預(yù)備知識：

1. 數(shù)列l(wèi)im （1+1/n）^n=e，（1+1/n）^n<e.

2. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

3. 雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個(gè)向量的向量積，再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個(gè)雙重向量積；

4. 性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；

5. （axb）xc=（ac）b-（bc）a；

6. 拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）。
   

7. 矩陣乘法運(yùn)算律——
   

   a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

   e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

8. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。

9. 矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；

10. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

11. A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）

12. E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
    

    方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

    方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

13. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。

14. 定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對稱矩陣。

15. 定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。

16. 矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng)?編著）

2. 《解析幾何》（呂林根 許子道?編）

3. 《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——

是證明下述命題：若lim（2an-an-1）=0，則lim an=0.

證：

1. lim（2an-an-1）=0，即對任意ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，|2an-an-1|<ε；

2. 簡單的絕對值不等式，|2an|-|an-1|<=|2an-an-1|<ε，即|an|<|an-1|/2+ε/2；

3. |an|

   <|an-1|/2+ε/2

   <（|an-2|/2+ε/2）/2+ε/2

   =|an-2|/2^2+ε/2^2+ε/2

   <……

   <|aN|/2^（n-N）+ε/2^（n-N）……+ε/2^2+ε/2

   =|aN|/2^（n-N）+（ε/2）[1-（1/2）^（n-N）]/（1-1/2）

   =|aN|/2^（n-N）+ε[1-（1/2）^（n-N）]

   <|aN|/2^（n-N）+ε；

4. {|aN|/2^（n-N）}顯然是無窮小，存在自然數(shù)N'>N，n>N'時(shí)，|aN|/2^（n-N）<ε；

5. 由3、4，當(dāng)n>N'時(shí)，|an|<|aN|/2^（n-N）+ε<2ε，即lim an=0.

解析幾何——

例題（來自《解析幾何（呂林根 許子道?編）》）——

證明：（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a.

證：

1. 令c=a'xb'，

   （axb）x（a'xb'）

   =（axb）xc

   =（ac）b-（bc）a

   =（ca）b-（cb）a

   =（a'，b'，a）b-（a'，b'，b）a.

   =（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；

2. （axb）x（a'xb'）

   =-（a'xb'）x（axb）

   =-（a'，a，b）b'+（b'，a，b）a'

   =（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'，證畢。

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——

方陣A如果滿足A^2=E，那么稱A為對合矩陣。證明：如果A、B都是n級對合矩陣，且|A|+|B|=0，那么A+B、E+AB都不可逆。

證：

1. 因?yàn)锳為對合矩陣，即A^2=E，則|A^2|=1，|A|=1或-1，同理，|B|=1或-1；

2. 由于|A|+|B|=0，不妨令|A|=1，|B|=-1；

3. |A+B|=|A||A+B|=|A（A+B）|=|A^2+AB|=|E+AB|，

   |A+B|=-|A+B||B|=-|（A+B）B|=-|AB+B^2|=-|AB+E|=-|E+AB|=-|A+B|；

   |A+B|=|E+AB|=0，所以A+B、E+AB都不可逆，證畢。

到這里！