正好撞上了自己的研究，簡(jiǎn)單說兩句：

1.這個(gè)項(xiàng)目開源了的，而且這個(gè)項(xiàng)目是一個(gè)系列，他的每個(gè)神經(jīng)元不是普通的常規(guī)神經(jīng)元（weight&bias），而是基于neural ode和ct-rnn的一種新的子結(jié)構(gòu)，作者叫他LTC（liquid time constant）這個(gè)東西發(fā)的AAAI。視頻里面這個(gè)是作者根據(jù)仿生定義的神經(jīng)元鏈接方式，叫NCP（neural circuit policy）發(fā)的20年nature ml。

但是這玩意是neural ode+rnn構(gòu)架，看起來很小個(gè)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)則需要展開進(jìn)行訓(xùn)練和推理，還不能并行，所以作者又設(shè)計(jì)了個(gè)CFC，用一個(gè)解析解來近似推理LTC的行為，從而加速他的訓(xùn)練，這個(gè)也發(fā)在去年nature ml上面。

總而言之，這東西的好處是

1.表達(dá)力很強(qiáng)，啥意思呢，就是一層，幾個(gè)ltc的模型也能媲美特別深的resnet，而且這一層里面實(shí)則模型已經(jīng)擬合了目標(biāo)函數(shù)很多次了（neural ode特性）所以能夠用極小的網(wǎng)絡(luò)完成復(fù)雜的task，

2.可解釋性強(qiáng)，因?yàn)閷訑?shù)減少，單個(gè)神經(jīng)元能力強(qiáng)，不管是attention還是做PCA分析都能很容易的發(fā)現(xiàn)每層的幾個(gè)神經(jīng)元在做的事情。壞處就是不好訓(xùn)，這也是neural ode構(gòu)架的主要問題，18年nips best paper之后，n-ode構(gòu)架沒法取代resnet也是有這方面的因素，做不大。

很多評(píng)論都在說哎呀這沒用那沒用，感覺不如xxx，其實(shí)說的沒錯(cuò)，就和免費(fèi)送你3a大作和送你steam喜加一小游戲一樣，肯定選3a。但是3a大作雖然香，你也不能說小游戲都是垃圾，里面的玩法，思想，說不定那天就成為了有用的東西。我覺得科研也是一樣，有些東西就是力大磚飛，直接干碎了一些想法，但是這些想法可能會(huì)在未來算力，硬件足夠強(qiáng)之后取代這塊磚，讓力大飛的子彈，導(dǎo)彈或者是星際戰(zhàn)艦對(duì)吧

確實(shí)，人們常常會(huì)輕視一些看似小的想法或者成果，但實(shí)際上它們可能會(huì)為未來的科學(xué)研究和技術(shù)創(chuàng)新提供重要的啟示和基礎(chǔ)。在科研中，每一個(gè)小的成果都可能是積累的一部分，最終構(gòu)建起大的體系。

自動(dòng)駕駛中的擬合目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)非常重要的問題。目標(biāo)函數(shù)的選擇直接影響到自動(dòng)駕駛算法的性能和效果。擬合目標(biāo)函數(shù)的過程需要運(yùn)用專業(yè)的數(shù)學(xué)知識(shí)，例如最小二乘法、梯度下降算法等。通過擬合目標(biāo)函數(shù)，可以將不同的感知信息進(jìn)行融合，從而得到更加準(zhǔn)確和可靠的決策。

自動(dòng)駕駛中還有許多其他的數(shù)學(xué)問題，例如軌跡規(guī)劃、路徑跟蹤等。這些問題也都需要運(yùn)用專業(yè)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決。隨著技術(shù)的不斷進(jìn)步和算力的提升，我們相信自動(dòng)駕駛技術(shù)將會(huì)越來越成熟和完善，為人們的出行帶來更加便利和安全的體驗(yàn)。

1. 軌跡規(guī)劃

在自動(dòng)駕駛中，軌跡規(guī)劃是指生成一條合適的車輛行駛路徑。軌跡規(guī)劃需要考慮許多因素，如道路規(guī)劃、車輛動(dòng)力學(xué)模型、障礙物等，因此通常需要采用復(fù)雜的算法進(jìn)行求解。其中，最常見的方法是基于優(yōu)化的方法，如基于模型預(yù)測(cè)控制的方法。

