知乎上有這么一個(gè)問(wèn)題：結(jié)構(gòu)力學(xué)的學(xué)習(xí)中，如何訓(xùn)練快速畫(huà)出剪力和彎矩圖的能力？（在看朱慈勉老師的課，所謂概念結(jié)構(gòu)力學(xué)，就是不用隔離法計(jì)算，也不用畫(huà)出剪力圖，我覺(jué)得對(duì)于我這樣本科非土木的學(xué)生很難）。

題主問(wèn)得很好，如何不用隔離法計(jì)算，也不畫(huà)剪力圖作出彎矩圖，也就是快速畫(huà)彎矩圖的問(wèn)題。

所謂不用隔離法、不作剪力圖，實(shí)際上是各法都在心中，才有能力抓住主要線索，而避免一些“可以不做”的工作，例如繁雜的，甚至無(wú)法進(jìn)行的支反力求解。然而，技巧都是站在更高的理解層次上提煉出來(lái)的知識(shí)，因此，想要理解、利用技巧，還是應(yīng)該抓住結(jié)構(gòu)平衡的本質(zhì)。

接下來(lái)進(jìn)入正題：

如果你已經(jīng)掌握了基本的平衡方程，那么作為快速畫(huà)彎矩圖的基礎(chǔ)知識(shí)，我們把一些需要建立的共識(shí)寫(xiě)在最前面：

1.彎矩圖畫(huà)在受拉側(cè)。（此規(guī)定突出了彎矩圖與變形圖的關(guān)系）。

2.彎矩與剪力的微分關(guān)系：?。（剪力不變時(shí)彎矩圖斜率不變）。

3.結(jié)構(gòu)的基本部分：不靠其他部分的支持而能獨(dú)立地承受荷載維持平衡的部分為基本部分。

結(jié)構(gòu)的附屬部分：自身需依靠其他部分的支持才能承受荷載。

4.突破口：簡(jiǎn)支梁與懸臂梁。

所有的梁和剛架結(jié)構(gòu)都可以看作簡(jiǎn)支梁和懸臂梁這兩種基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的組合，而這兩種結(jié)構(gòu)在不同荷載下的內(nèi)力圖我們?cè)诓牧狭W(xué)中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)，以下幾個(gè)彎矩圖是務(wù)必（務(wù)必務(wù)必）掌握的工具。

5.分段疊加法。單獨(dú)考慮結(jié)構(gòu)的某一段，在這里一般指看作簡(jiǎn)支粱或懸臂梁的一段，可對(duì)其使用疊加原理。

到這里不能完全理解第4、5點(diǎn)是正常的，這也正是我所說(shuō)從更高理解層次上提煉出來(lái)的技巧，因此我們需要在練習(xí)中進(jìn)行體會(huì)學(xué)習(xí)。

下面我們來(lái)看一個(gè)例題：

本結(jié)構(gòu)為帶伸臂的多跨梁，下面按步驟求解：

（1）找突破口

本題最顯眼的突破口為三個(gè)懸臂部分，即EK段、GN段、ML段。

懸臂梁受集中力的彎矩圖我們可以直接作出，如下圖所示：

（2）從與突破口相連的部分，找彎矩與剪力的關(guān)系?

首先看HM段，看其右側(cè)隔離體，只受水平外力，無(wú)豎向外力，因此HM桿無(wú)剪力，這意味著：彎矩圖的斜率為零。什么叫彎矩圖斜率為零？即彎矩圖是個(gè)矩形，或者說(shuō)，是平行于桿的水平直線，整桿的彎矩是不變的。

我們不厭其詳?shù)?strong>再翻譯一下：只要知道HM桿上任意點(diǎn)的彎矩值，即可畫(huà)出該段的彎矩圖，為一條水平直線。

這時(shí)我們就要問(wèn)了，HM上哪一點(diǎn)的彎矩圖我們是可以知道的呢？

顯然，由結(jié)點(diǎn)平衡可以知道，M點(diǎn)的彎矩 Mmh就是Mml=2Fl?.這樣就又獲得了一段已知的彎矩圖：

（3）從已知推未知，一層一層撥開(kāi)它的心。

接下來(lái)，我們只能繼續(xù)利用已知條件進(jìn)行畫(huà)圖，不到黃河心不死，不到萬(wàn)念俱灰，

絕對(duì)不求支反力。

這里我們考慮，是否需要求出支座H的反力，來(lái)求GH段的剪力，進(jìn)而繪制GH段的彎矩圖呢？

首先，我們可以發(fā)現(xiàn)GH段與左邊的部分通過(guò)鉸G相連，鉸點(diǎn)處的彎矩為零，這就是說(shuō)，桿段GH在G、H兩端的彎矩值我們都知道了，在GH段，彎矩圖會(huì)是什么形狀呢？

