本文作者：基斯·德夫林，斯坦福大學數學教授

編譯作者：Math001

哆嗒數學網小編按：本文依據中國的社交媒體的語境，做了些許修改，不影響總體意思。

關注?哆嗒數學網?每天獲得更多數學趣文

你也許經常在社交媒體上看到類似如下的觀點：

因為西方帝國主義或殖民主義的思想，產生了2 + 2 = 4 的這種思想文化產物。而我們只能以這種方式去思考這個問題。

就問題本身，這其實是教育專家和中小學老師們經常討論的教育問題之一。但是， 很多時候社交媒體中的討論是失控的。大多情況下，他們根本不知道問題是什么(或者說知道的人微乎其微)。而大部分人都沒就事論事，都在謾罵或者攻擊自己畫的靶子。

網絡中的討論總是迅速爆發(fā)，然后又慢慢沉寂。但這個討論讓我不得不思考它本身帶來的問題，討論點不是網上最集中的“中小學是應該否在數學教育內支持多元化”的問題，而是討論我從事的大學數學。所以，考慮到觀看我文章的讀者群，我來提出這樣一個問題：

如何看待 2 + 2 = 4 是一種文化產物這句話？

我們稍后會回來討論這個問題。但是，我們先用社交媒體上的爭吵的例子來設置場景。

社交媒體上的瘋狂討論

通過向那些不言自明的知識詢問“你怎么知道的”來提出質疑，在各個學科都屢見不鮮，——即使是我們通常認為理所當然的最基礎的想法。討論通常用簡單的例子來說明，其中一些還會用圖像和諺語來反復解釋。2 + 2 = 4 也是同樣類型的問題。

例如早在 20 世紀初，懷特海和羅素就撰寫了一部研究數學邏輯基礎的三卷本巨著《數學原理》。其中他們使用了更簡單的恒等式 1 + 1 = 2作為一個說明性的例子，用 350 多頁的篇幅，從書中的第一性原理開始，通過邏輯演繹來證明它是真的。

他們的目的不是檢驗這個命題在現實生活意義下是否正確。這顯然是正確。他們是為了確定數學的邏輯正確性。因為羅素展示過一些看似顯然的數學事實最后導致了邏輯矛盾的例子，所以他們有了做這項工作的動機。他們證明了 1 + 1 = 2 這種基本的等式可以形式化的證明，以及如何證明。

懷特海和羅素是幸運的，因為1910 年還沒有網絡社交媒體，這兩位學者完全在劍橋大學的象牙塔世界中開展工作，因此沒有引來過多的嘲諷。但是對于在純粹學術世界（甚至可以說是與世隔絕的世界）之外的人來說，使用如此簡單的例子來討論學術問題，無異于在斗牛場上向公牛抖動紅布—— 于是，在討論 2 + 2 = 4 這個恒等式的網絡討論中，引來了許多“公?！薄M管這絕不是社交媒體第一次因為它不理解的事情而失去集體意識。（奧威爾在他的反烏托邦未來主義小說《一九八四》描寫過2 + 2 = 4 這一場景，這可能使這塊“破紅布”在當前的網絡氛圍中顯得更加鮮紅。）

網絡大軍對于 2 + 2 = 4 的討論中，真正忽略的關鍵詞其實是“思想”。

在這個特定的背景下，這個詞帶來了巨大的沖擊。之前討論的基本問題是（正在討論同樣是）：數學的本質是什么，誰來制定數學的規(guī)則，誰來決定哪些人可以參與，什么是正確或好的數學，數學在社會中扮演何種角色，我們到底在談論誰的社會？?

2 + 2 = 4 之所以常常被這樣的討論，是因為在任何人類的文化圈，無論按計數還是算術的角度來說，它的結果都等于4，沒有任何異議。在所有的文化圈內，都認為是對的。實際上，歷代思想家和作者們一直在使用這樣的語句來說明什么是“顯然的事實”。從 16 世紀開始，經常將其與 2 + 2 = 5 的這樣的“顯然的錯誤”來與其對比。

覺得它沒有異議原因是，如果你在現實生活中數數，2個2個合起來就是4個?，F在我們不得不用這個簡單可笑、毫無爭議、普遍認同的例子來討論做數學研究的潛在深層次問題?，F實總是這樣充滿戲劇性。