2.路徑跟蹤

路徑跟蹤是指車輛沿著預(yù)先規(guī)劃的路徑行駛，并保持車輛在路徑上的穩(wěn)定性和精度。路徑跟蹤需要考慮車輛的動(dòng)力學(xué)特性、路面摩擦系數(shù)、傳感器精度等因素。常用的方法包括基于PID控制器、模型預(yù)測(cè)控制等方法。

3.最小二乘法

最小二乘法是一種用于擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)并找到最佳擬合線的方法。它通過尋找最小化數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合線之間距離平方和的方法來實(shí)現(xiàn)擬合。最小二乘法廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析和統(tǒng)計(jì)學(xué)中。

在Python中，可以使用numpy庫中的polyfit函數(shù)來實(shí)現(xiàn)最小二乘法擬合。例如，下面的代碼演示如何使用polyfit函數(shù)對(duì)一組二次函數(shù)進(jìn)行擬合：

import numpy as np x = np.array([1, 2, 3, 4, 5]) y = np.array([1, 4, 9, 16, 25]) p = np.polyfit(x, y, 2) # 進(jìn)行二次擬合 print(p) # 輸出擬合系數(shù)

4.梯度下降算法

梯度下降算法是一種常用的優(yōu)化算法，它通過不斷迭代來最小化目標(biāo)函數(shù)。算法的核心思想是沿著目標(biāo)函數(shù)的梯度方向進(jìn)行迭代，以期望找到全局最優(yōu)解或局部最優(yōu)解。

在Python中，可以使用scikit-learn庫中的GradientDescentRegressor函數(shù)來實(shí)現(xiàn)梯度下降算法擬合。例如，下面的代碼演示如何使用GradientDescentRegressor函數(shù)對(duì)一組二次函數(shù)進(jìn)行擬合：

from sklearn.linear_model import SGDRegressor import numpy as np x = np.array([1, 2, 3, 4, 5]).reshape(-1, 1) y = np.array([1, 4, 9, 16, 25]) clf = SGDRegressor(max_iter=1000, eta0=0.1) # 創(chuàng)建梯度下降模型 clf.fit(x, y) # 進(jìn)行擬合 print(clf.coef_, clf.intercept_) # 輸出擬合系數(shù)

5.目標(biāo)函數(shù)擬合

在自動(dòng)駕駛中，目標(biāo)函數(shù)擬合可以用于將不同的感知信息進(jìn)行融合，以得到更加準(zhǔn)確和可靠的決策。目標(biāo)函數(shù)通?？梢员硎緸橐粋€(gè)數(shù)學(xué)模型，它將不同的感知信息轉(zhuǎn)化為決策所需的輸入。然后，可以使用擬合算法來擬合目標(biāo)函數(shù)，以最小化模型與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的差距。

常用的目標(biāo)函數(shù)擬合算法包括最小二乘法和梯度下降算法。最小二乘法通過尋找最小化數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合線之間距離平方和的方法來實(shí)現(xiàn)擬合。而梯度下降算法則通過不斷迭代來最小化目標(biāo)函數(shù)。這兩種方法都可以用于自動(dòng)駕駛中的目標(biāo)函數(shù)擬合

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 創(chuàng)建一個(gè)帶噪聲的二次函數(shù)數(shù)據(jù)集 x = np.linspace(-10, 10, 100) y = 2 * x**2 + 3 * x - 5 + np.random.normal(0, 10, size=100) # 使用最小二乘法進(jìn)行擬合 p = np.polyfit(x, y, 2) print(p) # 繪制數(shù)據(jù)集和擬合曲線 plt.scatter(x, y) plt.plot(x, np.polyval(p, x), color='red') plt.show()

