反正是故事，別太當(dāng)真，看著好玩就行

小時(shí)候喜歡看雜書，沒什么東西看，不正在搞文化嘛？不過看進(jìn)去了兩個(gè)“化”：機(jī)械化和自動(dòng)化。打小就沒有弄明白，這機(jī)械化和自動(dòng)化到底有什么差別，機(jī)器不是自己就會(huì)動(dòng)的嗎？長(zhǎng)大了，總算稍微明白了一點(diǎn)，這機(jī)械化是力氣活，用機(jī)器代替人的體力勞動(dòng)，但還是要人管著的，不然機(jī)器是不知道該干什么不該干什么的；這自動(dòng)化嘛，就是代替人的重復(fù)腦力勞動(dòng)，是用來管機(jī)器的。也就是說，自動(dòng)化是管著機(jī)械化的，或者說學(xué)自動(dòng)化的是管著學(xué)機(jī)械的……啊，不對(duì)，不對(duì)，哪是哪??！

有人考證古代就有自動(dòng)化的實(shí)例，但現(xiàn)代意義上的自動(dòng)控制開始于瓦特的蒸汽機(jī)。據(jù)說紐考門比瓦特先發(fā)明蒸汽機(jī)，但是蒸汽機(jī)的轉(zhuǎn)速控制問題沒有解決，弄不好轉(zhuǎn)速飛升，機(jī)器損壞不說，還可能說大事故。瓦特在蒸汽機(jī)的轉(zhuǎn)軸上安了一個(gè)小棍，棍的一端和放汽閥連著，放氣閥松開來就關(guān)閉，轉(zhuǎn)速增加；按下去閥就打開，轉(zhuǎn)速降低；棍的另一端是一個(gè)小重錘，棍中間某個(gè)地方通過支點(diǎn)和轉(zhuǎn)軸連接。轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)起來的時(shí)候，小棍由于離心力的緣故揮起來。轉(zhuǎn)速太高了，小棍揮會(huì)揮得很高，放汽閥就被按下去打開，轉(zhuǎn)速下降；轉(zhuǎn)速太低了，小棍揮不起來，放汽閥就被松開來關(guān)閉，轉(zhuǎn)速回升。這樣，蒸汽機(jī)可以自動(dòng)保持穩(wěn)定的轉(zhuǎn)速，即保證安全，又方便使用。也就是因?yàn)檫@個(gè)小小的轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器，瓦特的名字和工業(yè)革命連在一起，而紐考門的名字就要到歷史書里去找了。

類似的例子在機(jī)械系統(tǒng)里很多，家居必備的抽水馬桶是另一個(gè)例子。放水沖刷后，水箱里水位降低，浮子隨水面下降，進(jìn)水閥打開。隨著水位的升高，進(jìn)水閥逐漸關(guān)閉，直到水位達(dá)到規(guī)定高度，進(jìn)水閥完全關(guān)閉，水箱的水正好準(zhǔn)備下一次使用。這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單但非常巧妙的水位控制系統(tǒng)，是一個(gè)經(jīng)典的設(shè)計(jì)，但不容易用經(jīng)典的控制理論來分析，不過這是題外話了。

這些機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)巧妙，工作可靠，實(shí)在是巧奪天工。但是在實(shí)用中，如果每次都需要這樣的創(chuàng)造性思維，那太累，最好有一個(gè)系統(tǒng)的方法，可以解決“所有”的自動(dòng)控制問題，這就是控制理論的由來。

從小大人就教我們，走路要看路。為什么呢？要是不看著路，走路走歪了也不知道，結(jié)果就是東撞西撞的。要是看著路呢？走歪了，馬上就看到，趕緊調(diào)整腳步，走回到正道上來。這里有自動(dòng)控制里的第一個(gè)重要概念：反饋（feedback）。

反饋是一個(gè)過程：

1、設(shè)定目標(biāo)，對(duì)小朋友走路的例子來說，就是前進(jìn)的路線。

2、測(cè)量狀態(tài)，小朋友的眼睛看著路，就是在測(cè)量自己的前進(jìn)方向。

3、將測(cè)量到的狀態(tài)和設(shè)定的目標(biāo)比較，把眼睛看到的前進(jìn)方向和心里想的前進(jìn)方向作比較，判斷前進(jìn)方向是否正確；如果不正確，相差有多少。

4、調(diào)整行動(dòng)，在心里根據(jù)實(shí)際前進(jìn)方向和設(shè)定目標(biāo)的偏差，決定調(diào)整的量。

5、實(shí)際執(zhí)行，也就是實(shí)際挪動(dòng)腳步，重回正確的前進(jìn)方向。

在整個(gè)走路的過程中，這個(gè)反饋過程周而復(fù)始，不斷進(jìn)行，這樣，小朋友就不會(huì)走得東倒西歪了。但是，這里有一個(gè)問題：如果所有的事情都是在瞬時(shí)里同時(shí)發(fā)生的，那這個(gè)反饋過程就無法工作。要使反饋工作，一定要有一定的反應(yīng)時(shí)間。還好，世上之事，都有一個(gè)過程，這就為反饋贏得了所需要的時(shí)間。

小時(shí)候，媽媽在鍋里蒸東西，蒸好了，從鍋里拿出來總是一個(gè)麻煩，需要抹布什么的墊著，免得燙手。但是碗和鍋的間隙不大，連手帶抹布伸進(jìn)去頗麻煩，我常常不知天高地厚，自告奮勇地徒手把熱的碗拿出來。只要?jiǎng)幼骺?，手起碗落，可以不燙手。當(dāng)然嘍，要是捧著熱碗再東晃晃，西蕩蕩，那手上感覺的溫度最終會(huì)和熱碗一樣，肯定要把手心、手指燙熟不可的。在從接觸碗到皮膚溫度和碗表面一樣，這里面有一個(gè)逐漸升溫的過程，這就是動(dòng)態(tài)過程（dynamic process）。這里面有兩個(gè)東西要注意：一個(gè)是升溫的過程有多快，另一個(gè)是最終的溫度可以升到多少。要是知道了這兩個(gè)參數(shù)，同時(shí)知道自己的手可以耐受多少溫度，理論上可以計(jì)算出熱的碗在手里可以停留多少時(shí)間而不至于燙手。

反饋過程也叫閉環(huán)（closed loop）過程。既然有閉環(huán)，那就有開環(huán)（open loop）。開環(huán)就是沒有反饋的控制過程，設(shè)定一個(gè)控制作用，然后就執(zhí)行，不根據(jù)實(shí)際測(cè)量值進(jìn)行校正。開環(huán)控制只有對(duì)簡(jiǎn)單的過程有效，比如洗衣機(jī)和烘干機(jī)按定時(shí)控制，到底衣服洗得怎么樣，烘得干不干，完全取決于開始時(shí)的設(shè)定。對(duì)于洗衣機(jī)、烘干機(jī)這樣的問題，多設(shè)一點(diǎn)時(shí)間就是了，稍微浪費(fèi)一點(diǎn)，但可以保證效果。對(duì)于空調(diào)機(jī)，就不能不顧房間溫度，簡(jiǎn)單地設(shè)一個(gè)開10分鐘、關(guān)5分鐘的循環(huán)，而應(yīng)該根據(jù)實(shí)際溫度作閉環(huán)控制，否則房間里的溫度天知道到底會(huì)達(dá)到多少。記得80年代時(shí)，報(bào)告文學(xué)很流行。徐遲寫了一個(gè)《哥德巴赫猜想》，于是全國人民都爭(zhēng)當(dāng)科學(xué)家。小說家也爭(zhēng)著寫科學(xué)家，成就太小不行，所以來一個(gè)語不驚人死不休，某大家寫了一個(gè)《無反饋快速跟蹤》。那時(shí)正在大學(xué)啃磚頭，對(duì)這個(gè)科學(xué)新發(fā)現(xiàn)大感興趣，從頭看到尾，也沒有看明白到底是怎么無反饋快速跟蹤的?，F(xiàn)在想想，小說就是小說，不過這無良作家也太扯，無反饋還要跟蹤，不看著目標(biāo)，不看著自己跑哪了，這跟的什么蹤啊，這和永動(dòng)機(jī)差不多了，怎么不挑一個(gè)好一點(diǎn)的題目，冷聚變什么的，至少在理論上還是可能的。題外話了。

在數(shù)學(xué)上，動(dòng)態(tài)過程用微分方程描述，反饋過程就是在描述動(dòng)態(tài)過程的微分方程的輸入項(xiàng)和輸出項(xiàng)之間建立一個(gè)關(guān)聯(lián)，這樣改變了微分方程本來的性質(zhì)。自動(dòng)控制就是在這個(gè)反饋和動(dòng)態(tài)過程里做文章的。

