牛頓392、柯西中值定理與拉格朗日中值定理的聯(lián)系

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柯西中值定理（百度百科）：…

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

…柯西中值定理：見《牛頓390、391》…

柯西中值定理粗略地表明，對于兩個端點之間的給定平面弧，至少有一個點，使曲線在該點的切線平行于兩端點所在的弦。

…切、線、切線：見《牛頓288》…

定理定義

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

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柯西（Cauchy）中值定理：設函數(shù)f（x），g（x）滿足

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

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（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

…連、續(xù)、連續(xù)：見《歐幾里得44》…

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（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導；

…可導：若f（x）在x0處連續(xù)，則當a趨向于0時，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在極限，則稱f（x）在x0處可導…見《牛頓360》…

（3）對任意x∈（a，b），g’（x）≠0。

…∈：數(shù)學符號“屬于”…見《牛頓303》…

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那么在（a，b）內(nèi)至少有一點ξ，使得[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f’（ξ）/F’（ξ）成立。

…ξ：大寫Ξ，小寫ξ，是第十四個希臘字母，中文音譯：克西。

小寫ξ用于：數(shù)學上的隨機變量…

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與拉氏定理（拉格朗日中值定理）的聯(lián)系

…拉格朗日中值定理：見《牛頓376~389》…

…聯(lián)、系、聯(lián)系：見《歐幾里得149》…

在柯西中值定理中，若取g（x）=x時，則其結(jié)論形式和拉格朗日中值定理的結(jié)論形式相同。

…結(jié)、論、結(jié)論：見《歐幾里得66》…

…形、式、形式：見《歐幾里得13》…

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因此，拉格朗日中值定理為柯西中值定理的一個特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推廣。

幾何意義

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

…意、義、意義：見《歐幾里得26》…

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若令u=f（x），v=g（x），這個形式可理解為參數(shù)方程，而[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]則是連接參數(shù)曲線兩端點弦的斜率，f’（ξ）/F’（ξ）表示曲線上某點處切線的斜率。在定理的條件下，結(jié)論可理解如下：用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點，在這一點處的切線平行于連接兩個端點的弦。

…參、數(shù)、參數(shù)：見《歐幾里得114》…

…方、程、方程：見《伽利略53》…

（…《伽利略》：小說名…）

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…斜、率、斜率：見《牛頓289》…

柯西（Cauchy）中值定理是微分中值定理的三大定理之一，它比羅爾（Rolle）定理與拉格朗日（Lagrange）中值定理更具一般性，也具有更廣泛的應用性，但大多高等數(shù)學的教材中僅介紹了柯西中值定理及其證明，對該定理的應用涉及較少，不利于學生對該定理的理解并發(fā)揮其應用價值。

…微、分、微分：見《牛頓321~336》…

…羅爾定理：見《牛頓367~375》“羅爾中值定理”…

…一、般、一般，性，一般性：見《歐幾里得126、127》…

…應、用、應用：見《歐幾里得181》…

…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀律～。創(chuàng)造～。適應～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見《歐幾里得10》…

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

“若在區(qū)間I上，可導函數(shù)F（x）的導函數(shù)為f（x）[即對任一x∈I，都有：F’（x）=f（x） 或dF（x）=f（x）dx]，則稱函數(shù)F（x）為f（x）在I上的原函數(shù)。

請看下集《牛頓393、不定積分的概念》”

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