以下是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型描述自動(dòng)駕駛中的路徑跟蹤過程：

假設(shè)當(dāng)前車輛所在位置為 $(x,y)$，朝向角度為 $\theta$，目標(biāo)點(diǎn)位置為 $(x_t, y_t)$。為了讓車輛能夠沿著路徑正確行駛，需要計(jì)算出車輛需要執(zhí)行的轉(zhuǎn)向角度 $\delta$。此時(shí)可以使用古典的前饋控制方法進(jìn)行計(jì)算，該方法基于車輛動(dòng)力學(xué)模型和路徑跟蹤控制理論，可以計(jì)算出轉(zhuǎn)向角度的理論值，從而控制車輛行駛方向。

具體來說，假設(shè)車輛的速度為 $v$，轉(zhuǎn)彎半徑為 $R$，轉(zhuǎn)向角度為 $\delta$，則有：

最后，可以將計(jì)算出的轉(zhuǎn)向角度 $\delta$ 送入車輛控制系統(tǒng)中，實(shí)現(xiàn)路徑跟蹤控制。

需要注意的是，上述模型只是一個(gè)簡(jiǎn)單的示例，實(shí)際應(yīng)用中需要根據(jù)具體情況進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化。此外，還需要考慮諸如障礙物避讓、動(dòng)態(tài)路徑規(guī)劃等問題，來保證自動(dòng)駕駛系統(tǒng)的安全性和穩(wěn)定性。

障礙物避讓和動(dòng)態(tài)路徑規(guī)劃是自動(dòng)駕駛系統(tǒng)中必不可少的兩個(gè)環(huán)節(jié)。下面將分別介紹這兩個(gè)環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型。

1. 障礙物避讓

在自動(dòng)駕駛中，障礙物避讓是指車輛需要在行駛過程中避免與其他車輛或物體碰撞。為了實(shí)現(xiàn)障礙物避讓，可以將其建模為一個(gè)路徑規(guī)劃問題，即在保證車輛行駛方向不變的前提下，計(jì)算出能夠避開障礙物的最優(yōu)路徑。

假設(shè)車輛當(dāng)前所在位置為 $(x_0, y_0)$，行駛朝向角度為 $\theta_0$，需要避開的障礙物位置為 $(x_o, y_o)$，半徑為 $r_o$。此時(shí)可以將車輛和障礙物建模為圓形，其數(shù)學(xué)表示分別為：

(x?x0)2+(y?y0)2=rc2

(x?xo)2+(y?yo)2≥ro2

其中 $r_c$ 為車輛半徑，代表車輛外形的半徑大小。可以使用數(shù)值優(yōu)化算法（如梯度下降算法）求解出車輛需要行駛的最優(yōu)路徑，從而實(shí)現(xiàn)障礙物避讓。

1. 動(dòng)態(tài)路徑規(guī)劃

動(dòng)態(tài)路徑規(guī)劃是指車輛需要根據(jù)實(shí)時(shí)的環(huán)境信息（如車輛位置、速度、障礙物位置等）來實(shí)時(shí)計(jì)算出能夠到達(dá)目標(biāo)位置的最優(yōu)路徑。此時(shí)需要將車輛行駛的過程建模為一個(gè)最優(yōu)化問題，通過求解最優(yōu)解來實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)路徑規(guī)劃。

假設(shè)車輛當(dāng)前所在位置為 $(x_0, y_0)$，朝向角度為 $\theta_0$，需要到達(dá)的目標(biāo)位置為 $(x_t, y_t)$。此時(shí)可以將車輛行駛的過程建模為一個(gè)最優(yōu)化問題，其數(shù)學(xué)表示為：

其中 $p(t) = [x(t), y(t)]$ 代表車輛在時(shí)間 $t$ 時(shí)的位置，$\dot{p}(t)$ 代表車輛在時(shí)間 $t$ 時(shí)的速度，$t_0$ 和 $t_f$ 分別代表起始時(shí)間和終止時(shí)間。$L(p(t), \dot{p}(t), t)$ 為路徑的代價(jià)函數(shù)，用于描述車輛行駛的質(zhì)量。可以使用最優(yōu)控制理論中的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法（如貝爾曼方程）來求解出最動(dòng)態(tài)路徑規(guī)劃是指在行駛過程中根據(jù)實(shí)時(shí)的環(huán)境信息和目標(biāo)位置信息，通過計(jì)算得出一條最優(yōu)路徑。最優(yōu)路徑一般指的是時(shí)間最短、路程最短、能量消耗最少等目標(biāo)，因此需要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

