這篇文章旨在介紹楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)背后的理論知識(shí)，并在OpticStudio中用幾何光線追跡模擬該實(shí)驗(yàn)，最后比較理論和模擬的結(jié)果。

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楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)是物理學(xué)中最著名的實(shí)驗(yàn)之一。這個(gè)實(shí)驗(yàn)通過(guò)展示光從點(diǎn)光源到干涉圖樣的變化，揭示了光的波動(dòng)特性。楊氏實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可以定性地解釋為條紋圖，也可以定量地解釋為相干因子（作為為光源寬度的函數(shù)）。兩種理論都會(huì)在本文中詳細(xì)分析。

本文將討論雙縫實(shí)驗(yàn)背后的理論，并在OpticStudio的非序列模式下對(duì)該實(shí)驗(yàn)進(jìn)行精確建模。

楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)

楊氏雙縫干涉衍射實(shí)驗(yàn)是描述空間相干性在干涉條紋形成中所起到的作用的經(jīng)典裝置?？傮w布局如下圖所示：

在觀察面上形成的條紋圖案取決于照亮縫隙面的光的空間相干性、雙縫之間分隔的距離以及從縫隙面到觀察面上的傳播距離。雖然將嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕y(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)應(yīng)用到這個(gè)問(wèn)題上看似艱巨，但一旦認(rèn)識(shí)到觀察到的干涉圖樣只是來(lái)自不同點(diǎn)光源的基礎(chǔ)條紋的總和 [Ref. 1, Section 5.2.1] ，擴(kuò)展光源形成的條紋圖樣實(shí)際上是相當(dāng)明確的。這里我們考慮光源非相干的情況，即光源上的任意兩點(diǎn)以一種不相干的方式隨機(jī)輻射，比如熱白熾燈就是非相干光源。

在OpticStudio的非序列模式中，使用幾何光線追跡和表面散射及散射光線的 “重點(diǎn)采樣(Importance Sampling)?”，就可以很好地模擬這種裝置。在觀測(cè)面上的基礎(chǔ)條紋圖案是由擴(kuò)展光源上的每個(gè)點(diǎn)形成的，而在OpticStudio中，這種條紋圖案是通過(guò)使用矩形探測(cè)器對(duì)光線進(jìn)行相干探測(cè)來(lái)發(fā)現(xiàn)的。對(duì)基礎(chǔ)條紋圖案的集合（從整個(gè)光源的采樣點(diǎn)得到）按強(qiáng)度進(jìn)行求和，得到合成的條紋圖。合成條紋圖案的對(duì)比度，來(lái)自對(duì)位于縫隙處光的部分相干性的測(cè)量。在解釋模擬細(xì)節(jié)之前，我們首先簡(jiǎn)要回顧楊氏實(shí)驗(yàn)的基本光學(xué)物理理論。理論分析的結(jié)果將用于與光束追跡的結(jié)果進(jìn)行比較。

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假設(shè)孔隙沿著x軸，對(duì)稱于原點(diǎn)且處于相隔距離Δp的位置上。觀測(cè)平面內(nèi)形成的時(shí)間平均強(qiáng)度為：

其中I1和I2是在孔隙處的光強(qiáng)度，μ12是在孔隙處評(píng)估的所謂 “復(fù)雜相干因子”，φ12 = arg{μ12} [Ref. 1, Eq. 5.2-36]。條紋對(duì)比度可見(jiàn)性為：

條紋對(duì)比度可見(jiàn)性是由孔隙處光強(qiáng)度和相干系數(shù)的模決定的。|μ12| 的值在 0 和 1 之間，它僅僅是兩個(gè)孔隙的光場(chǎng)在時(shí)間平均基礎(chǔ)上的關(guān)聯(lián)程度。對(duì)于I1 = I2 的情況，我們可以看到 V = |μ12| 。