房間內(nèi)的空調(diào)是一個(gè)簡(jiǎn)單的控制問題。不過這只是指單一房間，整個(gè)高層大樓所有房間的中央空調(diào)問題實(shí)際上是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題，不在這里討論的范圍。夏天了，室內(nèi)溫度設(shè)在28度，實(shí)際溫度高于28度了，空調(diào)機(jī)啟動(dòng)致冷，把房間的溫度降下來；實(shí)際溫度低于28度了，空調(diào)機(jī)關(guān)閉，讓房間溫度受環(huán)境氣溫自然升上去。通過這樣簡(jiǎn)單的開關(guān)控制，室內(nèi)溫度應(yīng)該就控制在28度。不過這里有一個(gè)問題，如果溫度高于28度一點(diǎn)點(diǎn)，空調(diào)機(jī)就啟動(dòng)；低于28度一點(diǎn)點(diǎn)，空調(diào)機(jī)就關(guān)閉；那如果溫度傳感器和空調(diào)機(jī)的開關(guān)足夠靈敏的話，空調(diào)機(jī)的開關(guān)頻率可以無窮高，空調(diào)機(jī)不斷地開開關(guān)關(guān)，要發(fā)神經(jīng)病了，這對(duì)機(jī)器不好，在實(shí)際上也沒有必要。解決的辦法是設(shè)立一個(gè)“死區(qū)”（dead band），溫度高于29度時(shí)開機(jī)，低于27度時(shí)關(guān)機(jī)。注意不要搞反了，否則控制單元要發(fā)神經(jīng)了。

有了一個(gè)死區(qū)后，室內(nèi)溫度不再可能嚴(yán)格控制在28度，而是在27到29度之間“晃蕩”。如果環(huán)境溫度一定，空調(diào)機(jī)的制冷量一定，室內(nèi)的升溫/降溫動(dòng)態(tài)模型已知，可以計(jì)算溫度“晃蕩”的周期。不過既然是講故事，我們就不去費(fèi)那個(gè)事了。

這種開關(guān)控制看起來“土”，其實(shí)好處不少。對(duì)于大部分過程來說，開關(guān)控制的精度不高但可以保證穩(wěn)定，或者說系統(tǒng)輸出是“有界”的，也就是說實(shí)際測(cè)量值一定會(huì)被限制在一定的范圍，而不可能無限制地發(fā)散出去。這種穩(wěn)定性和一般控制理論里強(qiáng)調(diào)的所謂漸進(jìn)穩(wěn)定性不同，而是所謂BIBO穩(wěn)定性，前者要求輸出最終趨向設(shè)定值，后者只要求在有界的輸入作用下輸出是有界的，BIBO指bounded input bounded output。

對(duì)于簡(jiǎn)單的精度要求不高的過程，這種開關(guān)控制（或者稱繼電器控制，relay control，因?yàn)樽钤邕@種控制方式是用繼電器或電磁開關(guān)來實(shí)現(xiàn)的）就足夠了。但是很多時(shí)候，這種“毛估估”的控制滿足不了要求。汽車在高速公路上行駛，速度設(shè)在定速巡航控制，速度飄下去幾公里，心里覺得吃虧了，但要是飄上去幾公里，被警察抓下來吃一個(gè)罰單，這算誰的？

開關(guān)控制是不連續(xù)控制，控制作用一加就是“全劑量”的，一減也是“全劑量”的，沒有中間的過渡。如果空調(diào)機(jī)的制冷量有三個(gè)設(shè)定，：小、中、大，根據(jù)室溫和設(shè)定的差別來決定到底是用小還是中還是大，那室溫的控制精度就可以大大提高，換句話說，溫度的“晃蕩”幅度將大幅度減小。那么，如果空調(diào)機(jī)有更多的設(shè)定，從小小到小中到……到大大，那控制精度是不是更高呢？是的。既然如此，何不用無級(jí)可調(diào)的空調(diào)機(jī)呢？那豈不可以更精確地控制室溫了嗎？是的。

無級(jí)可調(diào)或連續(xù)可調(diào)的空調(diào)機(jī)可以精確控制溫度，但開關(guān)控制不能再用了。家用空調(diào)機(jī)中，連續(xù)可調(diào)的不占多數(shù)，但沖熱水淋浴是一個(gè)典型的連續(xù)控制問題，因?yàn)樗堫^可以連續(xù)調(diào)節(jié)水的流量。沖淋浴時(shí)，假定冷水龍頭不變，只調(diào)節(jié)熱水。那溫度高了，熱水關(guān)小一點(diǎn)；溫度低了，熱水開打一點(diǎn)。換句話說，控制作用應(yīng)該向減少控制偏差的方向變化，也就是所謂負(fù)負(fù)反饋?？刂品较?qū)α?，還有一個(gè)控制量的問題。溫度高了1度，熱水該關(guān)小多少呢？

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，根據(jù)具體的龍頭和水壓，溫度高1度，熱水需要關(guān)小一定的量，比如說，關(guān)小一格。換句話說，控制量和控制偏差成比例關(guān)系，這就是經(jīng)典的比例控制規(guī)律：控制量=比例控制增益*控制偏差，偏差越大，控制量越大?？刂破罹褪菍?shí)際測(cè)量值和設(shè)定值或目標(biāo)值之差。在比例控制規(guī)律下，偏差反向，控制量也反向。也就是說，如果淋浴水溫要求為40度，實(shí)際水溫高于40度時(shí)，熱水龍頭向關(guān)閉的方向變化；實(shí)際水溫低于40度時(shí)，熱水龍頭向開啟的方向變化。

但是比例控制規(guī)律并不能保證水溫能夠精確達(dá)到40度。在實(shí)際生活中，人們這時(shí)對(duì)熱水龍頭作微調(diào)，只要水溫還不合適，就一點(diǎn)一點(diǎn)地調(diào)節(jié)，直到水溫合適為止。這種只要控制偏差不消失就漸進(jìn)微調(diào)的控制規(guī)律，在控制里叫積分控制規(guī)律，因?yàn)榭刂屏亢涂刂破钤跁r(shí)間上的累積成正比，其比例因子就稱為積分控制增益。工業(yè)上常用積分控制增益的倒數(shù)，稱其為積分時(shí)間常數(shù)，其物理意義是偏差恒定時(shí)，控制量加倍所需的時(shí)間。這里要注意的是，控制偏差有正有負(fù)，全看實(shí)際測(cè)量值是大于還是小于設(shè)定值，所以只要控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的，也就是實(shí)際測(cè)量值最終會(huì)穩(wěn)定在設(shè)定值上，控制偏差的累積不會(huì)是無窮大的。這里再啰嗦一遍，積分控制的基本作用是消除控制偏差的余差（也叫殘差）。

比例和積分控制規(guī)律可以應(yīng)付很大一類控制問題，但不是沒有改進(jìn)余地的。如果水管水溫快速變化，人們會(huì)根據(jù)水溫的變化調(diào)節(jié)熱水龍頭：水溫升高，熱水龍頭向關(guān)閉方向變化，升溫越快，開啟越多；水溫降低，熱水龍頭向開啟方向變化，降溫越快，關(guān)閉越多。這就是所謂的微分控制規(guī)律，因?yàn)榭刂屏亢蛯?shí)際測(cè)量值的變化率成正比，其比例因子就稱為比例控制增益，工業(yè)上也稱微分時(shí)間常數(shù)。微分時(shí)間常數(shù)沒有太特定的物理意義，只是積分叫時(shí)間常數(shù)，微分也跟著叫了。微分控制的重點(diǎn)不在實(shí)際測(cè)量值的具體數(shù)值，而在其變化方向和變化速度。微分控制在理論上和實(shí)用中有很多優(yōu)越性，但局限也是明顯的。如果測(cè)量信號(hào)不是很“干凈”，時(shí)不時(shí)有那么一點(diǎn)不大不小的“毛刺”或擾動(dòng)，微分控制就會(huì)被這些風(fēng)吹草動(dòng)搞得方寸大亂，產(chǎn)生很多不必要甚至錯(cuò)誤的控制信號(hào)。所以工業(yè)上對(duì)微分控制的使用是很謹(jǐn)慎的。

比例-積分-微分控制規(guī)律是工業(yè)上最常用的控制規(guī)律。人們一般根據(jù)比例-積分-微分的英文縮寫，將其簡(jiǎn)稱為PID控制。即使在更為先進(jìn)的控制規(guī)律廣泛應(yīng)用的今天，各種形式的PID控制仍然在所有控制回路中占85%以上。

在PID控制中，積分控制的特點(diǎn)是：只要還有余差（即殘余的控制偏差）存在，積分控制就按部就班地逐漸增加控制作用，直到余差消失。所以積分的效果比較緩慢，除特殊情況外，作為基本控制作用，緩不救急。微分控制的特點(diǎn)是：盡管實(shí)際測(cè)量值還比設(shè)定值低，但其快速上揚(yáng)的沖勢(shì)需要及早加以抑制，否則，等到實(shí)際值超過設(shè)定值再作反應(yīng)就晚了，這就是微分控制施展身手的地方了。作為基本控制使用，微分控制只看趨勢(shì)，不看具體數(shù)值所在，所以最理想的情況也就是把實(shí)際值穩(wěn)定下來，但穩(wěn)定在什么地方就要看你的運(yùn)氣了，所以微分控制也不能作為基本控制作用。比例控制沒有這些問題，比例控制的反應(yīng)快，穩(wěn)定性好，是最基本的控制作用，是“皮”，積分、微分控制是對(duì)比例控制起增強(qiáng)作用的，極少單獨(dú)使用，所以是“毛”。在實(shí)際使用中比例和積分一般一起使用，比例承擔(dān)主要的控制作用，積分幫助消除余差。微分只有在被控對(duì)象反應(yīng)遲緩，需要在開始有所反應(yīng)時(shí)，及早補(bǔ)償，才予以采用。只用比例和微分的情況很少見。