首先，需要定義一個(gè)狀態(tài)向量，其中包含車輛的位置、速度、加速度等信息。假設(shè)狀態(tài)向量為 $x=[p_x, p_y, v_x, v_y, a_x, a_y]^T$，其中 $p_x$ 和 $p_y$ 分別表示車輛在 $x$ 和 $y$ 軸上的位置，$v_x$ 和 $v_y$ 表示車輛在 $x$ 和 $y$ 軸上的速度，$a_x$ 和 $a_y$ 表示車輛在 $x$ 和 $y$ 軸上的加速度。

其次，需要建立一個(gè)代價(jià)函數(shù) $J$，用于衡量行駛路徑的優(yōu)劣。代價(jià)函數(shù)通常是由兩部分組成，一部分是規(guī)劃路徑的代價(jià)，另一部分是避免碰撞的代價(jià)。假設(shè)規(guī)劃路徑的代價(jià)為 $J_{path}$，避免碰撞的代價(jià)為 $J_{obs}$，則總代價(jià)函數(shù)為 $J = J_{path} + \lambda J_{obs}$，其中 $\lambda$ 是一個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)。

對(duì)于規(guī)劃路徑的代價(jià)，可以使用最小時(shí)間或最小距離等標(biāo)準(zhǔn)。最小時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)下，代價(jià)函數(shù)可以定義為：

Jpath=T=∫t0tfdt

其中 $t_0$ 和 $t_f$ 分別表示起點(diǎn)和終點(diǎn)的時(shí)間，而 $\int_{t_0}^{t_f} dt$ 表示總行駛時(shí)間。

對(duì)于避免碰撞的代價(jià)，一種常見的方法是使用人工勢(shì)場(chǎng)法。人工勢(shì)場(chǎng)法是一種基于勢(shì)能的算法，通過計(jì)算各個(gè)障礙物的斥力，將車輛移動(dòng)到勢(shì)能較低的區(qū)域，從而避免碰撞。假設(shè)有 $n$ 個(gè)障礙物，每個(gè)障礙物的位置為 $(x_i, y_i)$，斥力函數(shù)為 $F_{obs}(x, y)$，則避免碰撞的代價(jià)可以定義為：

Jobs=∑i=1nFobs(px?xi,py?yi)

動(dòng)態(tài)路徑規(guī)劃可以用一些基本的數(shù)學(xué)模型來描述：

1. 狀態(tài)空間模型：可以使用狀態(tài)空間模型來表示機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即機(jī)器人在時(shí)刻 $t$ 的位置和速度 $[x(t), y(t), \theta(t), v(t)]$，其中 $\theta$ 表示機(jī)器人的朝向角度，$v$ 表示機(jī)器人的速度。

2. 目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)的形式可以是一個(gè)代價(jià)函數(shù)，它包括兩部分：一是機(jī)器人到目標(biāo)點(diǎn)的距離，二是機(jī)器人到障礙物的距離，即 $J=f(d_{goal}, d_{obs})$。其中，$d_{goal}$ 表示機(jī)器人到目標(biāo)點(diǎn)的距離，$d_{obs}$ 表示機(jī)器人到障礙物的距離。代價(jià)函數(shù)的最小化可以使用梯度下降法來實(shí)現(xiàn)。

3. 約束條件：在進(jìn)行路徑規(guī)劃時(shí)，需要考慮機(jī)器人的約束條件，例如速度、加速度、轉(zhuǎn)彎半徑等等。此外，還需要考慮障礙物的約束條件，例如障礙物的形狀、大小、位置等等。

4. 路徑規(guī)劃算法：常用的路徑規(guī)劃算法包括 A* 算法、Dijkstra 算法、RRT 算法等等。其中，A* 算法和Dijkstra 算法是基于圖搜索的算法，RRT 算法則是一種基于樹結(jié)構(gòu)的隨機(jī)采樣算法。