一、前言

反函數(shù)這個概念，相信很多同學(xué)在高中時就聽說過了。但是說到本質(zhì)上的理解，可能或多或少還是有所欠缺的——這一點在高數(shù)課程進(jìn)行到導(dǎo)數(shù)與微分的時候就集中體現(xiàn)出來了。突如其來的微分運算，加上本來就不熟悉的反函數(shù)，簡直是被微積分“雙重+降維”打擊，可謂雪上加霜。其實縱觀微分部分全局我們可以發(fā)現(xiàn)，反函數(shù)的逆向思維，完全就是你數(shù)學(xué)核心思維的表現(xiàn)；換句話說，當(dāng)你徹底理解了反函數(shù)的思想，其他的微分運算在你眼里將會不堪一擊。所以今天呢就和不理解的小伙伴一起來說一說這個事情到底是怎么回事，也希望我的文章能給不明白的同學(xué)們一點點的啟發(fā)和思路。

一般情況下，我們是這樣定義反函數(shù)的概念的：對于任意一個函數(shù)??，都有另外的一個函數(shù)???與之對應(yīng)，我們就稱這里的是函數(shù)??對應(yīng)的反函數(shù)，其中??表示 ?的逆映射。

那么在此基礎(chǔ)上，通過導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系我們可以得知，該反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系特別容易理解，即：=?? ；

所以我們(包括很多人）就暫且稱之為：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是直接函數(shù)的倒數(shù)，雖然描述的指向性不強、嚴(yán)謹(jǐn)性還有待商榷，但是如果這樣記得快，就暫時先這么說吧；

接著我來給大家證明一下，過程如下：

我們知道，原函數(shù)為，

所以在定義域內(nèi)任取一點x，使它滿足：對x施加增量x，x+x也在定義域內(nèi)，

而且此時有??y=；

于是有=??；

又因為函數(shù)可導(dǎo)且連續(xù)，故? ?（這是函數(shù)連續(xù)性的第二定義，建議記住，以后的證明題直接用這個定義的比較多），

從而= =?；

即為：?=??，得證。

ps：打代碼太累了哈哈哈

證明完了，我們就開始說說反函數(shù)求導(dǎo)容易犯暈的地方叭，切入正題！

二、反函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)

先把題干列出來叭：

；

不要著急，我們一個一個來，先看反函數(shù)二階導(dǎo)：

我們已經(jīng)學(xué)過微分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系了，相信大家的老師都說過這樣的表達(dá)方式：

?

事實上，二階導(dǎo)的意思就是對一階導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行一次求導(dǎo)。那么在此基礎(chǔ)上，我們就能知道：

；

然后我們再看題干里給的條件是什么：，所以有：

;

這個時候問題就來了，怎么進(jìn)行下去呢？相信小伙伴可能有這樣的疑問，事實上，在微分運算中碰到這種情況的時候是很多滴，那我們怎么辦，換句話說，我們怎么做可以讓微分計算能夠開展下去？

答案是上下同時除以自變量的微分dx，構(gòu)造新導(dǎo)數(shù)；我們之所以這么做，是因為對于?這個式子，我們無從下手：請大家想一下，y=f（x）是原函數(shù)，也就是說，不論y也好，y’也好，歸根結(jié)底是以x為自變量的，所以你想要運算就不能脫離這個x；不僅如此，對于1/y’來說，它不是以y為自變量的，所以到這里就沒辦法繼續(xù)開展下去了，只能構(gòu)造新導(dǎo)數(shù)。你想要直接算，簡直不要太異想天開（在這里補充一下，一旦碰到這種無從下手的情況，一定要思考目標(biāo)函數(shù)的自變量是什么，這樣才能繼續(xù)進(jìn)行）。

那我們就構(gòu)造新導(dǎo)數(shù)，于是有：?=??，我們分子分母分別處理一下；

分母部分不用多說了，；

重點看分子部分的??：這里其實就相當(dāng)于對1/y’ 求導(dǎo)，怎么對它求導(dǎo)呢？

我們上面說過了，1/y’的自變量是x，那我們不妨設(shè)u=y’，利用復(fù)合函數(shù)，求1/u的導(dǎo)數(shù)，即：

=?；

所以我們可知，?，這樣一來，反函數(shù)的二階導(dǎo)就求出來啦！

同理，我們就可以算反函數(shù)的三階導(dǎo)了，即有：

；

然后和上述一樣地構(gòu)造新導(dǎo)數(shù)，即：

；

分母部分還是一樣的好理解，；

接下來看分子部分：；

我們需要對-y''/y'^3求導(dǎo)：在這里我們可以分別把-y''和y'^3看作是兩個不同的、以x為自變量的函數(shù)，暫且設(shè)為k（x）和h（x）；然后進(jìn)行導(dǎo)數(shù)除法運算法則運算，即：

；

所以綜上所述，；