之前的時候發(fā)了一個動態(tài)，問問大家覺得布勞威爾為什么會走上直覺主義道路，然而并沒有人回我（啊這）。作為直播的時候可能要講的東西，先寫一個大概的稿子放在這吧，也和之前的數(shù)學(xué)哲學(xué)系列連在一起了。

直覺主義的起源是康托（Cantor）。集大成者是布勞威爾（Brouwer），它的其它支持者還有博雷爾（Borel）、龐加萊（Poincare）和勒貝格（Lebsgue）等人。不過因為其他人并沒有展現(xiàn)出明顯的直覺主義傾向（換句話說就是他們更想去研究數(shù)學(xué)，而不是數(shù)學(xué)哲學(xué)），所以我們一般認(rèn)為，直覺主義的創(chuàng)始人和代表人物都是布勞威爾。到了現(xiàn)代，直覺主義獲得了更多分析哲學(xué)上的支持，如達米特（Dummit，我不知道這個拼寫對不對），得到了進一步的發(fā)展。反而是直覺主義的發(fā)源地：數(shù)學(xué)，人們將它的核心思想納入到了布爾巴基（Bourbaki）的結(jié)構(gòu)主義中，現(xiàn)在已經(jīng)基本上沒有數(shù)學(xué)家會秉持直覺主義的思想了。

如果你是一個大一的學(xué)生，你肯定會對上面的不少人感到親切，他們的名字在分析學(xué)中有著重要的地位。在數(shù)學(xué)分析中，康托的集合論、海涅-博雷爾原理、黎曼積分的勒貝格準(zhǔn)則，都是我們熟悉的內(nèi)容。除此之外，進一步的布勞威爾區(qū)域不變性、布勞威爾不動點原理、勒貝格積分等等，都是分析自然延伸的內(nèi)容。甚至集合論也是這樣?？低兄砸獎?chuàng)立集合論，正是因為他在研究傅里葉級數(shù)時發(fā)現(xiàn)了一系列問題。

直覺主義的誕生與分析學(xué)密不可分。我們回到之前對于無窮的話題。如果說無窮小的鬼魂纏繞著牛頓、萊布尼茲創(chuàng)造的微積分，那么與無窮小對應(yīng)的，無窮大的鬼魂同樣纏繞在致力于將其完善的數(shù)學(xué)分析上。

什么是無窮大？與無窮小類似，我們同樣有兩個觀點。一種觀點是亞里士多德的“潛無窮”的觀點。用亞里士多德的話說，“無限就像地平線，它是我們?yōu)榱吮阌诶斫舛褂玫牟淮嬖诘臇|西。我們用這個概念來代替‘無邊界’。如果某物有可能增長到超過預(yù)定的大小，我們就說它會永遠持續(xù)下去。”簡而言之，無限是一種過程、是一種不可能在有限的時間或空間內(nèi)達到的過程。

事實上，“潛無窮”的概念被許多思想家廣泛接受至今。事實上這也是我們一般人所理解的無窮。但是數(shù)學(xué)分析的研究很快給了我們當(dāng)頭一棒。康托在研究傅里葉級數(shù)的逐點收斂性時指出，我們必須要比較有理數(shù)和實數(shù)兩者的無窮性，才能得出答案。

如果我們把無窮視為“潛無窮”，那么我們就會立即發(fā)現(xiàn)康托的問題其實是沒有意義的。無窮是一個過程，兩個過程之間如何比較大小呢？這顯然做不到。因此，康托致力于創(chuàng)造一種“實無窮”的概念。我們更多地把無窮視為一種客觀存在的數(shù)學(xué)對象。對于一個實在的對象，我們當(dāng)然可以嘗試去表現(xiàn)它們的大小。

康托的觀點一經(jīng)提出，馬上就遭到激烈的反對。原因與我們之前所談的“無窮小的幽靈”有關(guān)。我們之前說過，無窮小之所以會引發(fā)第二次數(shù)學(xué)危機，其中一個原因就是把無窮小視為了一種數(shù)學(xué)對象，由此引發(fā)了無窮小究竟是不是0的問題。而接下來一百余年，數(shù)學(xué)家們努力地通過極限的方式，將無窮小變?yōu)榱艘粋€過程，由此才真正解決了第二次數(shù)學(xué)危機?？低鞋F(xiàn)在又想開歷史的倒車，把無窮大由過程重新變?yōu)閷ο螅@不是極其荒謬的嗎？

作為補充，我們順便再列舉幾個人名。支持實無窮的觀點最早可以追溯到柏拉圖，不過他的觀點很快遭到否定。直到康托的老師克羅內(nèi)克開始才逐漸復(fù)興。而支持潛無窮的觀點起源是亞里士多德，后來包括高斯在內(nèi)的多位數(shù)學(xué)大師都普遍支持這一觀點。

讓我們暫時跳到另一個話題。在當(dāng)時還出現(xiàn)了一個普遍的現(xiàn)象，即反證法的廣泛使用，使得非構(gòu)造性證明在數(shù)學(xué)界開始泛濫。這種泛濫在當(dāng)時或許沒有今天這么嚴(yán)重，但是我們可以舉幾個例子。

1. 布勞威爾不動點定理。大家可以看看我的上條動態(tài)。在證明全過程中，布勞威爾將不動點定理的證明分為了三個步驟，其中每一個步驟都在使用反證法！如果包括最后的完整討論，那么布勞威爾就在一個問題的證明中使用了五次反證法。

