復(fù)習(xí)筆記Day115

2023-03-08 01:04 作者:間宮_卓司 0人讀過 | 我要投稿

整套考卷打上去實在太累了，而且有的題目確實沒啥意思，所以我還是恢復(fù)到之前只寫一些個人認(rèn)為比較有意思的題目上去的狀態(tài)

115.1?[蘇州大學(xué)2023]? $n$ 階復(fù)方陣 $A$ 稱為對合矩陣，若 $A%5E2%3DE_n$

(1)證明：任意一個對合矩陣都可以相似對角化

(2)證明：兩兩可交換的 $n$ 階對合矩陣最多有 $2%5En$ 個

(1)記 $f%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%20%3D%5Clambda%20%5E2-1$ ，那么因為 $f%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%20%3D%5Cleft(%20%5Clambda%20-1%20%5Cright)%20%5Cleft(%20%5Clambda%20%2B1%20%5Cright)%20$ 只有單根，故 $A$ 的極小多項式也只有單根，從而 $A$ 可以相似對角化

(2)容易發(fā)現(xiàn) $%5Cleft%5C%7B%20%5Cmathrm%7Bdiag%7D%5Cleft%5C%7B%20c_1%2Cc_2%2C%5Ccdots%20%2Cc_n%20%5Cright%5C%7D%20%3Ac_i%3D%5Cpm%201%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%20%2Cn%20%5Cright%5C%7D%20$ 是一個滿足條件的集合，并且不能再向里面添加元素了，下面來嚴(yán)格證明一下

設(shè) $B$ 是兩兩可交換 $n$ 階對合矩陣構(gòu)成的集合中元素最多的集合之一

若 $C$ 為兩兩可交換 $n$ 階對合矩陣構(gòu)成的集合，那么 $C%5Ccup%20%5Cleft%5C%7B%20E_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 也是兩兩可交換 $n$ 階對合矩陣構(gòu)成的集合，所以 $E_n%5Cin%20B$

其次， $B$ 中的元素的個數(shù)和 $P%5E%7B-1%7DBP%3D%5Cleft%5C%7B%20P%5E%7B-1%7DAP%3AA%5Cin%20B%20%5Cright%5C%7D%20$ 中的元素的個數(shù)是一樣的，因為 $A$ 可對角化且特征值僅為 $%5Cpm%201$ ，所以不妨設(shè) $%5Cmathrm%7Bdiag%7D%5Cleft%5C%7B%201%2C1%2C%5Ccdots%20%2C1%2C-1%2C%5Ccdots%20%2C-1%20%5Cright%5C%7D%20%5Cin%20B$ ，其中 $1$ 的個數(shù)為 $x$ 個， $-1$ 的個數(shù)為 $y$ 個

當(dāng) $n%3D1$ 時，結(jié)論顯然

假設(shè)當(dāng) $k%3C%20n$ 時結(jié)論成立，即兩兩可交換的 $k$ 階對合矩陣最多有 $2%5Ek$ 個，那么任取 $A%3D(a_%7Bij%7D)_%7Bn%5Ctimes%20n%7D$ ，有

$%5Cmathrm%7Bdiag%7D%5Cleft%5C%7B%201%2C1%2C%5Ccdots%20%2C1%2C-1%2C%5Ccdots%20%2C-1%20%5Cright%5C%7D%20A%3DA%5Cmathrm%7Bdiag%7D%5Cleft%5C%7B%201%2C1%2C%5Ccdots%20%2C1%2C-1%2C%5Ccdots%20%2C-1%20%5Cright%5C%7D%20$

記 $A%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09A_1%26%09%09A_2%5C%5C%0A%09A_3%26%09%09A_4%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20$ ，其中 $A_1$ 為 $x%5Ctimes%20x$ 階矩陣， $A_4$ 為 $y%5Ctimes%20y$ 階矩陣，那么

$%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09E_x%26%09%09%5C%5C%0A%09%26%09%09-E_y%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09A_1%26%09%09A_2%5C%5C%0A%09A_3%26%09%09A_4%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09A_1%26%09%09A_2%5C%5C%0A%09A_3%26%09%09A_4%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09E_x%26%09%09%5C%5C%0A%09%26%09%09-E_y%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20$

化簡，得

$%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09A_1%26%09%09A_2%5C%5C%0A%09-A_3%26%09%09-A_4%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09A_1%26%09%09-A_2%5C%5C%0A%09A_3%26%09%09-A_4%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20$

從而 $A_2%3DA_3%3D0$ ，即 $B$ 中矩陣只能有 $A%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09A_1%26%09%09%5C%5C%0A%09%26%09%09A_4%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20$ 的形式，又因為 $A%5E2%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09A_1%26%09%09%5C%5C%0A%09%26%09%09A_4%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09A_%7B1%7D%5E%7B2%7D%26%09%09%5C%5C%0A%09%26%09%09A_%7B4%7D%5E%7B2%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20%3DE_n$ ，所以 $A_1%2CA_4$ 也是對合矩陣，依歸納假設(shè)，這樣的 $A_1$ 最多有 $2%5Ex$ 個，這樣的 $A_4$ 最多有 $2%5Ey$ 個，合起來這樣的 $A$ 一共有 $2%5En$ 個，又因為 $E_x$ 和 $-E_y$ 也包含在其中，所以 $B$ 中的元素最多有 $2%5En$ 個

