? ? 大家好，今天來探討一下神秘的級(jí)數(shù)知識(shí)，又到了考研季，高中同學(xué)們好好觀摩一下師哥師姐們的追求吧，也許再過幾年就輪到你了……

? ? 這兩天被一個(gè)很神奇的計(jì)算π的公式刷屏了，

這是怎么搞的呢？就是一個(gè)級(jí)數(shù)的知識(shí)。高中朋友都知道

???? 這是等比數(shù)列求和公式，是不是感覺與求π那公式有點(diǎn)像？但還不夠像，你有沒有想過，如果n它不是個(gè)固定值呢？如果是正無窮呢，也就是說我的數(shù)列是無窮項(xiàng)，那么一直加，和會(huì)是什么呢？當(dāng)然如果|x|>1，那么結(jié)果也是無窮的，無法分辨出大小，當(dāng)公比x絕對(duì)值小于1時(shí)才可能計(jì)算和的結(jié)果。

? ? 實(shí)際情況n會(huì)是無窮嗎？當(dāng)然了，高中生都學(xué)過幾何分布吧，就是第k次首次成功的概率，這就是一個(gè)很好的應(yīng)用，我們知道有 ，計(jì)算期望有些老師會(huì)講，過程是這樣的

為了看著簡(jiǎn)單，令q=1-p，那么有

將每項(xiàng)都拆開，與后面配一下，可配出

這里很多老師會(huì)告訴大家?q絕對(duì)值是小于1的，因此n取極限就是0了，有

同理又變成一個(gè)關(guān)于q的等比數(shù)列，q也是絕對(duì)值小于1的，因此有

就這樣推導(dǎo)出幾何分布的期望是1/p

??? 雖然草率的推導(dǎo)一下，但其過程中反復(fù)利用了公比的絕對(duì)值小于1的等比數(shù)列的技巧。如果加到無窮就先列出極限那個(gè)式子，先設(shè)共n項(xiàng)，最后再取極限，因此我們可以確定，當(dāng)x絕對(duì)值小于1時(shí)，有

如果反著寫，再將x換成-x，那么你會(huì)發(fā)現(xiàn)非常神奇的結(jié)果，即

當(dāng)x=0時(shí)，我們就有

1=1

當(dāng)x=0.5時(shí)，有

2/3=1-0.5+0.25-0.125+…

??? 三等分角就可以用這原理來作，這里就不過度科普了，繼續(xù)吧，我們知道arctan x的導(dǎo)數(shù)是1/(1+x2)，如果你不知道怎么來的，那就看看下面過程

x=tan y

x'=(tan y)'

1=sec2 y?y'

y'=cos2?y

y'=1/(1+tan2?y)

y'=1/(1+x2)

這個(gè)明確了，那么結(jié)合前面計(jì)算的等式，再將x換成x2，我們有

等式右側(cè)是導(dǎo)數(shù)值，反著寫回去將獲得更多天空，即

其實(shí)這步驟不怎么嚴(yán)密了，畢竟加上常數(shù)項(xiàng)也是同樣的結(jié)果，高中階段大概了解一下就好，我們知道arctan 1=π/4

??? 但這里1正好是邊界，別忘了前面等式成立的都是x絕對(duì)值小于1 的情況，你可以找到1/√3來代替，等等，不過高等數(shù)學(xué)里面已經(jīng)證明出來了，x=1時(shí)也是成立的，那么我們就可以列等式了，即

??? 是不是感覺又找到了一種計(jì)算π的近似值的方法？不要那么天真了，這個(gè)精確度太低了，曾經(jīng)試驗(yàn)過，用程序計(jì)算這個(gè)值，算到電腦明顯精度不夠的時(shí)候，得出來的π剛好是3.1415926，跟祖沖之的結(jié)果一樣，可見當(dāng)年祖沖之的成就還是很難被超越的。

??? 怎么樣？是不是感覺很神奇，其實(shí)如果掌握級(jí)數(shù)的知識(shí)，會(huì)認(rèn)識(shí)到更多不可思議的結(jié)果，這里很多都不嚴(yán)密的，了解一下就好，學(xué)了高數(shù)還要討論收斂性等等，就不多說了，慢慢加油吧！這月考研了，不論是高中生還是考研學(xué)子，都加油吧，舍棄了圣誕的歡樂換來對(duì)夢(mèng)想的拼搏，也是很值得的！