連續(xù)控制的精度是開關(guān)控制所不可比擬的，但連續(xù)控制的高精度也是有代價(jià)的，這就是穩(wěn)定性問題?？刂圃鲆鏇Q定了控制作用對(duì)偏差的靈敏度。既然增益決定了控制的靈敏度，那么越靈敏豈不越好？非也。還是用汽車的定速巡航控制做例子。速度低一點(diǎn)，油門加一點(diǎn)，速度低更多，油門加更多，速度高上去當(dāng)然就反過來。但是如果速度低一點(diǎn)，油門就加很多，速度更低，油門狂加，這樣速度不但不能穩(wěn)定在要求的設(shè)定值上，還可能失控。這就是不穩(wěn)定。所以控制增益的設(shè)定是有講究的。在生活中也有類似的例子。國民經(jīng)濟(jì)過熱，需要經(jīng)濟(jì)調(diào)整，但調(diào)整過火，就要造成“硬著陸”，引起衰退；衰退時(shí)需要刺激，同樣，刺激過火，會(huì)造成“虛假繁榮”。要達(dá)成“軟著陸”，經(jīng)濟(jì)調(diào)整的措施需要恰到好處。這也是一個(gè)經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

實(shí)際中到底多少增益才是最合適的，理論上有很多計(jì)算方法，但實(shí)用中一般是靠經(jīng)驗(yàn)和調(diào)試來摸索最佳增益，業(yè)內(nèi)行話叫參數(shù)整定。如果系統(tǒng)響應(yīng)在控制作用后面拖拖沓沓，大幅度振蕩的話，那一般是積分太過；如果系統(tǒng)響應(yīng)非常神經(jīng)質(zhì)，動(dòng)不動(dòng)就打擺子，呈現(xiàn)高頻小幅度振蕩的話，那一般是微分有點(diǎn)過分。中頻振蕩當(dāng)然就是比例的問題了。不過各個(gè)系統(tǒng)的頻率都是不一樣的，到底什么算高頻，什么算低頻，這個(gè)幾句話說不清楚，應(yīng)了毛主席那句話：“具體情況具體分析”，所以就打一個(gè)哈哈了。

再具體說起來，參數(shù)整定有兩個(gè)路子。一是首先調(diào)試比例增益以保證基本的穩(wěn)定性，然后加必要的積分以消除余差，只有在最必要的情況下，比如反映遲緩的溫度過程或容量極大的液位過程，測(cè)量噪聲很低，才加一點(diǎn)微分。這是“學(xué)院派”的路子，在大部分情況下很有效。但是工業(yè)界有一個(gè)“歪路子”：用非常小的比例作用，但大大強(qiáng)化積分作用。這個(gè)方法是完全違背控制理論的分析的，但在實(shí)際中卻是行之有效，原因在于測(cè)量噪聲嚴(yán)重，或系統(tǒng)反應(yīng)過敏時(shí)，積分為主的控制規(guī)律動(dòng)作比較緩和，不易激勵(lì)出不穩(wěn)定的因素，尤其是不確定性比較高的高頻部分，這也是鄧小平“穩(wěn)定壓倒一切”的初衷吧。

在很多情況下，在初始PID參數(shù)整定之后，只要系統(tǒng)沒有出現(xiàn)不穩(wěn)定或性能顯著退化，一般不會(huì)去重新整定。但是要是系統(tǒng)不穩(wěn)定了怎么辦呢？由于大部分實(shí)際系統(tǒng)都是開環(huán)穩(wěn)定的，也就是說，只要控制作用恒定不變，系統(tǒng)響應(yīng)最終應(yīng)該穩(wěn)定在一個(gè)數(shù)值，盡管可能不是設(shè)定值，所以對(duì)付不穩(wěn)定的第一個(gè)動(dòng)作都是把比例增益減小，根據(jù)實(shí)際情況，減小1/3、1/2甚至更多，同時(shí)加大積分時(shí)間常數(shù)，常常成倍地加，再就是減小甚至取消微分控制作用。如果有前饋控制，適當(dāng)減小前饋增益也是有用的。在實(shí)際中，系統(tǒng)性能不會(huì)莫名其妙地突然變壞，上述“救火”式重新整定常常是臨時(shí)性的，等生產(chǎn)過程中的機(jī)械或原料問題消除后，參數(shù)還是要設(shè)回原來的數(shù)值，否則系統(tǒng)性能會(huì)太過“懶散”。

對(duì)于新工廠，系統(tǒng)還沒有投運(yùn)，沒法根據(jù)實(shí)際響應(yīng)來整定，一般先估計(jì)一個(gè)初始參數(shù)，在系統(tǒng)投運(yùn)的過程中，對(duì)控制回路逐個(gè)整定。我自己的經(jīng)驗(yàn)是，對(duì)于一般的流量回路，比例定在0.5左右，積分大約1分鐘，微分為0，這個(gè)組合一般不致于一上來就出大問題。溫度回路可以從2、5、0.05開始，液位回路從5、10、0開始，氣相壓力回路從10、20、0開始。既然這些都是憑經(jīng)驗(yàn)的估計(jì)，那當(dāng)然要具體情況具體分析，不可能“放之四海而皆準(zhǔn)”。

微分一般用于反應(yīng)遲緩的系統(tǒng)，但是事情總有一些例外。我就遇到過一個(gè)小小的冷凝液罐，直徑才兩英尺，長(zhǎng)不過5英尺，但是流量倒要8-12噸/小時(shí)，一有風(fēng)吹草動(dòng)，液位變化非常迅速，不管比例、積分怎么調(diào)，液位很難穩(wěn)定下來，常常是控制閥剛開始反應(yīng)，液位已經(jīng)到頂或到底了。最后加了0.05的微分，液位一開始變化，控制閥就開始抑制，反而穩(wěn)定下來了。這和常規(guī)的參數(shù)整定的路子背道而馳，但在這個(gè)情況下，反而是“唯一”的選擇，因?yàn)闇y(cè)量值和控制閥的飽和變成穩(wěn)定性主要的問題了。

對(duì)工業(yè)界以積分為主導(dǎo)控制作用的做法再啰嗦幾句。學(xué)術(shù)上，控制的穩(wěn)定性基本就是漸近穩(wěn)定性，BIBO穩(wěn)定性是沒有辦法證明漸近穩(wěn)定性時(shí)的“退而求其次”的東西，不怎么上臺(tái)面的。但是工業(yè)界里的穩(wěn)定性有兩個(gè)看起來相似、實(shí)質(zhì)上不盡相同的方面：一個(gè)當(dāng)然是漸近穩(wěn)定性，另一個(gè)則是穩(wěn)定性，但不一定向設(shè)定值收斂，或者說穩(wěn)定性比收斂性優(yōu)先這樣一個(gè)情況。具體來說，就是需要系統(tǒng)穩(wěn)定在一個(gè)值上，不要?jiǎng)觼韯?dòng)去，但是不是在設(shè)定值并不是太重要，只要不是太離譜就行。例子有很多，比如反應(yīng)器的壓力是一個(gè)重要參數(shù)，反應(yīng)器不穩(wěn)定，原料進(jìn)料比例就亂套，催化劑進(jìn)料也不穩(wěn)定，反應(yīng)就不穩(wěn)定，但是反應(yīng)器的壓力到底是10個(gè)大氣壓還是12個(gè)大氣壓，并沒有太大的關(guān)系，只要慢慢地但是穩(wěn)定地向設(shè)定值移動(dòng)就足夠了。這是控制理論里比較少涉及的一個(gè)情況，這也是工業(yè)上時(shí)常采用積分主導(dǎo)的控制的一個(gè)重要原因。

前面說到系統(tǒng)的頻率，本來也就是系統(tǒng)響應(yīng)持續(xù)振蕩時(shí)的頻率，但是控制領(lǐng)域里有三撥人在搗騰：一撥是以機(jī)電類動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為特色的電工出身，包括航空、機(jī)器人等，一撥是以連續(xù)過程為特色的化工出身的，包冶金、造紙等，還有一撥是以微分方程穩(wěn)定性為特色的應(yīng)用數(shù)學(xué)出身的。在瓦特和抽水馬桶的年代里，各打各的山頭，井水不犯河水，倒也太平。但控制從藝術(shù)上升為理論后，總有人喜歡“統(tǒng)一”，電工幫搶了先，好端端的控制理論里被塞進(jìn)了電工里的頻率。童子們哪，那哪是頻率啊，那是……復(fù)頻率。既然那些變態(tài)的電工能折騰出虛功率，那他們也能折騰出復(fù)頻率來，他們自虐倒也算了，只是苦了我等無辜之眾，被迫受此精神折磨。

