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本期專(zhuān)欄的內(nèi)容是對(duì)上一期的求和公式的兩個(gè)應(yīng)用

Riemann?Zeta函數(shù)

眾所周知，?函數(shù)本身是一個(gè)定義在??上的函數(shù)，

他在解析數(shù)論中極其重要，

從18世紀(jì)開(kāi)始，數(shù)學(xué)家Euler就已經(jīng)對(duì)它有所研究，他首先給出了調(diào)和級(jí)數(shù)??呈對(duì)數(shù)狀發(fā)散，并計(jì)算了??，解決了巴塞爾問(wèn)題，后又得到了該函數(shù)在偶數(shù)上的值，當(dāng)時(shí)他只討論到變量取整數(shù)的情況。

經(jīng)過(guò)了一段漫長(zhǎng)的時(shí)間，Riemann發(fā)表了一篇?jiǎng)濋_(kāi)時(shí)代的論文，他將這個(gè)函數(shù)進(jìn)行解析延拓，使他在復(fù)平面內(nèi)有了定義，并找到了它與素?cái)?shù)分布的關(guān)系，將它命名為Zeta函數(shù)，隨后提出了著名Riemann猜想，這一猜想持續(xù)了一百五十年至今依舊沒(méi)有宣布解決，該猜想的重要性使得它被譽(yù)為“解析數(shù)論皇冠上的明珠”

所謂解析延拓就是把函數(shù)從較小的定義域拓展到一個(gè)更大的定義域使它在其內(nèi)收斂，

我們將利用E-M公式將zeta函數(shù)解析延拓到?

取正整數(shù)N，將zeta函數(shù)寫(xiě)成兩部分

另取正整數(shù)M＞N，令??，對(duì)下式用一階Euler-Maclaurin公式

在第一個(gè)積分的積分區(qū)間中?，因此

代入到原式中

令?，當(dāng)??時(shí)，

代回到??中，可得

易發(fā)現(xiàn)最后確定的積分在??內(nèi)都是收斂的，所以上式在此區(qū)域內(nèi)是解析的，因此上式即為??在??的解析延拓

Basel問(wèn)題

著名的Basel問(wèn)題就是全體自然數(shù)倒數(shù)的平方之和，即??的值，

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)有了許許多多的解法，我們不妨用Poison求和公式來(lái)試試解決它

考慮??，其Fourier變換為

又有

由上訴即Poisson求和公式，得出

注意到，

于是可將等式左邊變換為

進(jìn)一步

來(lái)康康當(dāng)??時(shí)右邊的極限，

看上去有點(diǎn)嚇人，但我們還是有方法解決的

對(duì)右邊洛必達(dá)（L'Hopital），再考慮Maclaurin展開(kāi)

則我們得到了

這就是大名鼎鼎的Basel問(wèn)題的解了

但是值得一提的是有一種更直接的方法——Fourier級(jí)數(shù)

Fourier級(jí)數(shù)法

考慮的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)，

之所以取（-π，π）是因?yàn)檫@樣以2π為周期展開(kāi)的展開(kāi)式更簡(jiǎn)潔，同時(shí)也提供了方便

其中，可以直接得到：

這是因?yàn)楸环e函數(shù)是奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上積分為零

接下來(lái)計(jì)算它的其他系數(shù)，容易得到

通過(guò)兩次分部積分又可得

于是

這樣結(jié)果就顯而易見(jiàn)了，只需要代入，就可以得到

本期專(zhuān)欄也到這里就結(jié)束了，拜拜~