115.2 [南開大學(xué)2023]設(shè) $A$ 是 $A%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5E%7Bn%5Ctimes%20n%7D$ 是正定矩陣， $%5Cbeta%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5En%2Cc%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%20$ 。如果存在 $x%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5En$ ，使得 $x%5ETAx%2B2%5Cbeta%20%5ETx%2Bc%3D0$ ，證明： $%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%5Cbeta%20%5Cge%20c$

如果 $n%3D1$ ，那么這個結(jié)論就是熟悉的一元二次方程的判別式，現(xiàn)在先來回憶一下這個判別式是怎么推導(dǎo)出來的

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%26ax%5E2%2B2bx%2Bc%5C%5C%0A%09%26%3Da%5Cleft(%20x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20%5Cright)%20%5E2-%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%5E2%5C%5C%0A%09%26%3Da%5Cleft(%20x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20%5Cright)%20%5E2%2Bc-%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7Ba%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以只能有 $c-%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7Ba%7D%3C0$

根據(jù)要證明的結(jié)論，合理地猜想，對于一般的情況，有下式成立

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%26x%5ETAx%2B2%5Cbeta%20%5ETx%2Bc%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cleft(%20x%5ET%2B%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%20%5Cright)%20A%5Cleft(%20x%2BA%5E%7B-1%7D%5Cbeta%20%5Cright)%20%2Bc-%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%5Cbeta%20%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

下面來驗證一下

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%26%5Cleft(%20x%5ET%2B%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%20%5Cright)%20A%5Cleft(%20x%2BA%5E%7B-1%7D%5Cbeta%20%5Cright)%20%2Bc-%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%5Cbeta%5C%5C%0A%09%26%3Dx%5ETAx%2Bx%5ET%5Cbeta%20%2B%5Cbeta%20%5ETx%2B%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%5Cbeta%20%2Bc-%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%5Cbeta%5C%5C%0A%09%26%3Dx%5ETAx%2B2%5Cbeta%20%5ETx%2Bc%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以這確實是成立的，故

$%5Cleft(%20x%5ET%2B%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%20%5Cright)%20A%5Cleft(%20x%2B%5Cbeta%20A%5E%7B-1%7D%20%5Cright)%20%3D%5Cbeta%20%5ETA%5E%7B-1%7D%5Cbeta%20-c%5Cge%200$

結(jié)論得證

115.3 [南開大學(xué)2023]是否存在矩陣 $A%5Cin%20%5Cmathbb%7BQ%7D%20%5E%7B2%5Ctimes%202%7D$ ，使得 $A%5E6%3DE%2CA%5E3%5Cne%20E%2CA%5E2%5Cne%20E$ ，且 $A$ 中所有元素之和為 $2023$ ？如果存在，請給出具體的例子，如果不存在，請說明理由

記 $A%5E3%3DB$ ，則 $B$ 是對合矩陣， $B$ 可對角化且其只能以 $1$ 或 $-1$ 為特征值，又因為 $B%5Cne%20E$ ，所以其相似于 $%5Cmathrm%7Bdiag%7D%5Cleft%5C%7B%201%2C-1%20%5Cright%5C%7D%20$ 或 $%5Cmathrm%7Bdiag%7D%5Cleft%5C%7B%20-1%2C-1%20%5Cright%5C%7D%20$

若其相似于 $%5Cmathrm%7Bdiag%7D%5Cleft%5C%7B%201%2C-1%20%5Cright%5C%7D%20$ ，則因為方程 $%5Clambda%20%5E3%3D1$ 的解為 $%5Clambda%20%3De%5E%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D%2Ce%5E%7B%5Cfrac%7B4%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D%2C1$ ， $%5Clambda%20%5E3%2B1%3D0$ 的解為 $%5Clambda%20%3De%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D%2C-1%2Ce%5E%7B%5Cfrac%7B5%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D$ ，所以 $A$ 以 $%5Clambda%20%3D%5Cleft%5C%7B%20e%5E%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D%2Ce%5E%7B%5Cfrac%7B4%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D%2C1%20%5Cright%5C%7D%20$ 中的一個元素為一個特征值，以 $%5Cleft%5C%7B%20e%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D%2C-1%2Ce%5E%7B%5Cfrac%7B5%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D%20%5Cright%5C%7D%20$ 中的一個元素為另一個特征值，因為 $A$ 是有理數(shù)域上的矩陣，所以其復(fù)根只能是共軛的，所以 $A$ 的特征值只能是 $%5Clambda%3D%5Cpm1$ ，但是此時 $A%5E2%3DE$ ，矛盾

同理可知， $B$ 相似于 $%5Cmathrm%7Bdiag%7D%5Cleft%5C%7B%20-1%2C-1%20%5Cright%5C%7D%20$ 時， $A$ 的特征值只能為 $%5Clambda%20_1%3De%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D%2C%5Clambda%20_2%3De%5E%7B%5Cfrac%7B5%5Cpi%20i%7D%7B3%7D%7D$