照射孔隙的光的相干因子 μ12 是由光源大小、光源的空間相干函數(shù)和光源到孔隙平面的傳播距離組成的函數(shù)。除了假設(shè)光源是完全非相干的（有 δ 函數(shù)的空間相干性)，我們也將光源限制為準(zhǔn)單色，也就是說(shuō)光有足夠的窄的帶寬，使得跨光線的波前波陣面遇到的任何相對(duì)路徑長(zhǎng)度差異均，比時(shí)間相干長(zhǎng)度c/Δν更短，這樣便只用考慮空間相干效應(yīng)。當(dāng)光束遠(yuǎn)離光源傳播時(shí)，它獲得了空間相干性，這意味著相干函數(shù)的寬度開(kāi)始變寬 [Ref. 2]。通過(guò)引用范西泰特-塞尼克定理 (van Cittert-Zernike theorem) ，我們知道孔隙平面上的相干函數(shù)是由光源強(qiáng)度分布圖的縮放傅里葉變換給出的，其中縮放因子取決于波長(zhǎng)和傳播距離z1 。?

光源常被假定為均勻強(qiáng)度的圓形光源，這時(shí)孔隙平面上的相干函數(shù)采用Sjinc函數(shù)的形式。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假設(shè)沿 Xx 軸有一個(gè)均勻的一維線光源，以原點(diǎn)為中心，寬度為 w 的一半。在這種情況下孔隙平面上的相干函數(shù)為：

對(duì)于孔隙分隔 Δx =?Δp?時(shí)，相干因子為：

對(duì)于小的孔隙分隔距離來(lái)說(shuō)，從兩個(gè)孔隙發(fā)出的光場(chǎng)會(huì)高度相關(guān) (μ12 ~ 1)，在觀察面有望觀察到具有高對(duì)比度的條紋圖案。相反，隨著孔隙分隔距離的增加，光場(chǎng)變得不那么相關(guān)，條紋能見(jiàn)度降低。相干系數(shù)以類(lèi)似的方式關(guān)聯(lián)于光源寬度2w。比如對(duì)于λ = 1.0 μm，z1 = 10 mm，和孔隙分隔Δp = 100 μm來(lái)說(shuō)的相干因子是如下圖的關(guān)于光源寬度的函數(shù)：

OpticStudio模擬的細(xì)節(jié)將在下面的章節(jié)中進(jìn)行概述，并將結(jié)果與上圖中的曲線進(jìn)行比較。

用點(diǎn)光源模擬楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)

第一步是為單點(diǎn)光源創(chuàng)建一個(gè)基本的條紋圖案。關(guān)鍵是要非常有效地利用光線，不追跡那些不會(huì)對(duì)干涉過(guò)程產(chǎn)生影響的光線，從而形成高保真的條紋圖案。這是通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的非序列設(shè)置完成的，如下圖所示。兩個(gè)孔隙由半徑為5 μm分隔100 μm的圓盤(pán)所表示（圓盤(pán)中心沿x軸位移+/- 50 μm）。從光源源平面到孔隙平面的距離和從孔隙平面到觀測(cè)平面的距離都是10 mm。波長(zhǎng)取1 μm。

對(duì)應(yīng)的非序列元件編輯器如下圖所示：

光源是單個(gè)沿Y軸偏振的光線，但這條光線通過(guò)設(shè)置分析光線的數(shù)量為100萬(wàn)被重復(fù)追跡。在傳播了一段短距離（在這里取10 um）后，光源光線遇到了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)面。這個(gè)表面的目的是將入射的軸上光線轉(zhuǎn)換成兩束散射光線，射向兩個(gè)孔隙。首先設(shè)置如下圖所示的散射參數(shù)，散射模型的選擇并不是特別重要，因?yàn)橹灰⑸涔饩€的分布足夠大，就足以填滿孔隙所覆蓋的立體角。

接下來(lái)，這兩束散射光通過(guò)如下圖所示的?重點(diǎn)采樣 (Importance Sampling)?對(duì)準(zhǔn)這兩個(gè)孔隙。尺寸 (Size)?參數(shù)被設(shè)置為比孔隙的半徑略小，這個(gè)參數(shù)決定了重要采樣所使用的目標(biāo)球體的半徑，以確保所有的光線都能穿過(guò)孔隙。

當(dāng)光線射線到達(dá)孔隙，再次使用?散射(Scattering)和重點(diǎn)采樣(Importance Sampling)(見(jiàn)下文)。這一次，每一束射入孔隙的光線被轉(zhuǎn)換成五束散射光線，而重點(diǎn)采樣將這些光線定向到觀測(cè)平面上一個(gè)半徑為400 μm的圓形區(qū)域。