在網絡討論中真正涉及的問題之前，讓我們還是回到問題本身。2 + 2 = 4是否是一種文化產物？我再次強調，為清楚起見，我們討論的問題不是去糾結如果你左手拿2個東西，右手拿2個東西，然后你總共拿了4個東西這樣的問題。網絡大軍中的有些人過多在這樣層次的問題上糾纏，只能顯露他們的無知——甚至缺乏基本的常識。但是，社交媒體上這樣的人非常多。

數學是一種文化產物嗎

所以，你同意 2 + 2 = 4這個命題是一種文化產物嗎？

從我本人的經驗來看，具有博士學歷以上的數學專家們會強烈反對2 + 2 = 4是文化產物的說法。在這樣文化氛圍中，2 + 2 = 4一個普遍的事實，無論是從理論上講，還是從經驗上講。我長大成人后一直處于這樣的文化中，我也絕對的這樣看待 2 + 2 = 4 的。

為什么會這樣？或者說， 這種經驗主義的想法從何而來？

是的，任何從事數學研究的人最終都會有一種強烈的感覺，那就是做數學是一個發(fā)現的過程 —— 發(fā)現 關于抽象領域的永恒真理。

為什么呢？通過回顧人類大腦的進化以及其運行機制，我們來尋找答案。有在抽象領域發(fā)現知識的感覺是充分沉浸在數學思考中的必然結果。畢竟，無論我們思考的是眼睛看到的東西還是其他感官體驗到的東西，我們對現實的感知都會歸結為人的神經活動。因此，人類創(chuàng)造的抽象世界也不可避免地有現實世界的投射。我們的創(chuàng)造活動和其他活動的區(qū)別只是：一個是由大腦思考引發(fā)的神經活動模式，一個是由感官輸入引發(fā)的神經活動模式。這個層面講，模式是相似的，也就會有相似的“真實”的感覺。

[題外話：我每每在公開講座種被問道“數學是發(fā)明還是發(fā)現的時候”，我總會回答“既是發(fā)明，又是發(fā)現”，這就是原因]

但無論這種感受如何而來，那種在永恒的“柏拉圖領域”中發(fā)現真理的過程的感覺會誘使你認為一切都是經驗的。?

我的一生都被這種文化包圍，我能理解這個。但關鍵是，這是某種文化圈內部的觀點。它多大程度上經得起我們進一步的推敲。

對于2 + 2 = 4， 如果我尋求的某種絕對的確定答案，我當然可以回歸到我的生活經驗。如果我左手有兩個東西，而右手也有兩個，那我總共有四個。對此我絕無異議。剛開始的時候，學者們的討論也沒在這里糾結。在我看來，網絡大軍種有人說這也是問題的關鍵，并給出其它答案，純粹是為了享受打嘴仗的過程。但我看來，這是一種嘩眾取寵。(從最壞的角度來說)

但，讓我們更進一步。

我很小的時候就學會2 + 2 = 4了。然后，到了高中，我接觸到了新知識 0.999… = 1 . 這個沒有辦法用具體的實體辦法來驗證正確性了。但是我能用簡單的邏輯論證來讓我相信這個結果。

但這只是因為我接受了這樣一種思想，即你可以通過基于一組初始假設（“公理”）的邏輯推理得出正確答案。后來，隨著年齡見長和知識量的擴充，我才明白了一個道理：公理作為事實被承認，只是因為老一輩的數學家認為它應該是真理，并把它們設置成為了公理。（毋庸置疑，他們設置公理的時候有著充分的理由——至少，在把數學看成為某種目的服務的工具的這種數學文化中是合理的，比如，把數學看成對太陽系和其他物理系統(tǒng)的提供準確預測、數值描述的工具。）?

然而，盡管我知道事情的真相是這樣的，但我仍然將 0.999… = 1 視為與 2 + 2 = 4 具有相同地位的經驗事實（對于抽象的數學柏拉圖領域來說）。換句話說，我相信它。

另一方面，我絕不相信下面的等式：

1 + 2 + 3 + 4 +? 5 + … = –1/12

我知道那個邏輯鏈條，“0.999… = 1”不過是邏輯鏈條上的一環(huán)。這樣的推理不可逆轉的得到了這個反直覺的結論。(所以之前不應該是“另一方面”，而應該是同一理由)

這一個邏輯鏈條散發(fā)著誘人的理性，在邏輯上是形式推理的正確，我只需要一堆初始要件就可以做出解釋，從而得到整個數學大禮包。這些要件是一些初看起來非常簡單，又能具體抽象描述的經驗事實的文化產物。諸如我的左手拿兩個東西，右手拿兩個，我總共拿了四個東西。?

