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【數(shù)競(jìng)】（1）（旁切圓、根軸）

2022-03-18 17:35 作者:-YD-LM- 0人讀過(guò) | 我要投稿

這是一道全俄數(shù)學(xué)競(jìng)賽題：

已知 $%5Ctriangle%20ABC$ 的周長(zhǎng)為4，分別在射線AB與AC上截取 $AX%3DAY%3D1$ ，聯(lián)結(jié)XY交BC于M，聯(lián)結(jié)AM。求證： $%5Ctriangle%20ABM$ 與 $%5Ctriangle%20ACM$ 的周長(zhǎng)中必有其一為2.

它將作為本期的一道例題。

一、旁切圓

定義? 與三角形的一邊以及另外兩邊的延長(zhǎng)線相切的圓稱為三角形的旁切圓，其圓心叫三角形的旁心。

如圖2， $%5Codot%20O$ 是 $%5Ctriangle%20ABC$ 在邊 $BC$ 一側(cè)的旁切圓，分別切射線 $AB%0A$ 、射線 $AC$ 與線段 $BC$ 于點(diǎn) $D%2CE%2CF$ ，因此 $OD%5Cbot%20AD%2COE%5Cbot%20AE%2COT%5Cbot%20BC$ 。又因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=OD%3DOE%3DOT" alt="OD%3DOE%3DOT">，于是 $OB$ 平分 $%E2%88%A0TBD$ ， $OC$ 平分 $%E2%88%A0TCE$ ， $OA$ 平分 $%E2%88%A0BAC%0A$ ，即旁心是三角形一個(gè)角的角平分線與另外兩個(gè)角的外角平分線的交點(diǎn)。

同時(shí)，由切線長(zhǎng)定理， $AD%3DAE%2CBT%3DBD%2CCT%3DCE$ ，因此 $AB%2BBT%3DAC%2BCT$ ，即旁切圓與三角形一邊的交點(diǎn)平分三角形的周長(zhǎng)。

二、根軸

（1）圓冪：設(shè)有 $%5Codot%20O$ 與點(diǎn) $P$ ，則 $OP%5E2-r%5E2$ 稱為點(diǎn) $P$ 到 $%5Codot%20O$ 的冪。

如圖3（ $PA$ 切 $%5Codot%20O$ 于 $A$ ）。由于 $%5Cangle%20PFB%3D%5Cangle%20PDG$ ，因此 $%5Ctriangle%20PFB%5Csim%5Ctriangle%20PDG$ ，從而有

$PB%C2%B7PD%3DPF%C2%B7PG$ （1）

同理，

$QB%C2%B7QG%3DQC%C2%B7QE$ （2）

（1）（2）稱為相交弦定理。當(dāng)出現(xiàn) $F%2CG$ 重合為一點(diǎn) $A$ 的極端情況時(shí)，（1）式則變?yōu)?/p>

$PB%C2%B7PD%3DPA%5E2$ （3）

（3）稱為切割線定理。相交弦定理與切割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理。事實(shí)上，我們可以做出一條特殊的弦——直徑，則（1）（3）變?yōu)?/p>

$PC%C2%B7PE%3DPF%C2%B7PG%3DPA%5E2%3D(OP-r)(OP%2Br)%3DOP%5E2-r%5E2$

同理， $QB%C2%B7QG%3D$ $%EF%BC%88r-OQ)(r%2BOQ)%3Dr%5E2-OQ%5E2$ 。這就是說(shuō)：任意一點(diǎn)到圓心的冪的絕對(duì)值，等于過(guò)這點(diǎn)的一條直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別與這點(diǎn)相連，得到的兩條線段之積。特別地，當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，其圓冪等于該點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)的平方。這就是圓冪定理得名的由來(lái)，也十分有用。事實(shí)上，由勾股定理， $OP%5E2-r%5E2%3DOP%5E2-OA%5E2%3DPA%5E2$ ，也能得出相同的結(jié)論。

