（1）概率論的基本概念

隨機事件、樣本空間：比如兩個人談戀愛，有成功和失敗的兩種可能，也就是隨機事件包括兩個：成功、失敗，或者還有第三種：最后沒結(jié)婚但卻一直保持良好關(guān)系？如果沒有，樣本空間就是{成功、失敗}；如果有，那樣本空間就是{成功、失敗，沒結(jié)婚卻保持良好關(guān)系}，也就是說，隨機試驗的結(jié)果稱為隨機事件，一個隨機事件的所有的可能結(jié)果構(gòu)成了樣本空間。至于談戀愛算不算隨機試驗，我們這里就不探討了。

條件概率：

條件概率P(A|B)是一種定義，它表示的意思是在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，

而 P（AB）的意思是A、B兩個事件同時發(fā)生。

全概率公式：

貝葉斯公式:

這兩者的區(qū)別就在于原因和結(jié)果顛倒了，而之所以可以顛倒的原因就在于P(AB)=P(BA),導(dǎo)致：

（2）一維隨機變量及其分布

這一章的關(guān)鍵就是正態(tài)分布曲線：

對于曲線上的每一點（x,y）,其橫坐標(biāo)代表的數(shù)值，縱坐標(biāo)代表的是比例，比如，這條曲線如果表示一個100人的班級的考試成績，那么橫坐標(biāo)就是分?jǐn)?shù)，縱坐標(biāo)就是這個分?jǐn)?shù)的學(xué)生所占比例。這條曲線從左到右所包圍的面積，就是某個分?jǐn)?shù)段（比如0-60）分的學(xué)生所占的比例。這條曲線的最高點就是這個班的平均分。這條曲線還表示了一個意思，就是平均分旁邊的分?jǐn)?shù)的學(xué)生所在比例更高，往兩邊比例逐漸縮小。

（3）二維隨機變量及其分布

這一章的重點應(yīng)該把握邊緣概率密度的概念。

一維概率密度函數(shù)f(x)指的是在x固定的情況下，x的這個值的取值頻度。

同樣，邊緣概率密度也是一樣的意思：

前者是指x固定，y在整個定義域內(nèi)變動，后者則反過來。

（4）隨機變量的數(shù)字特征

這一章的數(shù)學(xué)期望很簡單，就是樣本容量N趨于無窮大時平均值的極限值。

方差按照其公式

它表示的就是所考察的全部隨機數(shù)與其平均值的偏差的一種度量。

比如，兩個班的學(xué)生的平均身高都是165，其中一個班的學(xué)生大多數(shù)在165附近，那么這個班的學(xué)生的身高的方差就比較??；另一個班的學(xué)生有一部分180以上，另外一部分150以下，那么這個班的方差就大。同樣，如果一個國家的平均國民收入數(shù)據(jù)的方差比較大，意味著貧富差距比較大，那么，這個國家肯定在某個方面存在問題。

還有一個就是相關(guān)系數(shù)的概念，其定義

比如：

上圖是完全線性相關(guān)，下圖是X其中的一個點違反了規(guī)則，導(dǎo)致相關(guān)系數(shù)下降。那么，這個規(guī)則是什么呢？

就是被考察的兩個變量，當(dāng)它們同時大于或者小于其平均值的時候（X的均值為6，Y是12），它們的相關(guān)系數(shù)就大，反之則小。那么，相關(guān)系數(shù)的含義就應(yīng)該是，對于兩個變量其圍繞它們的均值進(jìn)行變化的趨勢是否一致的程度的一種度量。

（5）大數(shù)定律與中心極限定理

這章的重點應(yīng)該是中心極限定理。

分子分母都除以n之后，定理變成：

我們注意到，這里的變量已經(jīng)變成了

也就是說，中心極限定理說的其實是，當(dāng)一組獨立同分布的隨機變量的數(shù)量足夠大的時候， 它們的均值也服從正態(tài)分布。

2．基礎(chǔ)數(shù)理統(tǒng)計

（1）抽樣分布

這一章主要是理解卡方分布：

那就是把卡方統(tǒng)計量看作是Y=Y1+Y2+......，其中Yi=Xi^2,而Y的密度函數(shù)經(jīng)過復(fù)合函數(shù)計算后為：

