(為敘述簡單，本文中所有橢圓曲線均為CP^2的射影子簇、實平面R^2指RP^2的仿射坐標(biāo)卡U_2:={[x:y:1] | x,y為實數(shù)})

在視頻中的最后一步求解過程中，我們通過對橢圓曲線上的一個有理點P計算n次累加求和n*P:=P+···+P并最終“幸運地”(?)得到了一個正有理數(shù)點。

事實上此時一個很自然的問題是：對于一個(任意的)有理點P是否一定存在正整數(shù)n使得n*P為正有理數(shù)點。因為如果這樣的n并不存在，盲目地計算P+···+P顯然是毫無意義的。

在這篇筆記中我們將從理論的角度討論這一存在性問題。

首先注意到對任意整系數(shù)橢圓曲線E，由Mordell-Weil定理torE(Q)為有限生成阿貝爾群，特別的，滿足ord<∞的有理點實際上只能存在有限個。因此不失一般性我們僅考慮無窮階有理點。

回顧實代數(shù)幾何中的定理：若E的判別式大于零，則實形式E(R)同構(gòu)于正交群O(2,R)；若判別式小于零，則E(R)同構(gòu)于特殊正交群SO(2,R)。但不論以上哪一種情形，拓?fù)淙夯騽恿ο到y(tǒng)的一般理論都告訴我們，有理點E(Q)的任意無窮子半群在實解析拓?fù)湎略贓(R)的含單位元分支SO(2,R)中稠密。

因此只要E(R)的含單位元分支和實平面R^2的第一象限有交點，由連續(xù)性，對于E上任意的無窮階有理點P都存在足夠大的正整數(shù)n使得n*P所對應(yīng)的的坐標(biāo)為一組正有理數(shù)。

【例1：通過直接觀察函數(shù)圖像(或粗略的不等式估計)就可以發(fā)現(xiàn)本系列視頻中的方程f(a,b,c)=0所定義的橢圓曲線E的實形式E(R)在其含單位元分支上的確存在一個點使得a,b,c均為正實數(shù)。又因為，視頻中最后一步所選取的整數(shù)點P在前幾次的迭代中就已經(jīng)出現(xiàn)了非整數(shù)的(x,y)坐標(biāo)值，由Nagel-Lutz整性定理我們得到ord(P)=∞，因此由上文的分析，視頻中所做的運算P+···+P只要迭代次數(shù)足夠多，是一定可以得到正有理數(shù)點的?！?/p>

不過需要注意的是，在一般情形下這樣的正整數(shù)n是不一定存在的。這是因為通過合適的旋轉(zhuǎn)和平移很容易使得一個存在無窮多個有理點的橢圓曲線與實平面R^2的整個第一象限都無交點。

而實際上更進一步的，即使一條存在無窮多個有理點的實橢圓曲線E(R)與實平面R^2的第一象限存在交點，我們?nèi)圆荒鼙ＷCE上存在正有理數(shù)點。這是因為，確實存在一類具有無窮多個有理點的橢圓曲線E使得E(R)非連通并且其有理點全部位于含單位元分支內(nèi)，例如Cremona第359a1號：

y^2+xy+y=x^3-23x+39。

寫在最后：衷心感謝您耐心看到這里！本文撰寫倉促難免疏漏謬誤，不妥之處敬請斧正！?? ———— Mani_food 23/2