2. 布勞威爾區(qū)域不變性。布勞威爾在利用自己證明的不動點定理的基礎(chǔ)上，再次使用了一次反證法，證明了區(qū)域不變性。

3. 康托定理?？低性谑褂貌栐Z-魏爾斯特拉斯原理后，使用了一次反證法，證明了緊集上的連續(xù)函數(shù)必然一致連續(xù)。

從現(xiàn)在的觀點來看這些并沒有什么什么大不了的。但是布勞威爾經(jīng)過仔細研究后認(rèn)為，反證法的成立性與無窮的看法有著密切關(guān)系。

我們考慮下面一個問題。考慮自然對數(shù)e，考慮數(shù)列“123456789”，如果這個數(shù)列在e中出現(xiàn)了無限多次，那么我們定義數(shù)d是1，如果這個數(shù)列在e中不出現(xiàn)、或者僅僅出現(xiàn)了有限多次，那么我們定義數(shù)d是0。按照經(jīng)典的觀點，數(shù)d要么是0，要么是1，當(dāng)然是存在且確定的。

但是布勞威爾認(rèn)為，d是不存在的。原因很簡單。首先，我們可以證明d不是0（這個可能需要一些高超的數(shù)論知識），其次，我們也沒有辦法證明它是1。因為e是一個無限不循環(huán)小數(shù)，我們不能精確地寫出它的每一位，所以我們無法把這個數(shù)列出現(xiàn)的位置一一確定。

下面我們回到經(jīng)典的邏輯。假如有個數(shù)學(xué)家試圖證明A和B必有一個成立，他只需要證明A和B都不成立是不可能的（這一步使用了反證法），也就意味著，只需證明A、B都不成立的情況下，必然有矛盾出現(xiàn)。然后我們構(gòu)造一個A不成立的例子，再構(gòu)造一個B不成立的例子，然后假設(shè)上述例子均成立，那么找到一個矛盾即可。

布勞威爾對此感到很不滿，因為這個證明并沒有給出任何關(guān)于A和B應(yīng)該是啥樣的信息，換句話說這個證明并沒有給出A和B的實例，所以它不是構(gòu)造性的，你不能按照這個證明的思路去搞點什么實例出來。于是布勞威爾開始思考怎樣才能讓上面的證明思路不成立，想來想去只能把排中律否定掉，就是禁止使用取反結(jié)構(gòu)那一步。這樣一來想證A和B必有一個成立就只能給出A的例子或者B的例子了。布勞威爾很開心。

這就是布勞威爾的直覺主義觀點。布勞威爾認(rèn)為，自然數(shù)是最簡單的數(shù)學(xué)對象（其實這個觀點大多數(shù)人都是贊同的），人們可以想象1，可以想象2，可以想象3,4,5等等，但是，當(dāng)人們試圖想象自然數(shù)全體時，我們不能自然而然地把上述觀念推廣到自然數(shù)。每一個自然數(shù)都是可以想象的，但是自然數(shù)全體是不可想象的，就此否決了實無窮的觀點，轉(zhuǎn)而承認(rèn)潛無窮的觀點。

同時，在上面的那個e的例子中，我們根本無法用有限的時間找出數(shù)列“123456789”的各個位置，因而數(shù)d是不存在的，就此否定了排中律。

直覺主義者認(rèn)為，數(shù)學(xué)的對象只有在有限步內(nèi)可以達到，才能稱為是存在的。自然數(shù)全體、實數(shù)全體，都無法在有限的步驟內(nèi)達到，所以統(tǒng)統(tǒng)無法考慮。

我們這里略微提醒一下，直覺主義者并不是否定反證法和排中律，而是認(rèn)為每次使用反證法和排中律時，都要謹(jǐn)慎考慮其中的過程。反證法和排中律可能是成立的，也可能是不成立的。

最后我們說說直覺主義的命運。希爾伯特對直覺主義進行了嚴(yán)厲的批判。他指出：“不讓數(shù)學(xué)家使用反證法，就好像不讓天文學(xué)家使用望遠鏡一樣。”而布勞威爾為了證明直覺主義的正確性，他重新審視了整個數(shù)學(xué)體系，將已知的數(shù)學(xué)領(lǐng)域全部用不使用排中律的方法進行了完善和討論。布勞威爾最知名的、不使用反證法的成就，是我們的第三個例子。布勞威爾成功地在不使用反證法的基礎(chǔ)上，證明了閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是一致連續(xù)的。這一點曾經(jīng)是諸多數(shù)學(xué)家反駁布勞威爾直覺主義的論點，不過布勞威爾成功地將其證明。

直覺主義在現(xiàn)代的沒落，其實有兩個方面的原因。一方面，直覺主義太“反直覺”，使得很多數(shù)學(xué)家難以接受；另一方面，直覺主義的對手——原本是邏輯主義和形式主義——變?yōu)榱烁油晟频慕Y(jié)構(gòu)主義。結(jié)構(gòu)主義充分吸納了三派的觀點，成為了統(tǒng)治數(shù)學(xué)哲學(xué)至今的數(shù)學(xué)思想。然而，與它們不同的是，直覺主義其實正以另一種方式，存在于當(dāng)代的數(shù)學(xué)哲學(xué)之中，這便是在當(dāng)代悄然升起的計算機構(gòu)造主義。