（2）根軸：到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡稱為兩圓的根軸。

我們先探究一下根軸的基本性質(zhì)：首先確定根軸的形狀，圖4為一簡(jiǎn)化圖。設(shè)有 $%5Codot%20O_1%2C%5Codot%20O_2$ ，其半徑分別為 $r_1$ ，則根軸上的點(diǎn) $P$ 滿足 $O_1P%5E2-r_1%5E2%3DO_2P%5E2-r_2%5E2$ ，即 $O_1P%5E2-O_2P%5E2%3Dr_1%5E2-r_2%5E2$ ，為一定值。這時(shí)，問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為了：平面內(nèi)到兩點(diǎn)平方差為定值的點(diǎn)的軌跡為何。設(shè)在直線 $O_1O_2$ 上有點(diǎn) $H$ 在根軸上，作直線 $PH%5Cbot%20O_1O_2$ 。則 $O_1P%5E2-O_2P%5E2%3D(O_1H%5E2%2BPH%5E2)-(O_2H%5E2%2BPH%5E2)%3Dr_1%5E2-r_2%5E2$ ，因此 $P$ 點(diǎn)也在根軸上。由于其為任取的點(diǎn)，故根軸為一條垂直于兩圓連心線的直線（易知不在這條直線上的點(diǎn)均不在根軸上）。

當(dāng)兩圓外離時(shí)，根軸具有一個(gè)與基本定義等價(jià)的定義。如圖5，直線 $PH$ 為 $%5Codot%20O_1$ 與 $%5Codot%20O_2$ 的根軸。由于 $P$ 到兩圓等冪及我們先前得到的結(jié)論，有 $PA%5E2%3DPB%5E2%5Ciff%20PA%3DPB$ 。也就是說(shuō)，到外離的兩圓切線長(zhǎng)相等的點(diǎn)的軌跡也為兩圓的根軸。

有了這些結(jié)論，我們已經(jīng)有能力解決文章開(kāi)頭的題了。

如圖6。分別倍長(zhǎng) $AX%2CAY$ 至點(diǎn) $X'%2CY'$ ，作 $%5Ctriangle%20ABC$ 在邊 $BC$ 一側(cè)的旁切圓 $%5Codot%20O$ ，切 $BC$ 于 $T$ 。由于 $AX'%3DAB%2BAT%3D2$ ，從而 $BX'%3DBT$ ，即旁切圓切 $AB$ 延長(zhǎng)線于 $X'$ 。同理，旁切圓也切 $AC$ 延長(zhǎng)線于 $Y'$ 。

下面考慮若如圖所畫， $%5Ctriangle%20ABM$ 與 $%5Ctriangle%20ACM$ 的周長(zhǎng)哪個(gè)可能為2.由于 $C_%7B%5Ctriangle%20ABM%7D%3DAX'%2BAM%2BMT%3E2$ ，故只需證：

$AM%2BAC%2BMC%3D2%5Ciff%20AM%2BAC%2BCT-MT%3DAY'$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $%5Ciff$ $AM%2BAY'-MT%3DAY'%5Ciff%20AM%3DMT.$

下面就是最帥的一步了：以 $A$ 為圓心，作半徑為零的圓。于是，由所作輔助線， $X$ 與 $Y$ 都是 $%5Codot%20A$ 與 $%5Codot%20O$ 根軸上的點(diǎn)（這里用到了根軸的等價(jià)定義）——又因?yàn)楦S是直線，因此 $XY$ 正是兩圓的根軸——于是， $M$ 也在根軸上。顯然 $AM%3DMT$ ，命題得證。

三、根心定理：三個(gè)圓兩兩所作出的三條根軸兩兩平行、重合或共點(diǎn)。

運(yùn)用根軸定義，設(shè)三圓分別為 $C_1%2CC_2%2CC_3$ ，并設(shè)三條根軸為 $l_%7B12%7D%2Cl_%7B23%7D%2Cl_%7B13%7D$ ，前兩條根軸相交于點(diǎn)P。則有 $%5COmega_1(P)%3D%5COmega_2(P)%5Cland%5COmega_2(P)%3D%5COmega_3(P)%5Cimplies%20%5COmega_1(P)%3D%5COmega_3(P).$ 因此P也在第三條根軸上。

或者使用解析幾何：若有兩圓 $C_1(x%2Cy)%3Dx%5E2%2By%5E2%2BD_1x%2BE_1y%2BF_1%2C%5C%20C_2(x%2Cy)%3Dx%5E2%2By%5E2%2BD_2x%2BE_2y%2BF_2$

以及點(diǎn) $P(m%2Cn)$ ，則 $%5COmega_1(P)%3DO_1P%5E2-r%5E2%3D(m%2B%5Cfrac%7BD_1%7D2)%5E2%2B(n%2B%5Cfrac%7BE_1%7D2)%5E2-(%5Cfrac%7BD%5E2%7D4%2B%5Cfrac%7BE%5E2%7D4-F)$