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等差數(shù)列：

設首項為a1 , 末項為an , 項數(shù)為n , 公差為 d , 前 n項和為Sn

,則有:

等差數(shù)列求和公式

當d≠0時，Sn是n的二次函數(shù)，（n，Sn）是二次函數(shù) 的圖象上一群孤立的點。利用其幾何意義可求前n項和Sn的最值。

注意：公式一二三事實上是等價的，在公式一中不必要求公差等于一。

求和推導

證明：由題意得：

Sn=a1+a2+a3+。。。+an①

Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+。。。+a1②

①+②得：

2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](當n為偶數(shù)時)

Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2

Sn=n（A1+An）/2 (a1，an，可以用a1+（n-1）d這種形式表示可以發(fā)現(xiàn)括號里面的數(shù)都是一個定值，即（A1+An）

通向推導：

等差數(shù)列基本公式:

末項=首項+(項數(shù)-1)×公差

項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1

首項=末項-(項數(shù)-1)×公差

和=(首項+末項)×項數(shù)÷2

差:首項+項數(shù)×(項數(shù)-1)×公差÷2

來一道題練練手：

轉化成基本量處理：

來一道有點小難度的題目~

如果代上式計算量過大，所以要技巧

左右兩項數(shù)量相等

角標數(shù)量和相同

作用：實現(xiàn)通項公式的轉換

若 m、n、p、q∈N

①若m+n=p+q，則am+an=ap+aq

②若m+n=2q，則am+an=2aq（等差中項）

注意：上述公式中an表示等差數(shù)列的第n項。???

推論：等差中項

通項正負繼續(xù)推單調(diào)性

推論二：

作用：a與S互相轉化

如下

例三：

答案：

推論：

例子：

構造：

推論：

證明：

例子：

答案：

等差數(shù)列基本公式:

末項=首項+(項數(shù)-1)×公差

項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1

首項=末項-(項數(shù)-1)×公差

和=(首項+末項)×項數(shù)÷2

差:首項+項數(shù)×(項數(shù)-1)×公差÷2

等比數(shù)列：

通項公式：

an=a1×q^(n-1)；

推廣式：an=am×q^(n-m)；

等比數(shù)列的意義

一個數(shù)列，如果任意的后一項與前一項的比值是同一個常數(shù)，

即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)，

這個數(shù)列叫等比數(shù)列，其中常數(shù)q 叫作公比。

如：

2、4、8、16......2^10

就是一個等比數(shù)列，其公比為2，

可寫為（A2）的平方=（A1）x（A3）

性質(zhì)：

①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am×an=ap×aq；

②在等比數(shù)列中，依次每 k項之和仍成等比數(shù)列；

等比數(shù)列的特殊性質(zhì)

③若m、n、q∈N，且m+n=2q，則am×an=(aq)^2；

④ 若G是a、b的等比中項，則G^2=ab（G ≠ 0）；

⑤在等比數(shù)列中，首項a1與公比q都不為零.

注意：上述公式中an表示等比數(shù)列的第n項。???

求和公式

Sn=n×a1 (q=1)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)=a1(q^n-1)/(q-1)

S∞=a1/(1-q) （n-> ∞）（|q|<1）

(q為公比，n為項數(shù)）

例子：

答案：

性質(zhì)二證明：

例子：

答案：

總結：

等差數(shù)列：設首項為a1 , 末項為an , 項數(shù)為n , 公差為 d , 前 n項和為Sn

,則有:

等差數(shù)列求和公式

當d≠0時，Sn是n的二次函數(shù)，（n，Sn）是二次函數(shù) 的圖象上一群孤立的點。利用其幾何意義可求前n項和Sn的最值。

注意：公式一二三事實上是等價的，在公式一中不必要求公差等于一。

求和推導

證明：由題意得：

Sn=a1+a2+a3+。。。+an①

Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+。。。+a1②

①+②得：

2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](當n為偶數(shù)時)

Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2

Sn=n（A1+An）/2 (a1，an，可以用a1+（n-1）d這種形式表示可以發(fā)現(xiàn)括號里面的數(shù)都是一個定值，即（A1+An）

通向推導：

等差數(shù)列基本公式:

末項=首項+(項數(shù)-1)×公差

項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1

首項=末項-(項數(shù)-1)×公差

和=(首項+末項)×項數(shù)÷2

差:首項+項數(shù)×(項數(shù)-1)×公差÷2

性質(zhì)：

若 m、n、p、q∈N

①若m+n=p+q，則am+an=ap+aq

②若m+n=2q，則am+an=2aq（等差中項）

注意：上述公式中an表示等差數(shù)列的第n項。

等比數(shù)列：

等比數(shù)列求和公式為：Sn=n*a?(q=1) Sn=a?(1-q^n)/(1-q) =(a?-anq)/(1-q) （q不等于 1）

通項公式：

an=a1×q^(n-1)；

推廣式：an=am×q^(n-m)；

等比數(shù)列的意義

一個數(shù)列，如果任意的后一項與前一項的比值是同一個常數(shù)，

即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)，

這個數(shù)列叫等比數(shù)列，其中常數(shù)q 叫作公比。

如：

2、4、8、16......2^10

就是一個等比數(shù)列，其公比為2，

可寫為（A2）的平方=（A1）x（A3）

性質(zhì)：

①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am×an=ap×aq；

②在等比數(shù)列中，依次每 k項之和仍成等比數(shù)列；

等比數(shù)列的特殊性質(zhì)

③若m、n、q∈N，且m+n=2q，則am×an=(aq)^2；

④ 若G是a、b的等比中項，則G^2=ab（G ≠ 0）；

⑤在等比數(shù)列中，首項a1與公比q都不為零.

注意：上述公式中an表示等比數(shù)列的第n項。???

求和公式

Sn=n×a1 (q=1)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)=a1(q^n-1)/(q-1)

S∞=a1/(1-q) （n-> ∞）（|q|<1）

(q為公比，n為項數(shù)）