有理數(shù)可數(shù)的證明：

上面方法的證明思路就是，通過(guò)把所有的有理數(shù)都沒(méi)有遺漏地一個(gè)個(gè)列出來(lái)（m/n中先m等于1，n變化，再m=2,n變化，。。。），并去除相同的數(shù)字，從而證明有理數(shù)確實(shí)是可以數(shù)出來(lái)的。

無(wú)理數(shù)不可數(shù)的證明：

如果無(wú)理數(shù)可數(shù)，則無(wú)理數(shù)能用正整數(shù)編號(hào)。

1 0.a11a12a13……

2 0.b11b12b13……

3 0.c11c12c13……

但是我們能找到一個(gè)無(wú)理數(shù)，這個(gè)數(shù)字十分位與a11的不同，百分位與b12的不同，千分位與c13的不同，等等。于是這個(gè)無(wú)理數(shù)與上面列出來(lái)的全不相等，也就是以上數(shù)列不可能包含所有的無(wú)理數(shù)。矛盾。因此無(wú)理數(shù)是不可數(shù)的。

這種方法并不能同樣適用于證明有理數(shù)也不可數(shù)，因?yàn)闊o(wú)法保證找出來(lái)的那個(gè)數(shù)還是有理數(shù)。

從而有理數(shù)可數(shù)，無(wú)理數(shù)不可數(shù)，因此實(shí)數(shù)也不可數(shù)。