我們知道，雅可比橢圓函數(shù)具有雙周期性，那么選定實(shí)周期就能將它展開為傅里葉級數(shù)

以下是比較容易得到的

那么sn作為周期函數(shù)，它的平方也為周期函數(shù)而且周期是2K，那么如何計(jì)算它的傅里葉展開呢？whittaker的書中提到結(jié)果但是未給出證明，其他地方找了一圈也似乎并沒有找到證明過程，于是自己構(gòu)造了一個(gè)路徑來計(jì)算它。

a0是簡單

對于an 我們選定路徑，(為什么不是平行四邊形？)以小圓弧繞過邊界上的極點(diǎn)，那么我們有：

對于實(shí)軸與平行于實(shí)軸的積分我們有：

而對于極點(diǎn)處我們有展開：

于是得到兩個(gè)小圓弧的估計(jì)：

沿虛軸及平行于虛軸的積分：

整理上述結(jié)果于是得到:

當(dāng)然可以考慮一下收斂范圍，這更加有用。

由此可要使得級數(shù)收斂，則必須滿足,由此可以推出其他雅可比橢圓函數(shù)的傅里葉展開，例如：

對這級數(shù)簡單操作一下就得到了一些非常有用的結(jié)果：

不難得到：