本文簡(jiǎn)單介紹一下 MIMO 系統(tǒng)，只需要最簡(jiǎn)單的線性代數(shù)的基礎(chǔ)，會(huì)解方程組，能理解矩陣乘法和可逆矩陣即可。

之前單天線發(fā)送單天線接收的系統(tǒng)，相對(duì)于多天線系統(tǒng)，比較簡(jiǎn)單。有了多天線，系統(tǒng)就變得復(fù)雜了，信道的參數(shù)變多了，而且，是發(fā)射的天線多還是接收的天線多，這也造成了不同的情況。

這里假定大家知道什么是 MIMO 了，我們就直接開(kāi)始分析兩個(gè)主要問(wèn)題：

1）如何能估計(jì)出信道的參數(shù)？

2）如何能估計(jì)出發(fā)送的原始數(shù)據(jù)是什么？



如何估計(jì)信道的參數(shù)

我們分四種情況來(lái)討論:

一發(fā)兩收的情況

設(shè) w11 表示從發(fā)射天線1到接收天線1的系數(shù)，w12 表示從發(fā)射天線1到接收天線2的系數(shù)。那么發(fā)送一個(gè)已知的數(shù)據(jù) x， 接收到的數(shù)據(jù)，接收天線1上接收到的數(shù)據(jù)是? y1，接收天線2上接收的數(shù)據(jù)是 y2，則有如下兩個(gè)方程，其中 x, y1 和 y2 是 已知量，未知的是 w11 和 w12:

可以和容易看出來(lái)， w11 和 w12 都是有解的：

用矩陣來(lái)表示的話：

則：

兩發(fā)一收的情況

設(shè)從發(fā)射天線1到接收天線1的系數(shù)為 w11，從發(fā)射天線2到接收天線1的系數(shù)為 w21，同一時(shí)刻，可以從兩個(gè)發(fā)射天線上同時(shí)發(fā)射數(shù)據(jù)出去，設(shè)這兩個(gè)數(shù)據(jù)為 x1 和 x2 ，此時(shí)接收天線上接收到的數(shù)據(jù)為? y1.? 那么，我們可以列出一個(gè)方程出來(lái)，同樣，這個(gè)方程中 w11 和 w21 是未知數(shù)：

一個(gè)方程，但是有兩個(gè)未知數(shù)，所以，還需要構(gòu)造出一個(gè)方程，才能確定一個(gè)唯一解，假設(shè)在下一時(shí)刻，又發(fā)送兩個(gè)數(shù)據(jù)，假設(shè)兩個(gè)時(shí)刻點(diǎn)上，信道的系數(shù)沒(méi)有變化，第二個(gè)時(shí)刻發(fā)送的數(shù)據(jù)可以是 -x2 和 x1，即 -x2 從第一根天線上發(fā)射出去，x1 從第二根發(fā)射天線發(fā)射出去，假設(shè)此時(shí)接收到的數(shù)據(jù)為? y2，則可以列出來(lái)此時(shí)的方程，其中 w11 和 w21 是未知數(shù)：

則上面的兩個(gè)方程聯(lián)立，可以確定唯一的解，把以上兩個(gè)方程寫(xiě)成矩陣形式：

則可以寫(xiě)出解的表達(dá)式：

兩發(fā)三收的情況

設(shè)：

從發(fā)射天線1到接收天線1的系數(shù)為 w11，從發(fā)射天線1到接收天線2的系數(shù)為 w12，從發(fā)射天線1到接收天線3的系數(shù)為 w13

從發(fā)射天線2到接收天線1的系數(shù)為 w21，從發(fā)射天線2到接收天線2的系數(shù)為 w22，從發(fā)射天線2到接收天線3的系數(shù)為 w23.

