那條發(fā)視頻的一道條件極值題之解，分享于諸君
2021-10-25 17:18 作者:現(xiàn)代微積分 | 我要投稿
原題參考視頻:
令L=x+3y+m[xy2(x+6y)-1]
?L/?x=1+m[y2(x+6y)+xy2]=0
?L/?y=3+m[2xy(x+6y)+6xy2]=0
即3[y2(x+6y)+xy2]=2xy(x+6y)+6xy2
y＞0，兩邊同除y得
3[y(x+6y)+xy]=2x(x+6y)+6xy
即x2+6xy-9y2=0
齊次式，兩邊同除y2，令x/y=t，得:
t2+6t-9=0
解得t=-3+3√2或-3-3√2(舍)
(當(dāng)t=-3-3√2時,x與y異號，故舍去)
即x=(-3+3√2)y
代入約束條件xy2(x+6y)=1得:
9y?=1，解得y=√3/3(負(fù)根舍去)
則x=(-3+3√2)*(√3/3)=√6-√3
x+3y=√6
此時海森矩陣正定，為極小值
綜上，在x,y＞0范圍內(nèi)，原式最小值為√6
ps:上述法為拉格朗日乘數(shù)法
若另有他法，歡迎分享
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