思維問(wèn)題第三集來(lái)啦！

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假如地球是一個(gè)完美的球體，赤道周長(zhǎng)是4萬(wàn)公里。我有一根環(huán)繞赤道的繩子懸浮在赤道上，繩子的長(zhǎng)度是4萬(wàn)公里零1米，請(qǐng)問(wèn)繩子與地面之間的空隙最多能允許哪只動(dòng)物鉆過(guò)去？

A.螞蟻? ?B.老鼠? ?C.小貓? ?D.斑馬

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這個(gè)問(wèn)題并不難。

地球的半徑是R，周長(zhǎng)C=2πR，周長(zhǎng)大約是半徑的6.28倍，半徑大約是周長(zhǎng)的1/6.28。假如繩子的長(zhǎng)度比赤道的周長(zhǎng)多1米，那么繩子繞成圓，半徑就比赤道多1/6.28，大約0.16米。這么大的空間，一只不太肥的貓是完全可以鉆過(guò)去的，所以選C。

這個(gè)題的反直覺(jué)之處在于：許多人認(rèn)為赤道周長(zhǎng)4萬(wàn)公里那么長(zhǎng)，如果繩子只多1米，對(duì)半徑的影響微乎其微，所以繩子應(yīng)該緊緊貼在地面上。但其實(shí)，無(wú)論半徑多大的圓，周長(zhǎng)與半徑之間都是6.28倍的關(guān)系，周長(zhǎng)增加1米，半徑都是增加0.16米。

其實(shí)，還有一個(gè)更反直覺(jué)的問(wèn)題：

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假如有一根繩子，長(zhǎng)度僅僅比赤道長(zhǎng)1cm，而且繩子不是懸浮在赤道上，而是貼在地面上。現(xiàn)在從一點(diǎn)把繩子拉高繃直，那么最高點(diǎn)和地面相距多遠(yuǎn)呢？

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大家看圖：我們?cè)贛點(diǎn)把繩子拎起來(lái)。繩子大部分依然貼在地球上，但是從某點(diǎn)A和B開始，繩子離開地面，直到最高點(diǎn)M。因?yàn)槔K子比赤道長(zhǎng)1cm，所以懸空的AM+BM比地面上的圓弧AB要長(zhǎng)0.01米（AM比小圓弧AN長(zhǎng)0.005米）現(xiàn)在，想問(wèn)M點(diǎn)到地面上的N點(diǎn)有多遠(yuǎn)？

根據(jù)幾何知識(shí)：

直角三角形MAO中，AM＝tanθxAO，

扇形NAO中圓弧AN=θxAO

地球半徑AO=R=6400km

根據(jù)方程AM-AN=0.005m

得到tanθx6400000-θx6400000=0.005

這個(gè)方程如何求解呢？

你可以搜索一個(gè)網(wǎng)站wolframalpha, 它可以幫你計(jì)算很多數(shù)學(xué)問(wèn)題。

我們打開這個(gè)網(wǎng)站，輸入這個(gè)方程，就能看到它告訴我們的解：

x ≈ 0.00132832289897833473454...

這就是所求的θ角的弧度制表示。

我們可以計(jì)算一下AN的長(zhǎng)度：

?AN=θx6400000=8500m

也就是從8500米之外這根線就開始離開地面了。

最后我們要計(jì)算一下線到底有多高。

在RtΔMAO中，MO=AO/cos(θ)

MN=MO-NO=R/cos(θ)-R=5.65m

最終，繩子最高點(diǎn)會(huì)高出地面5.65米，你做對(duì)了嗎？

順便一說(shuō)，wolframalpha不光能幫我們解決許多代數(shù)、幾何、微積分作圖等等數(shù)學(xué)問(wèn)題，還可以回答許多不是數(shù)學(xué)的問(wèn)題。比如，你可以問(wèn)他英國(guó)國(guó)王是誰(shuí)？北京到上海有多遠(yuǎn)？他都可以告訴你。

WolframAlpha，一個(gè)神奇的網(wǎng)站。