

2023-08-18 21:46 作者:Guan_時(shí)空 0人讀過 | 我要投稿

插值與擬合

引言：我們經(jīng)常會(huì)遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，例如數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法。此類問題在MATLAB中有很多現(xiàn)成的函數(shù)可以調(diào)用，熟悉MATLAB，這些方法都能游刃有余的用好。

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插值法

1.?插值的基本原理

在實(shí)際中，常常要處理由實(shí)驗(yàn)或測量所得到的一些離散數(shù)據(jù)。插值與擬合方法就是要通過這些數(shù)據(jù)去確定某一類已知函數(shù)的參數(shù)或?qū)で竽硞€(gè)近似函數(shù)，使所得到的近似函數(shù)與已知數(shù)據(jù)有較高的擬合精度。如果要求這個(gè)近似函數(shù)（曲線或曲面）經(jīng)過所已知的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，則稱此類問題為插值問題。（不需要函數(shù)表達(dá)式）

2.插值方法

選用不同類型的插值函數(shù)，逼近的效果就不同，一般有：

（1）分段線性插值（二維插值）

（2）Hermite插值

（3）樣條插值（二維插值）

（4）拉格朗日插值算法（一維插值）

（5）牛頓插值

如果使用拉格朗日插值或者牛頓插值等一段插值算法，使用均勻節(jié)點(diǎn)構(gòu)造高次多項(xiàng)式差值時(shí)，在插值區(qū)間的邊緣的誤差可能造成龍格現(xiàn)象。它是由Runge在研究多項(xiàng)式差值的誤差時(shí)發(fā)現(xiàn)的，這一發(fā)現(xiàn)很重要，因?yàn)樗砻?，并不是插值多?xiàng)式的階數(shù)越高，效果就會(huì)越好。

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（1）分段線性插值

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方法：分段線性將每兩個(gè)相鄰的節(jié)點(diǎn)用直線連起來，如此形成的一條折線就是分段線性插值函數(shù)。計(jì)算點(diǎn)的插值時(shí)，只用到左右的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，計(jì)算量與節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n無關(guān)。

假設(shè)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)為（x1，y1）和（x2，y2），則該區(qū)間上的一次線性方程為：

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證明過程：

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知識(shí)點(diǎn)：

a.分段線性插值運(yùn)算量較小，插值誤差較小，插值函數(shù)具有連續(xù)性，但是由于在已知點(diǎn)的斜率是不變的，所以導(dǎo)致插值結(jié)果不光滑，存在角點(diǎn)。

b.分段線性插值存在較好的收斂性，n越大，即分段越多，插值的誤差也就越小，函數(shù)收斂越接近原函數(shù)

插值的MATLAB實(shí)現(xiàn)

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圖像結(jié)果如下：

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（2）分段三次Hermite插值

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Hermite 插值就是要求插值函數(shù)不僅經(jīng)過所給節(jié)點(diǎn)，而且要保證在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也相等。

以3個(gè)點(diǎn)為例，想要使用分段3次Hermite 插值求出這三個(gè)點(diǎn)的插值函數(shù)：

分析一下，每一段三次hermite插值多項(xiàng)式 $%20f(x)%3Da%2Bb*x%2Bc*x%5E2%2Bd*x%5E3$

?都有4個(gè)未知系數(shù)需要求解，三個(gè)點(diǎn)就是兩段，那么就有2*4=8個(gè)未知數(shù)。8個(gè)未知數(shù)，就需要聯(lián)立8元一次方程組，需要8個(gè)方程：

$S%20%0A0%0A%E2%80%8B%0A%20(x%20%0A0%0A%E2%80%8B%0A%20)%3Dy%20%0A0%0A$

$%0A%E2%80%8B%0A%20%0AS%20%0A0%0A%E2%80%8B%0A%20(x%20%0A1%0A%E2%80%8B%0A%20)%3Dy%20%0A1%0A%E2%80%8B%0A$

$%0A%E2%80%8B%0A%20%0AS%20%0A1%0A%E2%80%8B%0A%20(x%20%0A1%0A%E2%80%8B%0A%20)%3Dy%20%0A1%0A%E2%80%8B%0A%20%0A$

$S%20%0A0%0A%E2%80%B2%0A%E2%80%8B%0A%20(x%20%0A1%0A%E2%80%8B%0A%20)%3DS%20%0A1%0A%E2%80%B2%0A%E2%80%8B%0A%20(x%20%0A1%0A%E2%80%8B%0A%20)$ ?一階導(dǎo)數(shù)值相等

上面有5個(gè)方程，還差3個(gè)方程，這三個(gè)方程從定義中可知，需要知道每個(gè)點(diǎn)x 0 、 x 1 、 x 2

即 $S%20%0A0%0A%E2%80%B2%0A%E2%80%8B%0A%20(x%20%0A0%0A%E2%80%8B%0A%20)%E3%80%81S%20%0A1%0A%E2%80%B2%0A%E2%80%8B%0A%20(x%20%0A1%0A%E2%80%8B%0A%20)%E3%80%81S%20%0A1%0A%E2%80%B2%0A%E2%80%8B%0A%20(x%20%0A2%0A%E2%80%8B%0A%20)$ 的導(dǎo)數(shù)值必須已知，但是實(shí)際工程中是不太可能知道每個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值的。因?yàn)?，你連原函數(shù)都不知道，怎么能知道導(dǎo)數(shù)值呢？

總結(jié)一下：Hermite插值在實(shí)際使用的時(shí)候沒有多大意義，同時(shí)知道點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)，還假裝不知道原函數(shù)的情況，不多(PS:都知道導(dǎo)數(shù)了有什么計(jì)算的必要？)

插值的MATLAB實(shí)現(xiàn)

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（2）三次樣條插值

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樣條函數(shù)是一個(gè)重要的逼近工具，在插值、數(shù)值微分、曲線擬合方面有著廣泛的應(yīng)用。

在引出樣條插值的詳細(xì)內(nèi)容之前，我們來看看之前的插值方式的優(yōu)缺點(diǎn)。

插值方式優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)多項(xiàng)式Lagrange插值整體性強(qiáng)，光滑性好不一定收斂分段多項(xiàng)式Lagrange插值局部性好，收斂性保證光滑性差（相鄰區(qū)間點(diǎn)處不可導(dǎo)，尖點(diǎn)）分段多項(xiàng)式Hermite插值局部性好，滿足一定光滑性，收斂性得到保證需要倒數(shù)信息

為了集合上述方法的優(yōu)點(diǎn)避免缺點(diǎn)，我們就提出了樣條插值法。樣條插值是一個(gè)收斂性好，光滑性好，不需要過多導(dǎo)數(shù)信息，只要函數(shù)值信息的插值方法。

用一句話來講：

三次樣條插值就是將原始長序列分割成若干段構(gòu)造多個(gè)三次函數(shù)（每段一個(gè)），使得分段的銜接處具有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的性質(zhì)（也就是光滑銜接）。

插值的MATLAB實(shí)現(xiàn)

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各個(gè)插值優(yōu)缺點(diǎn)：

1.2. 擬合的基本原理

如果不要求近似函數(shù)通過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它能較好地反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的近似函數(shù)的方法稱為數(shù)據(jù)擬合。（必須有函數(shù)表達(dá)式）近似函數(shù)不一定（曲線或曲面）通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)。

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