散度在高等數(shù)學(xué)、場(chǎng)論里面和梯度、旋度一樣，都是一個(gè)比較抽象的概念，大部分同學(xué)在初次接觸到的時(shí)候，都很難準(zhǔn)確把握。本文試圖在教材、網(wǎng)絡(luò)現(xiàn)有資源的基礎(chǔ)上，提出一種自己的見解。

先看有關(guān)散度表達(dá)式：

從上述定義可以看出，散度是某個(gè)矢量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量的偏導(dǎo)數(shù)之和，也就是一種變化率之和，因此，散度的本質(zhì)應(yīng)該是一種變化率。

散度的定義一：

散度的定義二：

再看兩條對(duì)于散度的解釋：

常用的關(guān)于散度的解釋圖。

再看高斯通量定理：

結(jié)合上面材料，下面就個(gè)人理解，對(duì)散度進(jìn)行如下解釋：按散度解釋一，散度表示場(chǎng)中一點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率。那么，如何理解這句話呢？現(xiàn)在，我們假設(shè)，圖一散度中的球體，外面包裹了一塊同樣球形的膜，那么，這層膜就包圍了這個(gè)球體所發(fā)出的所有電力線（電通量），我們假設(shè)電力線的數(shù)目是10000根，而此時(shí)這層膜的體積等于1，那么電通量體密度就是10000；再假設(shè)這層膜現(xiàn)在擴(kuò)大到原來體積的10倍（ 意味著單位體積元離開帶電球體的距離增加），根據(jù)高斯定理公式一，這層膜包圍的電通量不會(huì)改變，一直都等于10000，那么此時(shí)電通量體密度就是1000；那么，這層膜的體積在由1變到10的過程中，電通量體密度就由10000變到了1000，電通量密度隨體積變大10倍而改變的比例是（10000-1000）/10000=90%；再假設(shè)這層膜的體積由10變到100，經(jīng)過同樣分析，電通量密度隨體積變大10倍而改變的比例還是（1000-100）/1000=90%。

這一結(jié)果和我們對(duì)于太陽光的感覺是一致的：即太陽光的強(qiáng)弱變化是隨著離開太陽距離的變化所做的一種勻速的，等比例的變化過程。對(duì)照?qǐng)D三，這個(gè)公式和前面的分析結(jié)果是一致的，也就是說，在帶電球體的外側(cè)，散度即電通量體密度的變化率是相同的，而這句話的真正含義就是：電場(chǎng)散度即電場(chǎng)中任一點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率是指：這一點(diǎn)電通量體密度的變化，是和該點(diǎn)距離帶電球體的遠(yuǎn)近（相對(duì)應(yīng)的那層球形膜的體積）成比例變化的，而這個(gè)比例在帶電球體外的任何一點(diǎn)都是固定的，即單位體積內(nèi)包圍的電力線的根數(shù)是和這個(gè)體積元與帶電球體的距離成比例增加或減少的。

假設(shè)我們面前有一個(gè)燈泡，現(xiàn)在我們勻速倒退離開這個(gè)燈泡，我們會(huì)感覺到，燈泡的亮度是逐漸變暗的，也就是和我們離開的距離成比例變暗的。

有了上面的分析結(jié)果，我們?cè)倏纯瓷厦娴纳⒍冉忉尪?strong>散度可理解為通過包圍單位體積閉合面的通量。

那么，這樣的表述是有問題的，至少是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，可以考慮更改為：散度可理解為通過包圍單位體積閉合面的通量的變化率。

再看百度百科對(duì)散度有一個(gè)描述：散度是描述空氣從周圍匯合到某一處或從某一處流散開來程度的量。水平散度是氣體在單位時(shí)間內(nèi)水平面積的變化率。如果面積增大，散度取正值，為水平輻散；如果面積縮小，散度取負(fù)值，為水平輻合。三維空間的散度表示任意氣塊在單位時(shí)間內(nèi)其單位體積的變化率。

其中最后一句的含義和本文分析的結(jié)果是相通的。

前面分析已經(jīng)指出，電場(chǎng)散度即電場(chǎng)中任一點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率。

由此我們猜想，那個(gè)變化率應(yīng)該就是

里面的那個(gè)p。為了證明這個(gè)猜想，現(xiàn)假設(shè)包圍體電荷q的球膜的體積由V變?yōu)榱薞0,由于q始終不變，所以V0越大，單位體積元中通過的電力線數(shù)目越少，兩者是反比關(guān)系，此時(shí)單位體積元中的電力線數(shù)目改變?yōu)閅：

Y=pV/V0，

由于p就是最大的單位體積里的電力線密度，所以單位體積里的電力線數(shù)目只能在這個(gè)基礎(chǔ)上去減少。這里V是常量，但V0是變量，因此V/V0是變量，這里用X代替，那么，

Y=pX

這個(gè)方程就表示了體電荷q之外某一點(diǎn)所在的單位體積內(nèi)包含的電力線數(shù)目隨這一點(diǎn)離開體電荷q的距離（即變化的體積V0）變化而變化的方程。

再按照?qǐng)D二的解釋，散度表示的是電場(chǎng)中一點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率，而方程Y=pX表示的則是電場(chǎng)中一點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化關(guān)系，因此將Y對(duì)X求導(dǎo)，則dY/dX=p，而dY/dX表示的正是電場(chǎng)中一點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率，即散度。由此我們知道了，

這個(gè)符號(hào)原來就是方程Y=pX的斜率。這就從根本上解釋了

這個(gè)公式的真正內(nèi)涵。

現(xiàn)給出散度

的直觀圖解，如圖四所示。

圖四中，有兩個(gè)相同的體積元A和B，假設(shè)穿過A的電力線數(shù)目為100，穿過B的電力線數(shù)目為10，A距離帶電球體的距離是R,B距離帶電球體的距離是r,則散度表示的就是

（100-10）/（R-r），即單位體積內(nèi)通過的電力線數(shù)目隨距離的變化率。