【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)Ep9】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識(shí)：
均值不等式：（a1+a2+……+an）/n>=（a1a2……an）^（1/n）>=n/（1/a1+1/a2+……+1/an）；
stolz公式——
對(duì)于*/∞型的數(shù)列xn/yn，其中——
存在自然數(shù)N"，使得n>N"時(shí)，yn是單增數(shù)列，即，yn+1>yn；
在已知lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]為有限值或趨向于無窮的情況下；
公式lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]成立。
對(duì)三角形ABC，D為BC中點(diǎn)，則有AD=（AB+AC）/2。
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析》（陳紀(jì)修 於崇華 編）
《解析幾何》（呂林根 許子道 編）
《高等代數(shù)習(xí)題集》（楊子旭 編）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析（陳紀(jì)修 於崇華?編）》）——
設(shè)lim（a1+a2+……+an）存在，證明：
a.lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；
b.lim（n！a1a2……an）^（1/n）=0（ai>0，i=1,2，……，n）。
證——
a.??
設(shè)lim（a1+a2+……+an）=a
a1+2a2+……+nan
=a1+2[（a1+a2）-a1]+……+n[（a1+a2+……+an）-（a1+a2+……+an-1）]
=a1（1-2）+（a1+a2）（2-3）+……+（a1+a2+……+an-1）[（n-1）-n]+n（a1+a2+……+an）；
.（a1+2a2+……+nan）/n
={a1（1-2）+（a1+a2）（2-3）+……+（a1+a2+……+an-1）[（n-1）-n]+n（a1+a2+……+an）}/n
={a1（1-2）+（a1+a2）（2-3）+……+（a1+a2+……+an-1）[（n-1）-n]}/n+（a1+a2+……+an）；
對(duì)3中第一項(xiàng)使用stolz公式：
lim{a1（1-2）+（a1+a2）（2-3）+……+（a1+a2+……+an-1）[（n-1）-n]}/n
=lim（a1+a2+……+an-1）[（n-1）-n]=-lim（a1+a2+……+an-1）=-a；
lim（a1+2a2+……+nan）/n
=lim{a1（1-2）+（a1+a2）（2-3）+……+（a1+a2+……+an-1）[（n-1）-n]}/n+lim（a1+a2+……+an）
=-a+a=0.
b.
由均值不等式：
0<=（n！a1a2……an）^（1/n）
=（1a1*2a2*……*nan）^（1/n）
<=（a1+2a2+……+nan）/n
由a中結(jié)論和夾逼準(zhǔn)則可知：lim（n！a1a2……an）^（1/n）=0
解析幾何——
例題（來自《解析幾何（呂林根 許子道 編）》）——
證明四面體對(duì)邊中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)且互相平分。
證：設(shè)四面體ABCD一組對(duì)邊AB，CD中點(diǎn)E，F(xiàn)的連線為EF，它的中點(diǎn)為P1，其余兩組對(duì)邊中點(diǎn)連線的中點(diǎn)分別為P2，P3，下面只有證明P1、P2、P3三點(diǎn)重合就可以了。取不共面的三向量AB=e1，AC=e2，AD=e3——
因?yàn)锳P1是三角形AEF的中線，所以有AP1=（AE+AF）/2；
又AF是三角形ACD的中線，所以AF=（AC+AD）/2=（e2+e3）/2；
E是AB的中點(diǎn)，則AE=AB/2=e1/2；
AP1=[e1/2+（e2+e3）/2]/2=（e1+e2+e3）/4；
同理，AP1=AP2=AP3，即得證。
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)習(xí)題集（楊子旭）》）——
證明：若數(shù)環(huán)R不為{0}，則R必包含有無限多個(gè)子環(huán)。
證：因?yàn)镽不為{0}，固有a不為0，a不是R的元素，則——
（a）={……，-2a，-a，0，a，2a，……}，
（2a）={……，-4a，-2a，0，2a，4a，……}，
（3a）={……，-6a，-3a，0，3a，6a，……}，
……
都是R的子環(huán)，且互不相同，故R有無窮多個(gè)子環(huán)。
就到這里！
