MIMO 檢測算法中， Zero Forcing 算法在很多書中是直接給出了計算公式的，本文試圖從其最初始的思考點出發(fā)，來看一下這個算法背后的思想。
（錄制的視頻在：https://www.bilibili.com/video/BV1Eh41137JX/）


假設(shè) MIMO 信道 模型為：

其中 H 為信道系數(shù)矩陣，是已知的（假設(shè)已經(jīng)被準(zhǔn)確地做了信道估計），Y 是接收到的信號，n 是高斯白噪聲。



那么 Maximum Likelihood(ML) 算法是最優(yōu)的檢測，這個最優(yōu)指的是使錯誤率最低（假定發(fā)送的 x 是等概率出現(xiàn)的），從最低錯誤率的角度出發(fā)，同時假定在每個天線處的高斯白噪聲是獨立同分布的，那么，這個 ML 算法的公式為：

遍歷 X 的所有可能取值，找到是公式 (1) 最小的。



因為公式 (1) 的計算量非常大，在實際中是不可行的。那么對公式? (1) 放開條件，讓 X 的取值，不僅限于星座圖中的值，而是任何值，那么，這個就是 zero forcing(ZF) 算法的出發(fā)點，則公式 (1) 就變成：

注意 argmin 的下表中的 X ，沒有做任何限制。公式 (2) 就是一個無約束的最優(yōu)化問題，我們令：

接下來對公式 (3) 做進(jìn)一步的推導(dǎo)（我們約定所有的向量都是列向量）：

把公式 (4) 對 X 求導(dǎo)，公式 (4) 實際上是一個數(shù)，X 是一個向量，這個求導(dǎo)的過程，實際上就是對 (4) 用 X 的每個分量分別求一次導(dǎo)數(shù)并令其等于 0，得到 N ( 假如? X 是 N 維的列向量) 個方程，聯(lián)合起來可以求解出 X 的每個分量。用矩陣形式來寫就是：

則

進(jìn)一步推導(dǎo)

最后：

如果 H 是方陣且 可逆，公式 (5) 可以寫成：

這樣得出的值，就是檢測后的估計值，即用 Zero Forcing 算法估計出來的值，我們寫成：

或者簡化后的（H 是方陣且可逆的情況下）：


然后，再做解調(diào)檢測

后續(xù)思考： Zero Forcing 算法比 Maximum Likelihood 算法性能差的原因是啥？