雖然重點(diǎn)采樣在追跡特定光線時(shí)是有效的，但這些光線被加權(quán)，仿佛它們是更寬的立體角光線的一個(gè)子集。對(duì)于高斯散射，整體立體角是由Sigma參數(shù)決定的；而對(duì)于朗伯散射，立體角是2π，所以單根光線的強(qiáng)度會(huì)變得很低。為了確保光線允許被追跡，相對(duì)光強(qiáng)閾值應(yīng)該被降低，實(shí)際上可以在系統(tǒng)選項(xiàng)的非序列部分中設(shè)置為最小值：

我們現(xiàn)在可以使用以下設(shè)置追跡系統(tǒng)光線，請(qǐng)注意打開(kāi)光線分裂和散射特性等設(shè)置：

由此產(chǎn)生的條紋圖案是由觀察相干強(qiáng)度分布發(fā)現(xiàn)，如下所示：

請(qǐng)注意，總命中次數(shù)非常接近1000萬(wàn)，這與100萬(wàn)束初始光線在第一次散射表面數(shù)量翻倍，然后通過(guò)孔隙散射增加了5倍的過(guò)程一致。這個(gè)數(shù)量的光線可以產(chǎn)生高對(duì)比度的基礎(chǔ)條紋圖案。

用非相干線光源模擬實(shí)驗(yàn)

為了模擬非相干線光源，我們對(duì)點(diǎn)光源沿 X 軸進(jìn)行離散掃描，并按順序計(jì)算相應(yīng)的基礎(chǔ)條紋圖?；A(chǔ)條紋基本上都是相同的，除了其取決于點(diǎn)光源位置的相位偏移之外。將這些基礎(chǔ)條紋在強(qiáng)度上相加，得到整個(gè)光源的合成條紋圖案。在這里，我們使用了5 μm的采樣周期。使用 DDE 連接將編寫(xiě)好的Matlab腳本連接至到OpticStudio可在循環(huán)中生成基礎(chǔ)條紋。在每個(gè)循環(huán)迭代中，系統(tǒng)會(huì)設(shè)置點(diǎn)光源位置，進(jìn)行光線追跡，并使用SaveDetector命令將矩形探測(cè)器的相干數(shù)據(jù)寫(xiě)入文件。然后讀取文件，提取復(fù)振幅圖像，并根據(jù)振幅的平方計(jì)算圖像強(qiáng)度。基礎(chǔ)條紋的累積和被保留了下來(lái)，因此在循環(huán)的最后，可以得到最終的條紋強(qiáng)度圖。

用不同寬度的擴(kuò)展光源進(jìn)行條紋模擬

下面顯示了，從 10 μm 到 350 μm 寬度的光源模擬的合成條紋圖。對(duì)比度從檢測(cè)器的中心區(qū)域計(jì)算，每個(gè)光源寬度的值在相應(yīng)圖像的標(biāo)題中報(bào)告。值得注意的是，當(dāng)光源從 50 μm 增加到 150 μm，然后再?gòu)?50 μm 增加到250 μm 時(shí)條紋會(huì)有相位反轉(zhuǎn)。

模擬結(jié)果和理論的對(duì)比

現(xiàn)在，我們可以將模擬條紋對(duì)比度（采用適當(dāng)?shù)姆?hào)選擇來(lái)表示相干因子）覆蓋在本文開(kāi)頭的理論曲線上。理論和模擬結(jié)果是一致的。

我們的結(jié)論是，光線追跡追蹤已經(jīng)被可用來(lái)模擬從兩個(gè)小孔隙發(fā)出的光的干涉現(xiàn)象，。并且從每個(gè)孔隙發(fā)射的光線的角分布由散射模型確定。在現(xiàn)實(shí)中，光會(huì)發(fā)生衍射，所以在觀測(cè)平面上最終被探測(cè)到的是兩束衍射光束的重疊 [Ref. 1, Section 5.2.5]。然而，這種細(xì)節(jié)在這里被忽略了。