上一期文章，我們了解了音頻制作中，用于洞察頻率特性的手段——傅里葉變換。拋開復(fù)雜的數(shù)學(xué)原理，我們可以知道，傅里葉變換提供了把音頻從時(shí)間域內(nèi)轉(zhuǎn)換到頻率域的可能性。?

但是，傅里葉變換的初始定義是理想的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的范疇，要求信號(hào)可以無(wú)限細(xì)分，這在數(shù)字音頻領(lǐng)域里顯然是不可實(shí)現(xiàn)的。因此，傅里葉變換也為了服務(wù)于更多領(lǐng)域的應(yīng)用而產(chǎn)生了變種。另外，也有一些特殊的傅里葉變換，對(duì)于我們?cè)谝纛l領(lǐng)域的理解有重要幫助。本篇文章就介紹若干個(gè)和音頻制作相關(guān)的概念以及事實(shí)，以供參考。?

1?數(shù)字領(lǐng)域中的傅里葉變換——離散傅里葉變換

在連續(xù)信號(hào)下的傅里葉變換，稱為連續(xù)時(shí)間傅里葉變換。在數(shù)字音頻中，聲音信號(hào)都是采樣得到的，此時(shí)需要引入離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）來(lái)應(yīng)對(duì)此類分析。?

實(shí)際上，離散傅里葉變換和連續(xù)傅里葉變換是類似的，結(jié)果上也可以認(rèn)為是一樣的。區(qū)別在于定義的時(shí)候，連續(xù)傅里葉變換用積分式來(lái)表示，而離散傅里葉變換用求和式來(lái)表示，而積分本身就是一種求和，只不過(guò)是細(xì)分了特別小的時(shí)間段，然后累積了特別多的小時(shí)間段的運(yùn)算結(jié)果。?

不同的時(shí)間分割方式，會(huì)帶來(lái)不同的分析結(jié)果，會(huì)影響時(shí)間和頻率的分辨率。?

2?時(shí)頻圖的運(yùn)算基礎(chǔ)——短時(shí)傅里葉變換

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在上一期文章中，我提到了iZotope Insight等分析器中可以看到隨時(shí)間變化的頻譜，這是怎么得到的呢？?

實(shí)際上，我們只需要對(duì)整個(gè)音頻分段，每段時(shí)間很短，但也累積了一定數(shù)量的采樣點(diǎn)。對(duì)每一個(gè)時(shí)間段內(nèi)的信號(hào)做一次傅里葉變換，就可以獲得一串頻譜的變化，構(gòu)成我們熟悉的時(shí)頻圖。?

這種分段的方式叫做“加窗”。此時(shí)加的窗的形狀可以有很多種，用來(lái)應(yīng)對(duì)各類特點(diǎn)的信號(hào)，盡可能讓STFT的結(jié)果更符合我們作為觀察者的需求。比如MATLAB的說(shuō)明中畫的這張圖：

最上方藍(lán)色信號(hào)x(n)是一個(gè)頻率逐漸增加的信號(hào)，灰色的g(n)是窗函數(shù)，這種窗是三角形的，特點(diǎn)是每個(gè)窗都和相鄰的信號(hào)相關(guān)，但是每時(shí)每刻都突出了中間時(shí)間點(diǎn)的信號(hào)特性。此時(shí)分割出來(lái)的每個(gè)窗都是一樣長(zhǎng)的，分割后的信號(hào)由x1(n)到x6(n)表示。每個(gè)窗口內(nèi)的信號(hào)進(jìn)行離散傅里葉變換（DFT）計(jì)算得到最下面的一系列頻譜，這些頻譜根據(jù)窗口的時(shí)間依次顯示，就形成了隨時(shí)間變化的頻譜。?

3?計(jì)算機(jī)怎么算？——快速傅里葉變換

雖然離散的傅里葉變換適用于數(shù)字信號(hào)，但是對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)，算的還是太慢了。很多信號(hào)處理中，進(jìn)行傅里葉變換只是第一步，后續(xù)還有很多處理，而且在一個(gè)算法中還可能會(huì)用很多次傅里葉變換。此時(shí)，如果在傅里葉變換這一步卡太久，就顯得很不經(jīng)濟(jì)。令人慶幸的是，科學(xué)家們提出了一種適用于電腦計(jì)算的傅里葉變換算法——快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）。FFT的實(shí)現(xiàn)方法有多種，但是不論怎么算，FFT和DFT的結(jié)果是完全一致的，唯一的區(qū)別是——FFT的計(jì)算要快非常多！甚至由于舍入誤差的存在，在計(jì)算機(jī)中FFT算出來(lái)的結(jié)果比DFT還準(zhǔn)確。?