[題外話：需要說明一點，關于將現實世界的情況具體化為抽象方程。我需要強調一下，在本文中，我不關注語言本身的問題，無論是自然語言還是數學的符號語言。當然，這些也是文化產物，語言的結構會影響做數學過程，但本文聚焦在語言構建后指向的數學。]

當我們得到數學大禮包后，如果你堅決不允許邏輯鏈條在中途斷裂的話，你會發(fā)現自己將面對一些高度反直覺的等式，尤其是當我們不得不處理無窮帶來的問題的時候，比如0.999... 。如果回避這樣的問題，絕大多數數學教授都會失業(yè)。(嗯？)所以，我也和所有數學家一樣，被限制在這個大禮包之中。

在數學大禮包里的真理中，一些能在日常生活中驗證(2 + 2 = 4) 。一些符合人們的直覺，并和現實世界中大量的觀測結果相符 (0.999… = 1)。還有一些，專業(yè)的數學家(也只能是他們)會給一些美妙的解釋，讓你超脫對現實世界的第一感覺去理解它 (1 + 2 + 3 + … = –1/12)。

這個數學大禮包是一種文化產物。難道還能不是？我覺得，很多關于“所有數學都是文化產物”這樣問題的討論，都沒有搞清數學“真理的普遍性”的提法本身就是基于某種文化的思想。

我們數學家認為數學與文化無關的原因是：我們處于認為它無關的文化之中。在數學家之外更廣泛的范圍，我也懷疑在工業(yè)化的現代社會的大多數人都認為數學是“文化中立”的學科。

我需要補充一點，數學并非是一幅“西方文化”圖景。它根植于任何依托工程技術發(fā)展壯大的文明，最遠可以追溯到一萬年前蘇美人開始有計數歷史的年代。

順便說一句，原始討論中對帝國主義和殖民主義的提及顯然促成了某種煽動效應。從表面上看（就像我第一眼看到的那樣），論點基于算術是西方社會的發(fā)明，但事實并非如此。

實際上，計數和算術遠遠早于西方社會的成型。很多文化都認為它推動了數學的進步。這里說這個是先澄清一個事實，因為對科學技術的高度依賴，西方社會才將數學置于中心舞臺，讓它成為除了母語外唯一的必修的中小學課程。

數學是誰的文化？

如我所述， 2 + 2 = 4 的討論引發(fā)了對專業(yè)數學在文化中扮演的角色的思考。中小學數學教育也是這次討論的一部分。所以也引來了不同背景的學生的參與。

中小學教育工作者傳授學科知識的目的與高等教育不同。中小學教育試圖將下一代帶入他們成長的文化中，并使他們熟悉社會并在社會的各個方面?zhèn)鞒形幕Ｔ谶@些傳授的文化中，包括一些“學術學科”，數學學科(或者說數學學科的一部分)也是其中之一。

在這種背景下，大家關于文化在數學教育中的作用進行了半個世紀的研究，并撰寫了很多文章。下面的判斷也許是錯的，就是我懷疑許多大學數學教育者對這些文獻并不熟悉，就算有熟悉的也是極少數。我也只是在職業(yè)生涯中期才逐漸知道這些。大概在2000年左右，我當時在數學科學教育委員會任職，與美國中小學數學教育專家中的領軍人物一起探討這些問題。

在我查閱過著作的學者中，我發(fā)現最有幫助的一位（結合我作為職業(yè)數學家的觀點）是 Alan J. Bishop。為了快速（所以就強推了）介紹他的思想，我推薦他 1988 年的論文《Mathematics Education in Its Cultural Context》發(fā)表在 1988年5月第I卷的《Educational Studies in Mathematics》。這篇文章的篇幅只有12頁。

Bishop 特別解釋了他所說的“數學是人類文化的產物”的具體含義，同時闡述了它橫跨所有的現代文化成為一種普適性的知識體系的過程。

他發(fā)現現代人類社會中，人們都會進行以下活動：

計數、定位、測量、設計、玩耍以及解釋

他提到，“數學作為一種文化性知識，產生于人們持續(xù)、有意識的方式參與這六種普遍活動”