事情的緣由是系統(tǒng)的穩(wěn)定性。前面提到，PID的參數(shù)如果設(shè)得不好，系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。除了摸索，有沒有辦法從理論上計(jì)算出合適的PID參數(shù)呢？前面也提到，動(dòng)態(tài)過程可以用微分方程描述，其實(shí)在PID的階段，這只是微分方程中很狹窄的一支：?jiǎn)巫兞烤€性常微分方程。要是還記得大一高數(shù)，一定還記得線形常微的解，除了分離變量法什么的，如果自變量時(shí)間用t表示的話，最常用的求解還是把exp(λt)代入微分方程，然后解已經(jīng)變成λ的代數(shù)方程的特征方程，解出來的解可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，是復(fù)數(shù)的話，就要用三角函數(shù)展開了（怎么樣，大一噩夢(mèng)的感覺找回來一點(diǎn)沒有？）。只要實(shí)根為負(fù)，那微分方程就是穩(wěn)定的，因?yàn)樨?fù)的指數(shù)項(xiàng)最終向零收斂，復(fù)根到底多少就無所謂了，對(duì)穩(wěn)定性沒有影響。但是，這么求解分析起來還是不容易，還是超不出“具體情況具體分析”，難以得出一般的結(jié)論。

法國人以好色、好吃出名，但是他們食色性也之后，還不老實(shí)，其中一個(gè)叫拉普拉斯的家伙，搗鼓出什么拉普拉斯變換，把常微分方程變成s的多項(xiàng)式。然后那幫電工的家伙們，喜歡自虐，往s里塞jω，就是那個(gè)復(fù)頻率，整出一個(gè)變態(tài)的頻率分析，用來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不過說變態(tài)，也不完全公平，在沒有計(jì)算機(jī)的年代，各種圖表是最有效的分析方法，還美其名曰“幾何分析”。頻率分析也不例外。美國佬Evans搞出一個(gè)根軌跡（root locus），思路倒是滿有意思的。他用增益作自變量，將系統(tǒng)的根（不管實(shí)的虛的）在復(fù)平面上畫出軌跡來，要是軌跡在左半平面打轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，那就是實(shí)根為負(fù)，就是穩(wěn)定的。再深究下去，系統(tǒng)響應(yīng)的臨界頻率之類也可以計(jì)算出來。最大的好處是，對(duì)于常見的系統(tǒng)，可以給出一套作圖規(guī)則來，熟練的大牛、小牛、公牛、母牛們，眼睛一瞄，隨手就可以畫出根軌跡來，然后就可以告訴你，增益變化多多少，系統(tǒng)開始振蕩，再增加多少，系統(tǒng)會(huì)不穩(wěn)定，云云。

根軌跡還是比較客氣的，還有更變態(tài)的奈奎斯特、伯德和尼科爾斯法，想想腦子都大。都是叫那幫電工分子害的。時(shí)至今日，計(jì)算機(jī)分析已經(jīng)很普及了，但是古典的圖示分析還是有經(jīng)久不衰的魅力，就是因?yàn)閳D示分析不光告訴你系統(tǒng)是穩(wěn)定還是不穩(wěn)定，以及其他一些動(dòng)態(tài)響應(yīng)的參數(shù)，圖示分析還可以定性地告訴你增益變化甚至系統(tǒng)參數(shù)變化引起的閉環(huán)性能變化。咦，剛才還不是在說人家變態(tài)嗎？呃，變態(tài)也有變態(tài)的魅力不是？哈哈。

以頻率分析（也稱頻域分析）為特色的控制理論稱為經(jīng)典控制理論。經(jīng)典控制理論可以把系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析得天花亂墜，但有兩個(gè)前提：一、要已知被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，這在實(shí)際中不容易得到；二、被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型不會(huì)改變或漂移，這在實(shí)際中更難做到。對(duì)簡(jiǎn)單過程建立微分方程是可能的，但簡(jiǎn)單過程的控制不麻煩，經(jīng)驗(yàn)法參數(shù)整定就搞定了，不需要費(fèi)那個(gè)麻煩，而真正需要理論計(jì)算幫忙的回路，建立模型太困難，或者模型本身的不確定性很高，使得理論分析失去意義。經(jīng)典控制理論在機(jī)械、航空、電機(jī)中還是有成功的應(yīng)用，畢竟從F=ma出發(fā)，可以建立“所有”的機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，鐵疙瘩的重量又不會(huì)莫名其妙地改變，主要環(huán)境參數(shù)都可以測(cè)量，但是經(jīng)典控制理論至少在化工控制中實(shí)用成功的例子實(shí)在是鳳毛麟角，給你一個(gè)50塊塔板的精餾塔，一個(gè)氣相進(jìn)料，一個(gè)液相進(jìn)料，塔頂、塔底出料加一個(gè)側(cè)線出料，塔頂風(fēng)冷冷凝器，塔底再沸器加一個(gè)中間再沸器，你就慢慢建模去吧，等九牛二虎把模型建立起來了，風(fēng)冷冷凝器受風(fēng)霜雨雪的影響，再沸器的高壓蒸汽的壓力受友鄰裝置的影響，氣相進(jìn)料的溫度和飽和度受上游裝置的影響而改變，液相進(jìn)料的混合組分受上游裝置的影響而改變，但組分無法及時(shí)測(cè)量（在線氣相色譜分析結(jié)果要45分鐘才能出來），動(dòng)態(tài)特性全變了。

老家伙歌德兩百年前就說了，理論是灰色的，生命之樹常青。我們知道馬鹿喜歡金光的或者銀光的，至少也要紅的，不過只好將就啦，青綠地干活。在實(shí)用中，PID有很多表兄弟，幫著大表哥一塊打天下。

比例控制的特點(diǎn)是：偏差大，控制作用就大。但在實(shí)際中有時(shí)還嫌不夠，最好偏差大的時(shí)候，比例增益也大，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)大偏差的矯正作用，及早把系統(tǒng)拉回到設(shè)定值附近；偏差小的時(shí)候，當(dāng)然就不用那么急吼吼，慢慢來就行，所以增益小一點(diǎn)，加強(qiáng)穩(wěn)定性。這就是雙增益PID（也叫雙模式PID）的起源。想想也對(duì)，高射炮瞄準(zhǔn)敵機(jī)是一個(gè)控制問題。如果炮管還指向離目標(biāo)很遠(yuǎn)的角度，那應(yīng)該先盡快地把炮管轉(zhuǎn)到目標(biāo)角度附近，動(dòng)作猛一點(diǎn)才好；但炮管指向已經(jīng)目標(biāo)很近了，就要再慢慢地精細(xì)瞄準(zhǔn)。工業(yè)上也有很多類似的問題。雙增益PID的一個(gè)特例是死區(qū)PID（PID with dead band），小偏差時(shí)的增益為零，也就是說，測(cè)量值和設(shè)定值相差不大的時(shí)候，就隨他去，不用控制。這在大型緩沖容器的液位控制里用得很多。本來緩沖容器就是緩沖流量變化的，液位到底控制在什么地方并不緊要，只要不是太高或太低就行。但是，從緩沖容器流向下游裝置的流量要盡可能穩(wěn)定，否則下游裝置會(huì)受到不必要的擾動(dòng)。死區(qū)PID對(duì)這樣的控制問題是最合適的。但是天下沒有免費(fèi)的午餐。死區(qū)PID的前提是液位在一般情況下會(huì)“自動(dòng)”穩(wěn)定在死區(qū)內(nèi)，如果死區(qū)設(shè)置不當(dāng)，或系統(tǒng)經(jīng)常受到大幅度的擾動(dòng)，死區(qū)內(nèi)的“無控”狀態(tài)會(huì)導(dǎo)致液位不受限制地向死區(qū)邊界“挺進(jìn)”，最后進(jìn)入“受控”區(qū)時(shí)，控制作用過火，液位向相反方向不受限制地“挺進(jìn)”，最后的結(jié)果是液位永遠(yuǎn)在死區(qū)的兩端振蕩，而永遠(yuǎn)不會(huì)穩(wěn)定下來，業(yè)內(nèi)叫hunting（打獵？打什么？打鹿？）。雙增益PID也有同樣的問題，只是比死區(qū)PID好一些，畢竟只有“強(qiáng)控制”和“弱控制”的差別，而沒有“無控區(qū)”。在實(shí)用中，雙增益的內(nèi)外增益差別小于2：1沒有多大意義，大于5：1就要注意上述的持續(xù)振蕩或hunting的問題。

雙增益或死區(qū)PID的問題在于增益的變化是不連續(xù)的，控制作用在死區(qū)邊界上有一個(gè)突然的變化，容易誘發(fā)系統(tǒng)的不利響應(yīng)，平方誤差PID就沒有這個(gè)問題。誤差一經(jīng)平方，控制量對(duì)誤差的曲線就成了拋物線，同樣達(dá)到“小偏差小增益、大偏差大增益”的效果，還沒有和突然的不連續(xù)的增益變化。但是誤差平方有兩個(gè)問題：一是誤差接近于零的時(shí)候，增益也接近于零，回到上面死區(qū)PID的問題；二是很難控制拋物線的具體形狀，或者說，很難制定增益在什么地方拐彎。對(duì)于第一個(gè)問題，可以在誤差平方PID上加一個(gè)基本的線性PID，是零誤差是增益不為零；對(duì)于后一個(gè)問題，就要用另外的模塊計(jì)算一個(gè)連續(xù)變化的增益了。具體細(xì)節(jié)比較瑣碎，將偏差送入一個(gè)分段線性化（也就是折線啦）的計(jì)算單元，然后將計(jì)算結(jié)果作為比例增益輸出到PID控制器，折線的水平段就對(duì)應(yīng)予不同的增益，而連接不同的水平段的斜線就對(duì)應(yīng)于增益的連續(xù)變化。通過設(shè)置水平段和斜線段的折點(diǎn)，可以任意調(diào)整變?cè)鲆娴那€。要是“野心”大一點(diǎn)，再加幾個(gè)計(jì)算單元，可以做出不對(duì)稱的增益，也就是升溫時(shí)增益低一點(diǎn)，降溫時(shí)增益高一點(diǎn)，以處理加熱過程中常見的升溫快、降溫慢的問題。

