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第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

第五節(jié) 函數(shù)的微分

一、微分的定義

概念——

• 微分：設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+Δx在這區(qū)間內(nèi)，如果增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，可表示為Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是不依賴于Δx的常數(shù)，那么稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0是可微的，而AΔx叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy=AΔx。

二、微分的幾何意義

含義：對于可微函數(shù)y=f(x)而言，當(dāng)Δy是曲線y=f(x)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí)，dy就是曲線的切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量，當(dāng)|Δx|很小時(shí)，|Δy-dy|比|Δx|小得多，因此在點(diǎn)M的鄰近，我們可以用切線段來近似替代曲線段。

三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則

a.基本初等函數(shù)的微分公式

b.函數(shù)和、差、積、商的微分法則

c.復(fù)合函數(shù)的微分法則

設(shè)y=f(u)及u=g(x)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]微分為——

四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

a.函數(shù)的近似計(jì)算

工程上常用的近似公式

b.誤差估計(jì)

概念——

• 間接測量誤差：由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法等各種因素的影響，測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計(jì)算所得的結(jié)果也會(huì)由誤差，我們把它叫做間接測量誤差。

• 絕對誤差：如果某個(gè)量的精確值為A，它的近似值為a，那么|A-a|叫做a的絕對誤差。

• 相對誤差：絕對誤差與|a|的比值|A-a|/|a|叫做a的相對誤差.

• 絕對誤差限：如果某個(gè)量的精確值是A，測得它的近似值是a，又知道它的誤差不超過δA，|A-a|<=δA，那么δA叫做測量A的絕對誤差限。

• 相對誤差限：δA/|a|叫做測量A的相對誤差限。