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本案例研究說明了卡爾曼濾波器的設(shè)計(jì)和仿真。考慮穩(wěn)態(tài)和時(shí)變卡爾曼濾波器。

植物動(dòng)力學(xué)

考慮一個(gè)在輸入u[n]上有加性高斯噪聲w[n]。

此外，讓 yv[n] 是輸出 y[n] 的噪聲測量，其中 v[n] 表示測量噪聲：

離散卡爾曼濾波器

該問題的穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波器方程如下。

• 測量更新：

• 時(shí)間更新：

在這些方程中：

• ?x[n?n?1] 是 x[n] 的估計(jì)值，給定過去直到 yv[n?1] 的測量值。

• ?x[n?n] 是基于最后一次測量 yv[n] 的更新估計(jì)。

給定當(dāng)前估計(jì) ?x[n?n]，時(shí)間更新預(yù)測下一個(gè)樣本n??+ 1的狀態(tài)值?（提前一步預(yù)測）。然后，測量更新基于新的測量值 yv[n+1] 調(diào)整該預(yù)測。修正項(xiàng)是新值的函數(shù)，即 y[n+1] 的測量值和預(yù)測值之間的差異。這種差異由下式給出：

給定噪聲協(xié)方差，選擇創(chuàng)新增益 M 以最小化估計(jì)誤差的穩(wěn)態(tài)協(xié)方差：

您可以將時(shí)間和測量更新方程組合到一個(gè)狀態(tài)空間模型中，即卡爾曼濾波器：

該濾波器生成 yn 的最佳估計(jì) ?y[n?n]。請注意，過濾器狀態(tài)是 ?x[n?n?1]。

穩(wěn)態(tài)設(shè)計(jì)

您可以使用函數(shù) 設(shè)計(jì)上述穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波器?kalman。首先指定帶有過程噪聲的工廠模型：

這里，第一個(gè)表達(dá)式是狀態(tài)方程，第二個(gè)是測量方程。

以下命令指定此工廠模型。采樣時(shí)間設(shè)置為 -1，以將模型標(biāo)記為離散模型而不指定采樣時(shí)間。

Pla = s

假設(shè)?Q??=??R??= 1，設(shè)計(jì)離散卡爾曼濾波器。

kalm

此命令返回kalmf?濾波器的狀態(tài)空間模型?以及創(chuàng)新增益?M。

M

kalmf?的輸入?是?u?和 yv，以及。輸出是工廠輸出和狀態(tài)估計(jì)，ye=?y[n?n] 和 ?x[n?n]。

因?yàn)槟鷮敵龉烙?jì) ye 感興趣，所以選擇第一個(gè)輸出?kalmf?并丟棄其余的。

kalmf

要查看濾波器的工作原理，請生成一些輸入數(shù)據(jù)和隨機(jī)噪聲，并將濾波后的因變量 ye 與真實(shí)因變量?y 進(jìn)行比較。您可以單獨(dú)生成每個(gè)因變量，也可以同時(shí)生成兩者。要分別模擬每個(gè)因變量，先單獨(dú)使用?植物，然后將植物和過濾器連接在一起。接下來詳細(xì)介紹聯(lián)合仿真替代方案。

下面的框圖顯示了如何生成真實(shí)輸出和過濾輸出。

您可以使用函數(shù)和?構(gòu)建此框圖的狀態(tài)空間模型?。首先構(gòu)建一個(gè)完整的工廠模型，以?u、??w、??v?作為輸入，??y?和 yv（測量值）作為輸出。

s(a,b,c,d,-1,'iptnme',{'u' 'w' 'v'},'ouutnae',{'y' 'yv'});

然后形成下圖的并聯(lián)。

pal(P,kf,1,1,[],[]);

最后，通過將設(shè)備輸出 yv 連接到具有正反饋的過濾輸入 yv 來關(guān)閉傳感器回路。

1. Smoe = feedback; % 圍繞輸入#4和輸出#2關(guān)閉循環(huán)

2. SiMe = SMdl % 從I/O列表中刪除yv

生成的仿真模型將?w、??v、??u?作為輸入，??y?和 ye 作為輸出。查看屬性進(jìn)行驗(yàn)證。

1. InuNe

2. 