雙增益或誤差平方都是在比例增益上作文章，同樣的勾當(dāng)也可以用在積分和微分上。更極端的一種PID規(guī)律叫積分分離PID，其思路是這樣的：比例控制的穩(wěn)定性好，響應(yīng)快，所以偏差大的時(shí)候，把PID中的積分關(guān)閉掉；偏差小的時(shí)候，精細(xì)調(diào)整、消除余差是主要問題，所以減弱甚至關(guān)閉比例作用，而積分作用切入控制。概念是好的，但具體實(shí)施的時(shí)候，有很多無擾動(dòng)切換的問題。

這些變態(tài)的PID在理論上很難分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但在實(shí)用中解決了很多困難的問題。

（八）復(fù)雜控制系統(tǒng)（過程控制）

打仗時(shí)，如果敵人太頑固，要么換更大的炮，把敵人轟倒；要么采用更巧妙的戰(zhàn)術(shù)，把敵人暈倒?？刂埔彩且粯?，單回路 PID 難以解決的問題，常常可以通過更巧妙的回路結(jié)構(gòu)來解決。

單一的 PID 回路當(dāng)然可以實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)抑制，但要是主要擾動(dòng)在回路中，而且是明確的，加一個(gè)內(nèi)回路作幫手是一個(gè)很不錯(cuò)的主意。還記得洗熱水澡的例子嗎？要是熱 水壓力不穩(wěn)定，老是要為這個(gè)而調(diào)整熱水龍頭，那很麻煩。要是有一個(gè)人專門負(fù)責(zé)根據(jù)熱水壓力調(diào)節(jié)熱水流量，把熱水壓力穩(wěn)定下來，而且穩(wěn)定在標(biāo)定值，那洗澡的 時(shí)候， 水溫就容易控制多了，只要告訴那個(gè)人現(xiàn)在需要多少熱水流量，而不必?zé)┬臒崴畨毫?duì)熱水流量的影響。這個(gè)負(fù)責(zé)熱水流量的控制回路就是內(nèi)回路，也叫副回 路，而洗澡的溫度就是外回路，也叫主回路，當(dāng)然是主回路指揮副回路，就像自動(dòng)化指揮機(jī)械 化、學(xué)自控的人指揮學(xué)機(jī)電的人……打住打住，再扯遠(yuǎn)了要挨鹿踹了， 或者馬踹、牛踹、驢踹……。這種主回路套副回路的結(jié)構(gòu)叫串級(jí)控制（cascade control），曾經(jīng)是單回路 PID 后工業(yè)上第一種“先進(jìn)過程控制”，現(xiàn)在串級(jí)已經(jīng)用得很多了，也不再有人叫它“先進(jìn)過程控制”了。串級(jí)控制最主要的功 用是抑制回路內(nèi)的擾動(dòng)，增強(qiáng)總體控制性能。不過串級(jí)也不能亂用。如果主回路和副回路的相應(yīng)速度差不多，或者主回路的相應(yīng)速度甚至慢于副回路（通過變態(tài)的調(diào) 試是可以做到的），這樣的串級(jí)要出問題。理論上可以用共振頻率什么的分析，但是不用費(fèi)那個(gè)事，用膝蓋想想就知道，一個(gè)急性子的頭兒把一個(gè)溫吞水的下屬指揮 得團(tuán)團(tuán)轉(zhuǎn)，結(jié)果只能是大家都精疲力竭，事情還辦砸了。相反，一個(gè)鎮(zhèn)定自若的頭兒指揮一個(gè)手腳麻利的下屬，那事情肯定辦得好。

如果主要擾動(dòng)在回路以外，但是可以預(yù)知，那就要用另一個(gè)辦法，就是馬鹿前面說到的前饋了。還是用洗熱水澡的例子。如果冷水管和同一個(gè)水房的抽水馬桶功用， 你在洗澡，別人一抽水，那你就變煮熟的龍蝦了（本想說猴子 PP 的，但是那個(gè)不雅， 我們要五講四美不是？）。這個(gè)時(shí)候，要使那個(gè)人在抽水的同時(shí)告訴你一聲 ，你算好時(shí)間，算好量，猛減熱水，那溫度還是可以大體不變的。這就是所謂前饋控制

（feedforward control）。前饋控制有兩個(gè)要緊的東西：一是定量的擾動(dòng)對(duì)被控變量的影響，也就是所謂前饋增益；二是擾動(dòng)的動(dòng)態(tài)，別人抽水到洗澡龍頭的水溫變熱，這里面有一個(gè)過程，不是立時(shí)三刻的。如果可以精確知道這兩樣?xùn)|西，那前饋補(bǔ)償可以把可測(cè)擾動(dòng)完全補(bǔ)償?shù)?。但?shí)際上沒有精確知道的事情，要是指望前饋來完全補(bǔ) 償， 弄巧成拙是肯定的。所以前饋通常和反饋一起用，也就是在 PID 回路上再加一個(gè)前饋。一般也只用靜態(tài)前饋，也就是只補(bǔ)償擾動(dòng)對(duì)被控變量的靜態(tài)影響，而忽 略擾動(dòng)的動(dòng)態(tài)因素，主要是為了靜態(tài)前饋已經(jīng)把前饋 80%的好處發(fā)掘出來了，動(dòng)態(tài)前饋既復(fù)雜又不可靠，在 PID 回路里很少有人用。理論上的前饋都是在 PID 的控制作用上再加一個(gè)前饋?zhàn)饔?，?shí)際上也可以乘一個(gè)控制作用。乘法前饋的作用太猛，我從來沒有用 過，一般都是用加法。在實(shí)施中，前饋是和擾動(dòng)的變化（也就 是增量）成比例的，所以擾動(dòng)變量不變了，前饋?zhàn)饔镁拖?，否則，整定前饋控制增益會(huì)對(duì) PID 主回路造成擾動(dòng)。前饋增益可以根據(jù)粗略計(jì)算得到，比如說，抽水 的量會(huì)造成溫度下降多少、需要調(diào)整多少熱水流量才能維持溫度，這不難從熱量平衡算出來。不想費(fèi)這個(gè)事的話，也可以從歷史數(shù)據(jù)中推算。一般算出來一個(gè)前饋增 益后，打上 7 折甚至 5 折再用，保險(xiǎn)一點(diǎn)，不要矯枉過正。

前饋?zhàn)饔靡话闶怯米鬏o助控制作用的，但是在特殊情況下，前饋也可以作為“預(yù)加載”（pre-loading）作為基準(zhǔn)控制作用。比如說，在一個(gè)高壓系統(tǒng)的 啟動(dòng)過程中，壓力可以從靜止?fàn)顟B(tài)的常壓很快地什到很高的壓力。高壓系統(tǒng)不容許閥門大幅度運(yùn)動(dòng)， 所以控制增益都比較低，但是這樣一來，啟動(dòng)升壓過程中，壓力 控制的反應(yīng)就十分遲緩，容易造成壓力過高。這時(shí)用壓縮機(jī)的轉(zhuǎn)速或高壓進(jìn)料的流量作前饋，將壓力控制閥“預(yù)先”放到大概的位置，然后再用反饋慢慢調(diào)節(jié)，就可 以解決這個(gè)問題。

有點(diǎn)搞笑兄在前面提到用單個(gè)閥門有時(shí)難以控制大范圍變化的流量，這是一個(gè)很實(shí)際的問題。工業(yè)閥門一般 turn down 只有 10：1，也就是說，如果這個(gè)閥門的最大流量是 100 噸/小時(shí)的話，低于 10 噸/小時(shí)就難以控制了，當(dāng)然，高于 90 噸/小時(shí)也幾近失去控制。 所以，要真的保證 0-100 的精確控制，需要將一個(gè)大閥和一個(gè)小閥并列， 小閥負(fù)責(zé)小流量時(shí)的精確控制，大閥負(fù)責(zé)大流量時(shí)的精確控制，這就是所謂的分程控制 （split range control）。分程控制時(shí)，小閥首先打開，超過小閥最大流量是小閥就固定在全開位置，大閥開始打開，接過控制。這是開-開型分程控制。也有關(guān)-開型分 程控制，比如反應(yīng)器夾套溫度控制，隨溫度逐漸上升，冷卻水逐漸關(guān)閉，直到冷卻水全關(guān)，加熱蒸氣開始打開。分程控制當(dāng)然不一定只有兩截，三截甚至更多都是可 以的， 道理都一樣。分程控制的問題在于不同閥門的交接點(diǎn)。閥門在特別小的開度時(shí)，控制非常不靈敏，前面說到的 10：1 也是這個(gè)道理。所以實(shí)用中，開-開型 分程控制常常在交接點(diǎn)附近有一段重疊，也就是小閥快要全開但還沒有全開時(shí)，大閥已經(jīng)開始動(dòng)作， 這樣，到小閥全開、不能再動(dòng)彈時(shí)，大閥已經(jīng)進(jìn)入有效控制范 圍。關(guān)-開型分程控制常常在交接點(diǎn)設(shè)置一個(gè)死區(qū)，避免出現(xiàn)兩個(gè)閥都有一點(diǎn)點(diǎn)開度的情況。分程控制的交接點(diǎn)的設(shè)置有一點(diǎn)講究，應(yīng)該根據(jù)閥的大小。比如 A 閥比 B 閥大一倍，那分程點(diǎn)應(yīng)該設(shè)在 1/3 先開 B 閥，而不是懶漢做法的 1/2。