至于FFT具體怎么算的，我們無(wú)需考慮（如果實(shí)在感興趣，可以了解一下蝶形算法）。我們只需要認(rèn)識(shí)到一個(gè)事實(shí)——現(xiàn)今計(jì)算機(jī)里任何用到傅里葉變換的，幾乎都是用FFT。因此，F(xiàn)FT這個(gè)詞經(jīng)常出現(xiàn)在音頻軟件里，

比如這里：?比如這里，Insight 2中提供了FFT的設(shè)定：

或者這里，Studio One自帶的頻譜儀中，也提到了FFT size的設(shè)定：?

所以，F(xiàn)FT size是什么呢？它會(huì)影響什么呢？?

還是先給出一個(gè)事實(shí)：在運(yùn)算中，音頻信號(hào)有多少個(gè)采樣點(diǎn)，計(jì)算出FFT的結(jié)果就有多少個(gè)點(diǎn)。這個(gè)在MATLAB中可以輕松驗(yàn)證。?

運(yùn)行代碼：

audioSignal = sin(1:1000);

audioSpectrum = fft(audioSignal);?獲得結(jié)果：

FFT前后的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度一致，而FFT后的結(jié)果是復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)保留了頻譜的幅度和相位。?

這意味著：時(shí)間段給的越長(zhǎng)，頻譜算出來(lái)就越精確。但這也意味著，頻譜圖展現(xiàn)出來(lái)的實(shí)時(shí)性就降低。所以，時(shí)間和頻率的精確度不能同時(shí)達(dá)到很高，必須根據(jù)需要進(jìn)行取舍。?

當(dāng)時(shí)間窗口給的很小的時(shí)候，比如512點(diǎn)，對(duì)于一個(gè)44100Hz的音頻，512點(diǎn)占有的時(shí)長(zhǎng)是：512/44100=0.0116（秒），也就是11.6毫秒。而對(duì)于一個(gè)65536的FFT size，這個(gè)數(shù)字是1.486秒。這就意味著，你的音頻信號(hào)在512的FFT size下每隔11.6毫秒就可以更新一次狀態(tài)，而在65536的FFT size下你需要等1.486秒的時(shí)間才能看到下一幀的頻譜。

如果你特別希望判斷一個(gè)短時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的聲音的頻率特點(diǎn)，那么你必須使用小的FFT size，同時(shí)，你不得不損失頻譜的精細(xì)度；如果你要判斷的是一段長(zhǎng)時(shí)間的頻譜的整體特性，那么你應(yīng)該選擇更大的FFT size，以獲得更精細(xì)的頻譜精度。

在Adobe Audition中可以通過(guò)Ctrl+Shift+↑/↓來(lái)控制頻譜的時(shí)間和頻率分辨率，其本質(zhì)就是改變窗的大小，來(lái)實(shí)現(xiàn)時(shí)間頻率精度的轉(zhuǎn)換。當(dāng)時(shí)間分辨率最佳時(shí)，頻率的分辨率非常低，但是你可以清楚地看到，某個(gè)區(qū)間內(nèi)的頻率在哪個(gè)瞬間出現(xiàn)；當(dāng)頻率分辨率最佳時(shí)，時(shí)間分辨率很低，你會(huì)看到很多不同時(shí)出現(xiàn)的頻率產(chǎn)生了交叉，但是你可以清楚地看到，信號(hào)內(nèi)到底具有哪些具體頻率。?

如果沒有找到合適的分辨率“甜點(diǎn)”，你可能會(huì)被這個(gè)時(shí)頻圖誤導(dǎo)！比如你看到低頻一片黃，以為這段音頻的低頻“很渾濁”，而選擇加一個(gè)比如30Hz的低切“控制一下”，其實(shí)這個(gè)低頻就是在60-100Hz附近，這個(gè)低切根本不起作用。雖然我們說(shuō)混音師要“結(jié)合眼睛混音”，但是如果你不理解看到的東西的真真假假，恐怕會(huì)帶來(lái)不必要的誤解。?

其實(shí)，就像量子力學(xué)的“測(cè)不準(zhǔn)原理”一樣，時(shí)間和頻率的精確度在傅里葉變換中也是“測(cè)不準(zhǔn)”的。你無(wú)法同時(shí)獲得精細(xì)的時(shí)間和頻率精度，必須根據(jù)你的需要選擇一個(gè)方向，或者找到一個(gè)介中的值。?

下一期文章，讓我們來(lái)了解一些常用的傅里葉變換對(duì)和特殊函數(shù)，輔助我們更好地了解頻譜的信息，以及為未來(lái)更多的音頻分析思想打好基礎(chǔ)。

本文作者：艾夫

音樂(lè)制作人、編曲人、混音師、艾楽音樂(lè)工作室主理人、華中科技大學(xué)光電信息專業(yè)碩士。