則第一時(shí)刻，從兩根天線上發(fā)出的信號(hào)是 x1 和 x2，此時(shí)三根天線接收的信號(hào)分別是 y1，y2, y3，那么可以列出來(lái)三個(gè)方程，方程中 w 是未知數(shù)：

上面把三個(gè)方程故意錯(cuò)開(kāi)擺放，是因?yàn)槊總€(gè)方程的未知數(shù)是不一樣的，讓未知數(shù)上下對(duì)齊。

可以看到，三個(gè)方程，但是有 6 個(gè)未知數(shù)，所以，還不能確定唯一解。

則在下一個(gè)時(shí)刻，再通過(guò)兩根發(fā)射天線發(fā)射兩個(gè)數(shù)據(jù)，記為 x3 和 x4， 三根天線接收的信號(hào)分別是 y4，y5, y6，同理，可以列出來(lái)三個(gè)方程，方程中 w 是未知數(shù)：

上面把三個(gè)方程故意錯(cuò)開(kāi)擺放，是因?yàn)槊總€(gè)方程的未知數(shù)是不一樣的，讓未知數(shù)上下對(duì)齊。

現(xiàn)在，總共有 6 個(gè)方程，6 個(gè)未知數(shù)，可以確定出唯一解來(lái)了（當(dāng)然需要滿足一點(diǎn)條件），我們把 6 個(gè)方程都擺在一起：

我們把第一個(gè)和第四個(gè)方程放到一起：
把第二個(gè)和第五個(gè)方程放到一起：
把第三個(gè)和第六個(gè)方程放到一起：

寫(xiě)成矩陣形式，使用逆矩陣，可以把 6 個(gè)未知數(shù)都解出來(lái)：

????????? 則：




??? 對(duì)于第二對(duì)方程：

????????? 則：

?對(duì)于第三對(duì)方程：

????????? 則：

上面三對(duì)方程，統(tǒng)一成一個(gè)矩陣來(lái)表示：

???? 則

三發(fā)兩收的情況

設(shè)：

從發(fā)射天線1到接收天線1的系數(shù)為 w11，從發(fā)射天線1到接收天線2的系數(shù)為 w12

從發(fā)射天線2到接收天線1的系數(shù)為 w21，從發(fā)射天線2到接收天線2的系數(shù)為 w22

從發(fā)射天線2到接收天線1的系數(shù)為 w31，從發(fā)射天線2到接收天線2的系數(shù)為 w32

則第一時(shí)刻，從三根天線上發(fā)出的數(shù)據(jù)為 x1,x2 和x3，兩根接收天線上收到的數(shù)據(jù)為 y1, y2, 那么可以列出來(lái)兩個(gè)方程，方程中 w 是未知數(shù)：

可以看到，上面是兩個(gè)方程，6個(gè)未知數(shù)，顯然無(wú)法確定唯一解。

第二個(gè)時(shí)間，再?gòu)娜炀€上發(fā)出的數(shù)據(jù)為 x4,x5 和x6，兩根接收天線上收到的數(shù)據(jù)為 y3, y4, 那么可以列出來(lái)兩個(gè)方程，方程中 w 是未知數(shù)：

則一共 4 個(gè)方程，6 個(gè)未知數(shù)，顯然還是無(wú)法確定唯一解。

第三個(gè)時(shí)間，再?gòu)娜炀€上發(fā)出的數(shù)據(jù)為 x7,x8 和x9，兩根接收天線上收到的數(shù)據(jù)為 y5, y6, 那么可以列出來(lái)兩個(gè)方程，方程中 w 是未知數(shù)：

至此，有 6 個(gè)方程 6個(gè)未知數(shù)，原則上可以確定唯一的一組解了。

我們把第一個(gè)方程，第三個(gè)和第五個(gè)方程擺在一起：

把第二個(gè)方程，第四個(gè)和第六個(gè)方程擺在一起：

把上面兩組方程寫(xiě)成矩陣形式，并求解：

和


則使用逆矩陣的方法，很容易求解出來(lái)：

和

合并成更精簡(jiǎn)的形式：

求解也變得很精簡(jiǎn)的表達(dá)式：


總結(jié)規(guī)律：從接收天線端來(lái)看，每個(gè)接收天線分開(kāi)看，每次看一個(gè)天線，則都如 多發(fā)單收的情況，每一次發(fā)射（多個(gè)天線同時(shí)發(fā)）構(gòu)成一個(gè)方程，為了解出多個(gè)系數(shù)，則需要多次發(fā)射。