很多過程參數(shù)都是可以測(cè)量的，但也有很多參數(shù)是沒法直接測(cè)量的，這時(shí)，如果能夠通過別的可以測(cè)量的過程參數(shù)來間接計(jì)算真正需要控制的參數(shù)，這就是所謂的推斷控制（inferential control）。比如精餾塔頂?shù)漠a(chǎn)品純度可以用氣相色譜（gas chromatograph，GC）來測(cè)量，但結(jié)果要等 40 分鐘才能出來，用來做實(shí)時(shí)控制，黃花菜都涼了。推斷控制是和“軟傳感器”（soft sensor）的概念緊密相連的。對(duì)精餾塔塔頂純度這個(gè)例子來說，可以用純度和塔頂溫度、壓力作一個(gè)數(shù)學(xué)模型，用可以測(cè)量的溫度和壓力，間接計(jì)算出純度。在計(jì)算機(jī)控制普及的今天，這是很容易實(shí)現(xiàn)的，但是在很多地方，推斷控制仍然被看成很神秘的東西，悲哀。

有的時(shí)候，對(duì)同一個(gè)變量有不止一個(gè)控制手段。比如說，風(fēng)冷器有風(fēng)扇的轉(zhuǎn)速可以調(diào)節(jié)，也有百葉窗的開度可以調(diào)節(jié)。風(fēng)扇轉(zhuǎn)速的效果快，控制精確；百葉窗開度的效果猛，不容易掌握，但有利于節(jié)能。所以，可以用風(fēng)扇的快速響應(yīng)來控制溫度，但是用百葉窗開度來通過溫度間接地緩慢地影響風(fēng)扇的轉(zhuǎn)速，使風(fēng)扇轉(zhuǎn)速回到最經(jīng) 濟(jì)的設(shè)定。當(dāng)然百葉窗開度的控制回路必須要比風(fēng)扇轉(zhuǎn)速的控制回路整定得慢得多，一般是緩慢的純積分控制，否則兩人要打架。由于這相當(dāng)于控制風(fēng)扇轉(zhuǎn)速的“閥 位”，工業(yè)上稱其為閥位控制（valve position control）。這個(gè)閥位控制也可以變一變，風(fēng)扇轉(zhuǎn)速高于某一數(shù)值（比如 80%的最大轉(zhuǎn)速）時(shí)，把百葉窗開大一格，還是高就繼續(xù)開大；

風(fēng)扇轉(zhuǎn)速低于某一 數(shù)值（比如低于 20%最大轉(zhuǎn)速）時(shí)，把百葉窗關(guān)小一格。這實(shí)際上是一個(gè)單向的積分作用，不同的地方有兩點(diǎn)：

一、有兩個(gè)設(shè)定值，由風(fēng)扇轉(zhuǎn)速是高還是低而定.

二、積分作用只有在風(fēng)扇轉(zhuǎn)速在這兩個(gè)“極限”的外面起作用，在里面時(shí)，百葉窗的開度不變

這樣，風(fēng)扇轉(zhuǎn)速不必回到一個(gè)特定值，而是可以在一個(gè)范圍內(nèi)浮動(dòng)。

另外一個(gè)兩個(gè)控制器“競(jìng)爭(zhēng)”一個(gè)控制閥的情況是選擇性控制（override control 或selective control）。舉個(gè)例子，鍋爐的溫度由燃料流量控制，溫度高了，燃料流量就減下來，但是燃料流量低到燃料管路壓力低于爐膛壓力，那要出現(xiàn)危險(xiǎn)的回火， 所以， 這時(shí)，燃料管路壓力就要接管控制，而犧牲爐膛溫度。換句話說，正常時(shí)候，爐膛溫度控制起作用，燃料管路壓力低于一定數(shù)值時(shí)，燃料管路壓力控制器作 用。在實(shí)施

時(shí)，就是爐膛溫度控制器和燃料管路壓力控制器的輸出都接到一個(gè)高選器，然后搞選器的輸出接到實(shí)際的燃料閥。這個(gè)概念很清楚，但是初次接觸選擇性 控制的人，常常容易被高選還是低選搞糊涂，明明是壓力太低，怎么是高選呢？其實(shí)，只要記住高選還是低選是從閥門這一頭看的，和溫度、壓力的高度沒有關(guān)系。 如果“非常”變量超過界限了，你要閥門打開，那就是高選；你要閥門關(guān)閉，那就是低選。

（九）什么是現(xiàn)代控制理論

PID 從二、三十年到開始在工業(yè)界廣泛應(yīng)用，戲法變了幾十年，也該換換花樣

了。PID 說一千道一萬，還是經(jīng)典控制理論的產(chǎn)物。50-60 年代時(shí)，什么都要 現(xiàn)代派， 建筑從經(jīng)典的柱式、比例、細(xì)節(jié)的象征意義，變到“形式服從功能”的鋼架玻璃盒子； 汽車從用機(jī)器牽引的馬車，變到流線型的鋼鐵的藝術(shù)；控制理論也要 緊跟形勢(shì)，要現(xiàn)代化。這不，美國佬卡爾曼隆重推出……現(xiàn)代控制理論。

都看過舞龍吧？一個(gè)張牙舞爪的龍頭氣咻咻地追逐著一個(gè)大繡球，龍身子扭來扭去，還時(shí)不時(shí)跳躍那么一兩下。中國春節(jié)沒有舞龍，就和洋人的圣誕節(jié)沒有圣誕老人一樣不可思議。想象一下，如果這是一條看不見的盲龍，只能通過一個(gè)人在龍尾巴后面指揮龍尾巴，然后再通過龍身體里的人一個(gè)接一個(gè)地傳遞控制指令，最后使龍 頭咬住繡球。這顯然是一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，龍身越長(zhǎng)，人越多，動(dòng)態(tài)響應(yīng)越遲緩。如果只看龍頭的位置，只操控龍尾巴，而忽略龍身子的動(dòng)態(tài)，那就是所謂的輸入-輸出系統(tǒng)。經(jīng)典控制理論就是建立在輸入-輸出系統(tǒng)的基礎(chǔ)上的。對(duì)于很多常見的應(yīng)用，這就足夠了。

但是卡爾曼不滿足于“足夠”。龍頭當(dāng)然要看住，龍尾巴當(dāng)然要捏住，但龍身體為什么就要忽略呢？要是能夠看住龍身體，甚至操縱龍身體，也就是說，不光要控制 龍尾巴，控制指令還要直接傳到龍身體里的那些人，那豈不更好？這就是狀態(tài)空間的概念：將一個(gè)系統(tǒng)分解為輸入、輸出和狀態(tài)。輸出本身也是一個(gè)狀態(tài)，或者是狀 態(tài)的一個(gè)組合。在數(shù)學(xué)上，卡爾曼的狀態(tài)空間方法就是將一個(gè)高階微分方程分解成一個(gè)聯(lián)立的一階微分方程組，這樣可以使用很多線形代數(shù)的工具，在表述上也比較 簡(jiǎn)潔、明了。

卡爾曼是一個(gè)數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)家的想法就是和工程師不一樣。工程師腦子里轉(zhuǎn)的第一個(gè)念頭就是“我怎么控制這勞什子？增益多少？控制器結(jié)構(gòu)是什么樣的？”數(shù)學(xué)家 想的卻是什么解的存在性、唯一性之類虛頭八腦的東西。不過呢，這么說數(shù)學(xué)家也不公平。好多時(shí)候，工程師憑想象和“實(shí)干”，辛苦了半天，發(fā)現(xiàn)得出的結(jié)果完全 不合情理，這時(shí)才想起那些“性”（不要想歪了啊，嘿嘿），原來那些存在性、唯一性什么的還是有用的。

還是回過來看這條龍。現(xiàn)在，龍頭、龍尾巴、龍身體都要看，不光要看，還要直接操控龍頭到龍尾的每一個(gè)人。但是，這龍不是想看就看得的，不是想舞就舞得的。說到“看”，直接能夠測(cè)量/觀測(cè)的狀態(tài)在實(shí)際上是不多的，所謂看，實(shí)際上是估算。要是知道龍身體有多少節(jié)（就是有多少個(gè)人在下面撐著啦），龍身體的彈性 /韌性有多少，那么捏住龍尾巴抖一抖，再看看龍頭在哪里，是可以估算出龍身體每一節(jié)的位置的，這叫狀態(tài)觀測(cè)。那么，要是這龍中間有幾位童子開小差，手不好 好拉住，那再捏住龍尾巴亂抖也沒用，這時(shí)系統(tǒng)中的部分狀態(tài)就是不可觀測(cè)的。如果你一聲令下，部分童子充耳不聞，那這些狀態(tài)就是不可控制的?？柭鼜臄?shù)學(xué)上 推導(dǎo)出不可控和不可觀的條件，在根本上解決了什么時(shí)候才不是瞎耽誤工夫的問題。這是控制理論的一個(gè)重要里程碑。

