?????? 在重力的作用下，經(jīng)過一段時(shí)間，一個(gè)小球可以由一個(gè)軌道從高處的一個(gè)位置到達(dá)低處的一個(gè)位置。那么，在初末位置不變的前提下，哪一個(gè)軌道才能讓小球最快地到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)呢？

?????? 幾個(gè)世紀(jì)前的物理學(xué)家給出了答案：無論初末位置如何，這個(gè)使小球最快到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的曲線都是擺線或者擺線的一部分。擺線，又稱旋輪線。如果一個(gè)圓盤在地上沿直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)，那么其圓周上固定的一點(diǎn)相對(duì)地面的軌跡就是擺線。勻速直線運(yùn)動(dòng)和與其速率相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)疊加形成的合運(yùn)動(dòng)——也就是參數(shù)方程所描述的運(yùn)動(dòng)——的軌跡就是一條擺線。擺線有上凸擺線和下凸擺線兩種（下圖就是一段下凸擺線），接下來提到的擺線均是下凸擺線。

下面，我們將推導(dǎo)最速降線是擺線。

一.推導(dǎo)基本思路：運(yùn)動(dòng)的合成與分解

?????? 物體的運(yùn)動(dòng)（包括位置，速度，加速度）都可以進(jìn)行符合平行四邊形法則的合成或分解。我們可以將物體的受力和運(yùn)動(dòng)分解為多個(gè)不相關(guān)的部分以簡(jiǎn)化問題。這一方法在物理中使用頗多。

二.最速降線是擺線的證明：設(shè)起始點(diǎn)A和目標(biāo)點(diǎn)A'的縱向距離為Δy，橫向距離為Δx

1.對(duì)于的情況（這個(gè)情況剛好對(duì)應(yīng)著半條擺線）：

??????? 最初小球速度為0，將其分解為水平向左的和水平向右的，使? （此舉意在湊出一個(gè)擺線）速度1對(duì)應(yīng)分運(yùn)動(dòng)1，速度2對(duì)應(yīng)分運(yùn)動(dòng)2，將物體受到的重力加速度和支持力加速度放在分運(yùn)動(dòng)1上，讓分運(yùn)動(dòng)2為向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)小球下落高度為AH=h時(shí):，得到，所以與和的模長(zhǎng)為一個(gè)定值（也就是說他們的和在一個(gè)圓上，下圖設(shè)這個(gè)圓為圓P，從P出發(fā)）。作出運(yùn)動(dòng)1的分析圖

圖中，M點(diǎn)代表分運(yùn)動(dòng)1的所在位置，圓P的半徑為此時(shí)物體的總速度(由于此圖中長(zhǎng)度存在不同單位）。此時(shí)如果M相對(duì)A的角速度（逆時(shí)針記為正）最大，則垂直于AI的分量的大小最大，則EP垂直于AM，由幾何關(guān)系得到，

設(shè)∠AMH=，則M相對(duì)A的角速度為：???????? （1）

最右式:??????????????? （2） ????

（2）中取等時(shí)，另外，它求出的最大值是與h無關(guān)的，也就是說任意時(shí)刻M的角速度都不可能大于這個(gè)值。

其中，，所以取等時(shí)，

圖中AH=h，AC=,由相似三角形容易證明，

所以，又因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%E2%88%A0" alt="%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%E2%88%A0">AOB和都小于90°，

故式（2）中取等時(shí)=AOB=∠ABH，即M在圓周上。

另外，由于式（1）中還有一個(gè)不等號(hào)，我們不能確定式（2）中的值能否取到。

這時(shí)候我們看一個(gè)情況：M一直沿著圓O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)（這是可行的，因?yàn)槿绻С至ο衤鍌惼澚σ粯?，垂直于速度方向且正比于速度大小，就可以讓v1改變方向而不改變大小），則M相對(duì)O的角速度,由于M相對(duì)A的角速度為相對(duì)O的角速度的一半（圓周角=二分之一圓心角），可知

它就是我們?cè)谑剑?）求出的的最大值，也就是說我們可以讓（1）和（2）中的不等號(hào)同時(shí)取等！

那么，在一直作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的M任意時(shí)刻都對(duì)應(yīng)所有情況中最大的角速度（這是一個(gè)定值），也就是說M可以最快地到達(dá)底部的C處。在這個(gè)過程中的任意時(shí)刻，M的速度大小都等于一開始賦予它的v1的大小。M作與水平分運(yùn)動(dòng)2速率相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合運(yùn)動(dòng)軌跡是擺線。當(dāng)分運(yùn)動(dòng)1走完了，分運(yùn)動(dòng)2也走完了勻速圓周運(yùn)動(dòng)的一半，剛好到達(dá)A下方處，也就是說此時(shí)走勻速圓周運(yùn)動(dòng)的M（相對(duì)A的角速度時(shí)刻處在最大值）已經(jīng)到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)了。走任何其他路徑的點(diǎn)M，總有某個(gè)時(shí)刻相對(duì)A的角速度達(dá)不到最大值，就不會(huì)比作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的M更快到達(dá)A點(diǎn)。這說明這種情況下（指）擺線是最速降線。

2.對(duì)于的情況：

??????? 在1中我們已經(jīng)知道走勻速圓周運(yùn)動(dòng)的M任意時(shí)刻的角速度都處于最大值，這說明不光是在A正下方的點(diǎn)，圓周上任意的點(diǎn)都是它最快到達(dá)。我們只需要讓目標(biāo)點(diǎn)在一條不完整的擺線上就可以了。而擺線起點(diǎn)發(fā)出的任意一條向下方的射線都與擺線有交點(diǎn)，所以對(duì)于任意不高于起點(diǎn)的目標(biāo)點(diǎn)，都可以用一條擺線的一部分將它與起點(diǎn)相連（如果目標(biāo)點(diǎn)在起點(diǎn)正下方，只要讓擺線無窮大即可）。如此一來，我們就可以用擺線將任意目標(biāo)點(diǎn)與起始點(diǎn)相連。

綜上，知擺線是的最速降線。

三.關(guān)于最速降線的一些其他性質(zhì)：

1. 等時(shí)性，從一條擺線上任意點(diǎn)同時(shí)靜止出發(fā)的小球，到達(dá)擺線最低點(diǎn)用時(shí)相同。這一特性的運(yùn)動(dòng)學(xué)證明（幾何吧大佬寫的，非常地簡(jiǎn)潔）比較美觀，建議欣賞。
   

2. 給定初速度大小和初末位置（可以高于初位置，但不能高于這個(gè)速度能到達(dá)的最大高度），最快的軌跡仍然是擺線，我們可以類似（2）的將初末位置放在一條符合條件的擺線上。

3. 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)-勻強(qiáng)電場(chǎng)或者勻強(qiáng)磁場(chǎng)-勻強(qiáng)重力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)也是最速降線。（本證明的啟發(fā)便源于處理復(fù)合場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的配速法）

注：本文修改自《中學(xué)物理教學(xué)參考2023第二期》中《最速降線問題解法探討》