確定給定的兩個(gè)拓?fù)淇臻g是否同胚是拓?fù)鋵W(xué)的基本問(wèn)題之一。目前還沒(méi)有解決這個(gè)問(wèn)題的一般方法，但是有一些適用于某些特殊情形的技巧。

為了證明兩個(gè)空間是同胚，只要構(gòu)造一個(gè)有連續(xù)逆映射的連續(xù)映射，將其中一個(gè)空間映射到另一個(gè)空間上，而對(duì)于構(gòu)造連續(xù)映射，我們已經(jīng)有了一些辦法。

證明兩個(gè)空間不同胚則是另一回事。為此，必須證明在于他們之間不存在有連續(xù)逆映射的連續(xù)映射。如果能夠找到某一個(gè)拓?fù)湫再|(zhì)為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有而不為另一個(gè)空間所具有，那么問(wèn)題便解決了，即這兩個(gè)空間一定不同胚。例如，閉區(qū)間【0，1】不同胚于開區(qū)間(0,1)，因?yàn)榍罢呤蔷o致的，而后者卻不緊致。實(shí)直線R不同胚于”長(zhǎng)線“L，因?yàn)镽有可數(shù)基而L卻沒(méi)有。實(shí)直線R也不與平面R^2同胚，因?yàn)閺钠矫鍾^2中挖去一點(diǎn)，剩下的空間是連通的，但從實(shí)直線中挖去一點(diǎn)之后，剩下的空間就不連通了。

但是我們迄今所研究過(guò)的拓?fù)湫再|(zhì)遠(yuǎn)不足以解決這個(gè)問(wèn)題。例如，怎樣證明平面R^2不同胚于三維空間R^3呢？查遍已經(jīng)學(xué)過(guò)的拓?fù)湫再|(zhì)——緊致性、連通性、局部連通性、可度量化性等，還是找不到一種拓?fù)湫再|(zhì)能夠用來(lái)區(qū)別這兩個(gè)空間，作為另一個(gè)例子，考慮二維球面S^2、環(huán)面T（輪胎的表面）以及雙環(huán)面T#T(連體輪胎的表面),迄今我們所研究過(guò)的拓?fù)湫再|(zhì)都不能夠區(qū)別它們.

所以我們必須引入一些新的性質(zhì)和方法.