（十）狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測(cè)器

再來看這條龍。如果要看這條龍整齊不整齊，排成縱列的容易看清楚；如果要清點(diǎn)人數(shù)，看每一個(gè)人的動(dòng)作，排成橫列的容易看清楚。但是不管怎么排，這條龍還是這條龍，只是看的角度不同。那時(shí)候中國人的春節(jié)舞龍還沒有在美國的中國城里鬧騰起來，不知道卡爾曼有沒有看到過舞龍，反正他把數(shù)學(xué)上的線性變換和線性空間 的理論搬到控制里面，從此，搞控制的人有了工具，一個(gè)系統(tǒng)橫著看不順眼的話，可以豎著看，因?yàn)椴还茉趺纯?，系統(tǒng)的本質(zhì)是一樣的。但是不同的角度有不同的用 處，有的角度設(shè)計(jì)控制器容易一點(diǎn)，有的角度分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性容易一點(diǎn)，諸如此類，在控制理論里就叫這個(gè)那個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)型”。這是控制理論的又一個(gè)里程碑。

觀測(cè)狀態(tài)的目的最終還是控制。只用輸出的反饋叫輸出反饋，經(jīng)典控制理論里的反饋都可以歸到輸出反饋里，但是用狀態(tài)進(jìn)行反饋的就叫狀態(tài)反饋了。輸出反饋對(duì)常見系統(tǒng)已經(jīng)很有效了，但狀態(tài)反饋要猛得多。你想想，一個(gè)系統(tǒng)的所有狀態(tài)都被牢牢地瞄住，所有狀態(tài)都乖乖地聽從調(diào)遣，那是何等的威風(fēng)？臺(tái)商的大奶們的最高境 界呀。

盡管學(xué)控制的人都要學(xué)現(xiàn)代控制理論，但大多數(shù)人記得卡爾曼還是因?yàn)槟莻€(gè)卡爾曼濾波器（Kalman Filter）。說它是濾波器，其實(shí)是一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器（state

observer），用來從輸入和輸出“重構(gòu)”系統(tǒng)的狀態(tài)。這重構(gòu)聽著玄妙，其實(shí)不復(fù)雜。不是有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型嗎？只要模型精確，給它和真實(shí)系統(tǒng)一樣的輸 入，它不就乖乖地把系統(tǒng)狀態(tài)給計(jì)算出來了嗎？且慢：微分方程的解不光由微分方程本身決定，還有一個(gè)初始條件，要是初始條件不對(duì)，微分方程的解的形式是正確 的，但是數(shù)值永遠(yuǎn)差一拍?？柭谙到y(tǒng)模型的微分方程后再加了一個(gè)尾巴，把實(shí)際系統(tǒng)輸出和模型計(jì)算的理論輸出相比較，再乘上一個(gè)比例因子，形成一個(gè)實(shí)際上 的狀態(tài)反饋，把狀態(tài)重構(gòu)的

偏差漸進(jìn)地消除，解決了初始條件和其他的系統(tǒng)誤差問題。卡爾曼濾波器最精妙之? 處，在于卡爾曼推導(dǎo)出一個(gè)系統(tǒng)的方法，可以考慮進(jìn)測(cè) 量噪聲和系統(tǒng)本身的隨機(jī)噪聲，根據(jù)信噪比來決定上述比例因子的大小。這個(gè)構(gòu)型其實(shí)不是卡爾曼的獨(dú)創(chuàng)，隆伯格（Luenburg）也得出了類似的結(jié)構(gòu)，但是 從系統(tǒng)穩(wěn)定性角度出發(fā)，來決定比例因 子。同樣的結(jié)構(gòu)大量用于各種“預(yù)測(cè)-校正”模型結(jié)構(gòu)，在工業(yè)上也得到很多應(yīng)用，比如聚合反應(yīng)器的分子重量分布可以用反 應(yīng)器的溫度、進(jìn)料配比、催化劑等來間接計(jì)算， 但不夠精確，也無法把林林總總的無法測(cè)量的干擾因素統(tǒng)統(tǒng)包括進(jìn)數(shù)學(xué)模型里，這時(shí)用實(shí)驗(yàn)室測(cè)定的真實(shí)值來定期校 正，就可以結(jié)合數(shù)學(xué)模型及時(shí)的特點(diǎn)和實(shí)驗(yàn)室結(jié)果精確的特點(diǎn)，滿足實(shí)時(shí)控制的要求，這或許可以算靜態(tài)的卡爾曼濾波器吧。卡爾曼濾波器最早的應(yīng)用還是在雷達(dá) 上。所謂邊掃描邊跟蹤，就是用卡爾曼濾波器估計(jì)敵機(jī)的位置，再由雷達(dá)的間隙掃描結(jié)果來實(shí)際校正。實(shí)際應(yīng)用中還有一個(gè)典型的問題：有時(shí)? 候，對(duì)同一個(gè)變量可以 有好幾個(gè)測(cè)量值可用，比如有的比較直接但不精確，有的是間接的估算，有很大的滯后但精確度高，這時(shí)可以用卡爾曼濾波器把不同來源的數(shù)據(jù)按不同的信噪比加權(quán) “整合”起來，也算是民用版的“傳感器融合”（sensor fusion）吧。

除了卡爾曼濾波器外，卡爾曼的理論在實(shí)際中用得不多，但是卡爾曼的理論在理論上建立了一個(gè)出色的框架，對(duì)理解和研究控制問題有極大的作用。

順便說一句，卡爾曼的理論基本局限于線形系統(tǒng)，也就是說，十塊大洋買一袋 米，二十塊大洋就買兩袋米，都是成比例的。實(shí)際系統(tǒng)中有很多非線性的，兩千塊大洋 還能買兩百袋米，但兩千萬大洋就要看米倉有沒有貨了，市場(chǎng)漲不漲價(jià)了，不是錢越多，買的米越多，有一個(gè)非線性的問題。非線性的問題研究起來要復(fù)雜得多。實(shí) 際系統(tǒng)還有其他特性，有的是所謂時(shí)變系統(tǒng)，像宇宙火箭，其質(zhì)量隨時(shí)間和燃料的消耗而變，系統(tǒng)特性當(dāng)然也就變了。很多問題都是多變量的，像汽車轉(zhuǎn)彎，不光方 向盤是一個(gè)輸入，油門和剎車也是輸入變量。但是，狀態(tài)空間的理論在數(shù)學(xué)表述上為線性、非線性、單變量、多變量、時(shí)變、時(shí)不變系統(tǒng)提供了一個(gè)統(tǒng)一的框架，這 是卡爾曼最大的貢獻(xiàn)。

（十一）最優(yōu)控制 1

前面說到，搞控制有三撥人：電工出身的，化工出身的，和應(yīng)用數(shù)學(xué)出身的。再卡爾曼之前，電工出身的占主導(dǎo)地位，數(shù)學(xué)家們好在象牙塔里打轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，化工出身則還對(duì)控制理論懵里懵懂，還在“實(shí)干”呢?？柭?，一大批數(shù)學(xué)出身的人，利用對(duì)數(shù)學(xué)工具的熟悉，轉(zhuǎn)攻控制理論。一時(shí)間，控制理論的數(shù)學(xué)化似乎成了“天下大 勢(shì)，順我者昌，逆我者亡”了。在狀態(tài)空間的框架下，多變量沒有太多的問題好研究，于是最優(yōu)化成為控制理論的新時(shí)尚。

對(duì)于一根給定的曲線，求一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，就是這個(gè)曲線的極點(diǎn)；在對(duì)這一極點(diǎn)球二階導(dǎo)數(shù)，大于零就是最小點(diǎn)，小于零就是最大點(diǎn)。這時(shí)牛頓老爺子就整明白的東東，現(xiàn)在高中或大一人人都學(xué)過的東西。但是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是一個(gè)微分方程，對(duì)微分方程求一階導(dǎo)數(shù)為零，就導(dǎo)致變分法和所謂歐拉方程。但這個(gè)東西用起來不方便。 實(shí)際的最優(yōu)控制不大直接使用變分。

俄羅斯是一個(gè)奇怪的地方。老毛子們要么蔫蔫的，要么瘋狂的。俄羅斯的悲劇電影看得你也郁悶得想去自殺。但是老毛子要是搭錯(cuò)筋整出一個(gè)喜劇呢？那你要么跟著瘋狂，要么被逼瘋狂。就是這么一個(gè)地方，除了無數(shù)托爾斯泰、柴可夫斯基、普希 金、屠格涅夫等文藝巨璧外，俄羅斯也盛產(chǎn)數(shù)學(xué)家，其中兩個(gè)是龐特里亞京和河里 學(xué)控制的人老惦記著的李亞普諾夫。

龐特里亞京的極大值原理聽起來嚇人，其實(shí)說白了很簡(jiǎn)單?？匆娔巧絾幔可巾斁褪亲罡唿c(diǎn)（切，這還用你說嗎？）；看見那山坡嗎？要是在山腰劃一道線，從山下往上爬，盡管山坡還在繼續(xù)往上延伸，但是到線為止，不得逾越，那山腰上那道三八線就是最高點(diǎn)（切，這還用說？）。這就是龐特里亞京的極大值原理。當(dāng)然啦，龐 特里亞京是用精巧、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)語言表述的，要不然他在數(shù)學(xué)界里也別混了。不過呢，意思就是這么一個(gè)意思。

