接上回。

第四本《數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理》，這本書很薄，一天就能讀完。

若你能感同身受，可謂受益匪淺，不然這本書可能被規(guī)為空談方法論。此處所謂感同身受，是指在書中能印照出自己的過往經(jīng)歷或?qū)W習(xí)感悟，讀畢似是得到了對過去學(xué)習(xí)習(xí)慣的肯定與向未來邁步前進的勇氣。當然，若能嘗試踐行其中一些方法，而且受用，也不罔此行。

這里費些篇幅談?wù)勎矣心男└型硎堋?/p>

其一，問題的留存。在我學(xué)習(xí)一門數(shù)學(xué)分支，特別是剛學(xué)的時候，腦海里會冒出很多新奇的問題，而其中不乏一些苦思良久而不得解的。

雖然求而不解，但草稿倒是費了一沓，主要原因是字（也許說符號更適合）大且留空很大。記得高中語文老師“佩服”我的字時說道，語文差的不行，造字倒有一手，一個字你能一天一個樣，都不帶重樣的。這句評價，被好友調(diào)侃至今。但其實對我來說，不管何時我的字都別無差別，我不需要去特意甄別我以前寫的是啥。不過我也不否認這句評價，因為即使我最好的朋友，也?？床欢覍懙牟莞?。

似乎扯遠了，回到正題，如果在你遇到求而不解的問題時，你會怎樣？是求助他人，還是暫擱一旁，還是干脆放棄？

我想說的是第三種萬萬不可取。問題是數(shù)學(xué)的靈魂，而一個人的問題是一個人數(shù)學(xué)的靈魂。

不要寄希望于以后自己不會再有這個問題。

這句話有兩層意思，第一層即表面意義上的，而第二層更重要。的確，你可能在后面的學(xué)習(xí)過程中，再也不會被這個問題所困擾，但這只是因為你先強迫自己接受了一個你根本不懂的原理，然后在長時間的運用后，就習(xí)以為常了，認為這就是真理。

這有可能嗎？其實常有。看向數(shù)學(xué)長河，不難發(fā)現(xiàn)，哪怕是史上有名的智者，也陷入過這處泥潭。

譬如，數(shù)的運算法則對任意數(shù)都成立嗎？再具體些，考慮ab=ba。

這從代數(shù)出現(xiàn)后的漫長歲月里，雖然有人質(zhì)疑過，但不曾有人給出否定。是啊，整數(shù)的天然法則，居然適用于分數(shù)，哪怕后來無理數(shù)、負數(shù)、復(fù)數(shù)的加入，都不曾出現(xiàn)問題，這些運算法則一定是真理！幾個世紀的人們包括數(shù)學(xué)家都不免這么想。

所以甚至出現(xiàn)了一個定理，好像叫“形式的真理性”，即因為形式上有代數(shù)ab=ba，那么具體到數(shù)，就自然滿足交換律。這個定理在現(xiàn)在我們看來，甚是滑稽，可謂毫無邏輯。

但這個定理卻真實地被信服了漫長歲月，直到哈密頓發(fā)明（借用書名對發(fā)明與發(fā)現(xiàn)的看法）了四元數(shù)（最早的超復(fù)數(shù)），即形如a+bi+cj+dk的數(shù)，其中i=j=k=√-1。四元數(shù)并不滿足交換律，因為ij=k，ji=-k，類似于叉積。

在四元數(shù)發(fā)明之前，代數(shù)的基礎(chǔ)可以歸結(jié)到整數(shù)，而整數(shù)又是那么顯然，沒什么人去質(zhì)疑。但隨四元數(shù)的出現(xiàn)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)以前被認為真理的代數(shù)法則居然失效了，建造已久的代數(shù)高廈開始搖搖欲墜，這逼迫數(shù)學(xué)家們竭力去思考代數(shù)的基礎(chǔ)到底在哪里？

再之后，便是催生了代數(shù)的公理化（這里不詳談，以后有機會再聊）。

說了一堆，只是用歷史事實告訴大家，不要放棄你最開始的那些問題，也許它將是引發(fā)下一次數(shù)學(xué)革命的鑰匙。再不濟，也是你數(shù)學(xué)靈魂升華的一道圣光。

既然不可放棄，那該如何，這里給出我的做法，以供參考。我會把問題記錄下來，一般只留下最初的問題和卡住的一環(huán)，而這往往一句話就夠了。

這里提我線代視頻里的一個問題進行舉例，是否存在非方陣AB=E？這個問題是我剛學(xué)線代時提出的，苦思良久不得其解，便寫在了書白處（常覺得這很像費馬，而感到自豪，哈哈。）。

后來又學(xué)了一段日子，不知哪天翻到了那頁，便再次嘗試解答，這次摸索出了那期不完備證明，一時甚是開心（因為歷史上著名定理的證明，往往最開始的一步最難躍過），不過當我想繼續(xù)往下走，卻又卡住了，不知道怎么證完備形式。

再后來，又過了一段時間，我利用其他途徑（不過也是代數(shù)角度）證明了完備形式，到此時，這個問題似乎已經(jīng)完美解決了。

不過再之后，某天騎車時，腦海中閃過一絲靈感（我常常在騎車時思考問題，也常常頗有成效，不過讀者若想嘗試，還是換個運動方式，哪怕要騎車，也請萬萬注意安全。），為什么我不從幾何角度去考慮呢，然后一想，答案呼之而出，不需要動一筆就給出了完美的證明，也就是我常說的能用嘴說出的證明是最完美的。

這里的關(guān)鍵在于不可能存在高維打擊后，再回溯到高維。（這是我的語言，若不明白，得看我線代視頻里的相關(guān)章節(jié)。）

談了一個感同身受就快兩千字了，足見這本書我是多么感同身受，哈哈。

未完待續(xù)。