3. 


4. OupNme

?

您現(xiàn)在已準(zhǔn)備好模擬過濾器。生成正弦輸入?u?并處理和測量噪聲向量?w?和?v。

1. n = length

2. w = sqrt*randn

3. v = sqrt*randn

模擬因變量。

1. [out,x] = lsim

2. 


3. y = out; % 真實(shí)響應(yīng)

4. ye = out; % 濾過的響應(yīng)

5. yv = y + v; % 測量響應(yīng)

以圖形方式比較真實(shí)和過濾后的因變量。

1. plot

2. xlabel

3. title

4. subplot

5. xlabel

第一個(gè)圖顯示了真實(shí)因變量?y??（虛線）和過濾后的輸出 ye（實(shí)線）。第二個(gè)圖將測量誤差（點(diǎn)劃線）與估計(jì)誤差（實(shí)線）進(jìn)行比較。該圖顯示噪音水平已顯著降低。這是通過計(jì)算協(xié)方差誤差來確認(rèn)的。濾波前的誤差協(xié)方差（測量誤差）為：

MEro = sum/length

濾波后的誤差協(xié)方差（估計(jì)誤差）降低：

EsrCv = sum/length

時(shí)變卡爾曼濾波器

時(shí)變卡爾曼濾波器是對時(shí)變系統(tǒng)或具有非平穩(wěn)噪聲協(xié)方差的 LTI 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)濾波器的推廣。

考慮以下工廠狀態(tài)和測量方程。

時(shí)變卡爾曼濾波器由以下遞歸給出：

• 測量更新：

• 時(shí)間更新：

這里，?x[n?n?1] 和 ?x[n?n] 如前所述。此外：

為簡單起見，表示狀態(tài)空間矩陣的時(shí)間依賴性的下標(biāo)已被刪除。

給定初始條件 x[1?0] 和 P[1?0]，您可以迭代這些方程來執(zhí)行過濾。您必須在每個(gè)時(shí)間樣本更新狀態(tài)估計(jì) x[n?.] 和誤差協(xié)方差矩陣 P[n?.]。

時(shí)變設(shè)計(jì)

要實(shí)現(xiàn)這些濾波器遞歸，首先要生成噪聲輸出測量值。使用?之前產(chǎn)生的過程噪聲?w?和測量噪聲?v。

y = lsim

假設(shè)以下初始條件：

用for?循環(huán)實(shí)現(xiàn)時(shí)變?yōu)V波器?。

1. P = B*Q*B'; %初始誤差協(xié)方差

2. x = zeros; % 狀態(tài)的初始條件

3. 


4. for i = 1:length

5. % 測量更新

6. erv(i) = C*P*C';

7. 


8. % 時(shí)間更新

9. x = A*x + B*u;

以圖形方式比較真實(shí)輸出和估計(jì)輸出。

1. subplot(211)

2. 


3. subplot

4. xlabel

第一個(gè)圖顯示了真實(shí)因變量?y??（虛線）和過濾后的因變量 ye（實(shí)線）。第二個(gè)圖將測量誤差（點(diǎn)劃線）與估計(jì)誤差（實(shí)線）進(jìn)行比較。

時(shí)變?yōu)V波器還估計(jì)errcov?每個(gè)樣本的估計(jì)誤差 y-ye的協(xié)方差?。繪制它以查看您的濾波器是否達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)（正如您對固定輸入噪聲所期望的那樣）。

1. subplot(211)

2. plot

從這個(gè)協(xié)方差圖中，您可以看到輸出協(xié)方差確實(shí)在大約五個(gè)樣本中達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。從那時(shí)起，您的時(shí)變?yōu)V波器具有與穩(wěn)態(tài)版本相同的性能。

與由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)導(dǎo)出的估計(jì)誤差協(xié)方差比較：

Esro = sum/length

該值小于理論值?errcov?，接近穩(wěn)態(tài)設(shè)計(jì)獲得的值。

最后，注意最終值 M[n] 和?創(chuàng)新增益矩陣的穩(wěn)態(tài)值?M重合。

1. Mn

2. 


3. M

?

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