龐特里亞京極大值原理的一個(gè)典型應(yīng)用就是所謂最速控制問題，或者叫時(shí)間最優(yōu)控制（time optimal control）問題，簡(jiǎn)單地說，就是給定最大馬力和最大剎車功率，怎么開汽車能夠最快地從 A 點(diǎn)開到 B 點(diǎn)（什么轉(zhuǎn)彎、上下坡、紅綠燈，這種瑣碎的事情也要 拿來煩人？一點(diǎn)品味都沒有?。Ｄ憧梢杂脙?yōu)美但繁瑣的數(shù)學(xué)求證，或者用膝蓋想想，最快的方法，就是一上來就加足馬力，全速前進(jìn)；然后在不到終點(diǎn)的某一地

點(diǎn)，全力剎車，使慢下來的汽車在到達(dá)終點(diǎn)時(shí)正好停下來。這時(shí)最快的方法，不可能比這更快了。稍微發(fā)揮一點(diǎn)想象力，可以想象“梆”的一下，控制量的油門板一 腳到底，再是“梆”的一下，剎車板一腳到底，控制任務(wù)就完成了。所以最速控制也叫“梆- 梆”控制（bang bang control）。

最速控制在理論上是一個(gè)很有趣的問題，解法也是簡(jiǎn)潔、優(yōu)美，但在實(shí)際中直接使用的例子實(shí)在是鳳毛麟角，一般都是開始時(shí)用“梆-梆”，或者勻速上升到最大控 制， 以緩和控制的沖擊力；到終點(diǎn)附近時(shí)，改用 PID 作閉環(huán)微調(diào)，以克服“梆-梆”的系統(tǒng)模型誤差十分敏感的缺點(diǎn)。電梯控制就是這樣一個(gè)例子。從一樓到四 樓，電動(dòng)機(jī)很快勻速上升到最高轉(zhuǎn)速，一過三樓，電動(dòng)機(jī)就勻速下降到較低的轉(zhuǎn)速，然后根據(jù)電梯實(shí)際位置和樓面之差，有控制地減速，直至停下來。要是控制參數(shù) 調(diào)得好的話，一下子就穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)?shù)赝Ｏ聛恚灰钦{(diào)的不夠好，會(huì)在停下來之前上下晃蕩幾下。

（十二）最優(yōu)控制 2

最速控制問題是較早的最優(yōu)控制問題，它提供了一個(gè)很有趣的思路，但這顆樹上開花結(jié)果不多。相比之下，最優(yōu)控制的另外一支枝繁葉茂，有生氣得多了。這一支就是線型二次型最優(yōu)控制（linear quadratic control）。數(shù)學(xué)是有趣的，但數(shù)學(xué)也是盲目的。在數(shù)學(xué)上，最優(yōu)化問題就是一個(gè)在曲面上尋找凸點(diǎn)的問題，只要你能把一個(gè)物理問題表述成一個(gè)曲面，數(shù)學(xué) 是不理會(huì)姓無姓資的。既然如此，控制偏差的平方在時(shí)間上的累積就是很自然的選擇，二次型就是平方在線性代數(shù)里的說法。線型系統(tǒng)的偏差平方有很好的性質(zhì)，這 山峰是一個(gè)饅頭山，沒有懸崖峭壁，沒有溝坎，容易爬；一山只有一峰，不用擔(dān)心找錯(cuò)地方。不過這山峰不能只包含控制偏差，還要包含控制量， 原因有三個(gè)：

1、如果不包括控制量，那最優(yōu)控制的解是沒有意義的，因?yàn)闊o窮大的控制量可以使累計(jì)平方偏差為最小，但無窮大的控制量是不現(xiàn)實(shí)的。

2、控制量的大小通常和能量、物料的消耗連在一起，實(shí)際控制問題一般是“在最小能量、物料消耗小達(dá)到最高的控制精度”，所以在“山峰”中同時(shí)包含控制偏差和控制量是很自然的。

3、系統(tǒng)模型總是有誤差的，誤差“總是”在高頻、大幅度控制作用下最突出，所以為了減低系統(tǒng)對(duì)模型誤差的敏感性，也有必要限制控制量的大小。

所以線性二次型最優(yōu)控制的“目標(biāo)函數(shù)”（也就是定義山峰形狀的數(shù)學(xué)表述）是一個(gè)控制偏差和控制量各自平方的加權(quán)和的積分。積分當(dāng)然就是“在時(shí)間上的累積” 了， 加權(quán)和其實(shí)就是在控制偏差的平方項(xiàng)和控制量的平方相前分別乘以比例因子，然后再相加。兩個(gè)比例因子的相對(duì)大小決定了誰更重要。運(yùn)用矩陣微分和線型代數(shù) 工具，不難導(dǎo)出線性二次型控制律—一個(gè)基本的狀態(tài)反饋控制律！只是反饋增益矩陣是按最優(yōu)化的要求計(jì)算出來的。

線型二次型最優(yōu)控制開創(chuàng)了一整個(gè)新的控制領(lǐng)域，很快從狀態(tài)空間走出來，進(jìn)入其他領(lǐng)域，子孫繁衍，人丁興旺。這一支是當(dāng)今最優(yōu)控制在應(yīng)用中的主體。

線性二次型控制具有各種各樣的優(yōu)點(diǎn)，但是，線性二次型沒有回答一個(gè)最基本的控制問題：這個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是不是穩(wěn)定。這里，我們的飽受牽記的李亞普諾夫同志出場(chǎng)了。李亞普諾夫也是一個(gè)腦子搭錯(cuò)筋的人，一百多年前，玩微分方程玩出了癮，整出兩個(gè)穩(wěn)定性（或者叫收斂性）的定理，前一個(gè)沒有什么太了不起的，把非線性系 統(tǒng)線性化，就是把一根曲線用很多一小段、一小段的直線近似，然后按直線來分析。后一個(gè)就有點(diǎn)邪門了。老李琢磨出一個(gè)定理，說是對(duì)于任意一個(gè)系統(tǒng)，如果能找 到一個(gè)自我耗散的能量函數(shù)（數(shù)學(xué)說法是正定函數(shù)），也就是其數(shù)值永遠(yuǎn)為正，但隨時(shí)間漸進(jìn)地趨向零，或者說這個(gè)能量函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)永遠(yuǎn)為負(fù)，那這個(gè)系統(tǒng)就 是穩(wěn)定的。據(jù)說定理的證明是一個(gè)天才的杰作，我等凡人只有頻頻點(diǎn)頭的份。不過想想也對(duì)，系統(tǒng)的能量耗散沒了，系統(tǒng)不也就安分下來了嗎？當(dāng)然就穩(wěn)定嘍。

李亞普諾夫比卡爾曼還要數(shù)學(xué)家，他的定理只給出“如果存在……就……”，怎么找這個(gè)自我耗散的能量函數(shù)他沒說，這個(gè)函數(shù)一般是什么樣他也沒說。這難不倒搞 自動(dòng)控制的廣大革命群眾。不是要正定函數(shù)嗎？不是沒有限制什么形式的正定函數(shù)嗎？ 那就用控制偏差的平方吧。說干就干，但是干著干著，好玩的事情出現(xiàn)了，對(duì) 偏差平方（或二次型）的求導(dǎo)，導(dǎo)出了和線性二次型最優(yōu)控制推導(dǎo)過程中同樣出現(xiàn)的一個(gè)所謂黎卡蒂方程（Riccati equation），感情這是殊途同歸呀。換句話說，線性二次型控制總是穩(wěn)定的。這是線性二次型控制的一個(gè)重要貢獻(xiàn)：把最優(yōu)性和穩(wěn)定性連到一起。

再扯一句李亞普諾夫，他的第二個(gè)定理非常威猛，但是有點(diǎn)像一個(gè)奇形怪狀的大錘，到現(xiàn)在人們還在找合適的釘子，好用這把大錘砸?guī)紫隆＞€性二次型控制是已知的僅有的幾個(gè)釘子之一，另一個(gè)是變結(jié)構(gòu)控制，也可以用李亞普諾夫方法，這是題外話了。

（十三）離散時(shí)間控制

都說瓦特的蒸汽機(jī)后，計(jì)算機(jī)是影響人類進(jìn)程最大的發(fā)明，計(jì)算機(jī)當(dāng)然也對(duì)自動(dòng)控制帶來深刻的影響。如前所述，控制理論基本上都是圍繞微分方程轉(zhuǎn)的，所以在

“本質(zhì)”上是連續(xù)的。但是數(shù)字計(jì)算機(jī)是離散的，也就是說，數(shù)字控制器的眼睛不是一直盯著被控對(duì)象看的，而是一眨一眨的。數(shù)字控制器的“手腳”也不是一刻不 停地連續(xù)動(dòng)作的，而是一頓一頓的。這是數(shù)字計(jì)算機(jī)的天性使然。于是，傳統(tǒng)的控制理論全部

“翻譯”到離散時(shí)間領(lǐng)域，微分方程變成了差分方程，所有方法、結(jié)論 都有了連續(xù)、離散兩套，不盡相同，但是大同小異。