彎矩圖是直線還是折線還是曲線，是由桿段上的剪力確定的，進(jìn)而是由外力作用導(dǎo)致的。然而，GH段上無(wú)外力作用，因此剪力是一個(gè)定值，這告訴我們，彎矩圖的斜率是一個(gè)定值，翻譯：彎矩圖是一條直線。

而我們暫時(shí)并不關(guān)心斜率的大小，將GH兩端連接起來(lái)，則又解鎖了一段彎矩圖！

繼續(xù)從G點(diǎn)往左看，GN段不受外力作用，彎矩為零，并對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)力不產(chǎn)生影響，可以當(dāng)做其不存在。

這里有一個(gè)小小的能力要求

也就是FH一整段都無(wú)外力作用，整段都無(wú)剪力變化，即彎矩圖斜率無(wú)變化，也就是整段彎矩圖是一整條直線。

而F點(diǎn)彎矩具體的值是多少呢，由相似三角形，F(xiàn)G段與GH段長(zhǎng)度相等，因此Mfg=Mhg=2Fl

我們甚至可以反求出斜率（剪力）為 2Fl/l=2F?.

對(duì)于這一點(diǎn)，也可以理解為，F(xiàn)G的豎向力是完全由GH段傳遞過(guò)來(lái)的，沒(méi)有被別人分走，因此豎向力是相等的.

至此，彎矩圖畫(huà)到F點(diǎn)咯，再通過(guò)跟確定GH段一樣的方法~EF段彎矩圖也可以直接作出，如下圖所示：

接下來(lái)我們通過(guò)與FG段相同的方法，直接延長(zhǎng)EF段彎矩，得到DE段彎矩是否正確？

這是一個(gè)陷阱?。?！

彎矩圖是由斜率和兩端的值確定的，由于沒(méi)有外力作用，“DE、EF段彎矩圖斜率不變”是對(duì)的，但我們確定Med=Mef=0??嗎？？？

看清楚！

由E結(jié)點(diǎn)平衡，Med=Mek=2Fl??才是正確的。應(yīng)該首先找到端點(diǎn)彎矩值的大小，再由已知的斜率，作出DE段彎矩。

CD段的做法不再贅述，作圖如下，并且可以反求斜率（剪力）大小為??4F.

好，本題的大魔王（作用在C鉸左側(cè)桿端的集中力偶）來(lái)了，應(yīng)該怎么處理呢？

我們退一步進(jìn)行思考，如果沒(méi)有這個(gè)集中力偶，按我們學(xué)過(guò)的知識(shí)，延長(zhǎng)CD段彎矩圖就可以得到BC段彎矩圖。這是由于我們可以知道斜率——即剪力大小不變，為 4F?。

那么，集中力偶的出現(xiàn)，是否改變剪力值呢？由材料力學(xué)的知識(shí)，我們知道集中力偶不會(huì)引起剪力的變化，

神奇的事情發(fā)生了：彎矩圖斜率已知，CB桿的C端彎矩的彎矩已知（鉸不能承受，全由桿端承受），為 Fl，

從C端往左，按CD段的斜率平行畫(huà)，噌的一下，BC段彎矩也完成咯，且 Mbc=3Fl?.

最后，只剩下AB段了，這時(shí)你是否有了感覺(jué)？先找剪力：定向支座承受不了豎向力，所以AB段剪力為零，彎矩圖應(yīng)為平直線；再找一點(diǎn)值： Mba=Mbc=3Fl?.

操作完畢。

太長(zhǎng)不看自己悟版：

作者：李其林老師
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來(lái)源：知乎

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