他繼續(xù)詳細闡述了這個觀點。我會讓你和我本人一樣，自我思考一下，在你看完那六項活動后，你的腦海中已經勾勒出這六項活動如何產生數學的一些典型場景。這與我在《數學猶聊天：人人都有數學基因》一書中闡述的因數學思維能力的進化從而獲得的理性重構的解釋沒有區(qū)別。

所以請務必看看 Bishop 的觀點。（如果你在大學里，您應該可以通過所在學校訪問資源，從而免費獲得文章）在我看來，他的許多教育觀點與中小學教育更相關一些，但我覺得他們的問題可以提升到專業(yè)數學界——如果我們各自的領域看成整個大的數學界的一部分。

[題外話：當然，不是所有的數學家都持有相同觀點，而且社會更多需要專注于其學科具體細節(jié)的數學家和科學家。我年輕的時候就是這樣的數學家。如果你也是這樣，我會很驚訝這篇文章你居然讀到了這里。反正我年輕的時候，就不可能看到現在。]

我在下面列出了我初步閱讀 Bishop 的文章時向自己思考過的問題。

你的意見是什么？?

人們對數學持有不同的文化觀嗎？

這里文化的含義是什么？它是誰的文化？

這些觀點是否隨著時間而改變？在歷史長河里或在我們有限的一生中，是否有過關于什么是“可接受的”或“好的”數學的爭論？（記住下面這些歷史爭論和變遷：貝克萊主教的無窮小魔鬼、負數和虛數存在性討論、喬治·康托爾的無限集理論及其算術、懷特海和羅素花了大約 350 頁1 + 1 = 2的證明、不同公理體系集合論在實分析和代數等“堅實”學科中產生的矛盾結果、非標準分析以及近來流行的實驗數學。）?

如果您是一名在學術界以外從事數學相關工作的人，與大學數學中的學到的數學相比，對于優(yōu)先級判定、優(yōu)劣方案判定、可接受方案判定，你是否經歷過與大學內容不同方法和理念。

在您的學校里，物理系、生物系和統(tǒng)計系是否認可數學系為他們開設的核心課程，或者說應該如何在開設課程上與他們達成一致？?

驅動數學研究的目標是什么，找尋數學真理還是別的什么？公理的設置和定理的證明只是達成目標的中間過程？?

誰來決定什么人能進入數學學術界？

誰來決定用于數學研究的科研經費的分配？

關于數學倫理的工作應該數學家來做還是別的人來做？

我還能提出更多類似的問題。但我希望你明白我想表達的重點：如果你相信存在一種我們稱之為“數學”的純粹知識體系或純粹思維方式，那你在相信一種神話。?

當然，在某些數學文化中，數學看起來都很純粹且定義明確。在純數學的各個分支以及物理學家和工程師所做的數學尤其如此。但是，這很大程度取決于數學在對應領域扮演的角色！所以，如果你在那種文化中，這一切似乎都沒有爭議。在更模糊的生物學和統(tǒng)計學世界中，就沒那么清晰了。如果數學應用于當今社會學和政治學的許多重要領域時，情況會更混亂。

[題外話：最后一點我有親身經歷。首先，1987 年把我英國的研究帶到斯坦福，試圖用數學來發(fā)展信息和通信理論，以理解新興信息技術的作用。研究其在生產生活中發(fā)揮的作用，并指導新信息技術的開發(fā)和使用。后來，在斯坦福大學繼續(xù)研究，嘗試將數學用于 IT 和建筑行業(yè)，然后用于美國國防部各個分支機構的項目。那些項目都超級混亂。我們參與其中的所有人都沒有對我們正在使用或研究的數學有任何具體的討論。在許多情況下，稱其為數學的唯一理由是它使用數學符號，并且是研究數學的數學家做出來的！雖然我們確實在學術會議上發(fā)表過演講，偶爾也會在同行評審的期刊上發(fā)表論文，但成功與否很大程度上取決于我們的工作對我們經費提供者是否有用。]

但這就是問題所在。我們可以合理地提出這些問題（并且在某些情況問題還不簡單），這些問題能提出來就表明數學是文化的產物。即使是看似純粹和定義明確的東西，這種確定感只有在你深度置于產生它的文化里時，才會存在。

當然，你也許不同意我的看法。我懂了，這肯定表明我們遵循著不同的數學文化。

關注?哆嗒數學網?每天獲得更多數學趣文