（2）參數(shù)估計和假設(shè)檢驗

這一章重點搞清楚似然估計和假設(shè)檢驗就差不多了。

似然估計：

我們常說的概率，是在已經(jīng)知道隨機變量某個值出現(xiàn)的可能性大小的情況下，來推測在某次試驗中這個值會出現(xiàn)多少次。比如預(yù)先知道，一枚正常的硬幣，在拋擲的時候，正反兩面出現(xiàn)的可能性（概率）都是1/2，那么，如果拋擲100次，可以預(yù)測正反兩面出現(xiàn)的次數(shù)都大概是50次；而似然性則是用于在已知拋擲100次硬幣正反兩面出現(xiàn)的次數(shù)的基礎(chǔ)上，反過來推測正反兩面出現(xiàn)的可能性（概率），即根據(jù)某些觀測所得到的結(jié)果，對有關(guān)事物的性質(zhì)的參數(shù)進(jìn)行估計。

但是，我們應(yīng)該得到一個更大的概率值，所以我們嘗試了所有θ可取的值，使得表達(dá)式θ? (1-θ)3取得最大值的θ為0.7左右，這就是似然值的含義，也就是說，在已經(jīng)知道試驗結(jié)果（7次正面，3次反面）的前提下，反過去推測θ值為多少（這里假設(shè)硬幣正反兩面出現(xiàn)的概率都可以不是1/2）才能使得試驗結(jié)果表達(dá)式θ? (1-θ)3的值達(dá)到最大。注意這一表達(dá)式使用的是乘法原理得到的結(jié)果。

清楚這個問題以后，我們就可以提出

假設(shè)檢驗：某機床廠加工一種零件，根據(jù)經(jīng)驗知道，該廠加工零件的橢圓度近似服從正態(tài)分布，其總體均值為m0=0.081mm，總體標(biāo)準(zhǔn)差為s= 0.025 。今換一種新機床進(jìn)行加工，抽取n=200個零件進(jìn)行檢驗，得到的橢圓度的均值為0.076mm。試問新機床加工零件的橢圓度的均值與以前有無顯著差異？（a＝0.05）

解題結(jié)果：

看到這個結(jié)果以后，還是會覺得不好理解，為什么就拒絕了假設(shè)H0呢？

這個計算結(jié)果就是告訴我們,新機床的產(chǎn)品（x）和老機床的總體均值之差處于上圖的藍(lán)色區(qū)域（z=-2.83）內(nèi)，而上圖中兩邊藍(lán)色部分面積之和即a=0.05，也就是預(yù)先設(shè)定的檢驗水準(zhǔn)。上述實驗結(jié)果還表明，只有進(jìn)一步縮小a值（比如3%），才能使得z=-2.83不包括在上面兩個藍(lán)色區(qū)間內(nèi)，也就是在a更小的情況下，才能接受H0。這里的a代表顯著性水平，顯著性水平越低，就表示原假設(shè)越難被推翻，假設(shè)檢驗越保守。顯著性水平越高，就表示原假設(shè)越容易被否定，假設(shè)檢驗越激進(jìn)。也就是說，顯著性水平是留給某次實驗用來推翻原假設(shè)的可能性的大小。

這就好比一個女孩子對一個男孩子說，你本來追不到我（H0），但我愿意給你5%的可能性（顯著性水平，意味著這個男孩子要在下雨天為她送飯）試一下，結(jié)果男孩子真做到了，也追到了這個女孩（否定了H0）；而當(dāng)這個女孩子只愿意給3%的可能性（意味著這個男孩子要在下雪天為她送飯）的時候，結(jié)果就沒有追到一樣。

（2）線性模型（回歸分析）和方差分析

回歸方程：

回歸方程系數(shù)的求解就是使得上圖中的誤差線段ei的平方和

最?。?/p>

從得出的結(jié)果可以看出，所考察的每一個點都對回歸方程的系數(shù)做出了貢獻(xiàn)。

從以上的分析可以看出，數(shù)理統(tǒng)計這門課的知識結(jié)構(gòu)大概是：先是隨機變量的基本概念，然后分別在一維和二維空間對隨機變量進(jìn)行分析計算，然后是點估計（包括矩估計法、最大似然法、最小二乘法等來估計數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)等），區(qū)間估計（置信區(qū)間、假設(shè)檢驗等）。