數(shù)字信號處理復習總結-最終版
緒論：本章介紹數(shù)字信號處理課程的基本概念。
0.1信號、系統(tǒng)與信號處理
1.信號及其分類
信號是信息的載體，以某種函數(shù)的形式傳遞信息。這個函數(shù)可以是時間域、頻率域或其它域，但最基礎的域是時域。 分類： 周期信號/非周期信號 確定信號/隨機信號 能量信號/功率信號 連續(xù)時間信號/離散時間信號/數(shù)字信號
按自變量與函數(shù)值的取值形式不同分類：
2.系統(tǒng)
系統(tǒng)定義為處理（或變換）信號的物理設備，或者說，凡是能將信號加以變換以達到人們要求的各種設備都稱為系統(tǒng)。 3.信號處理
信號處理即是用系統(tǒng)對信號進行某種加工。包括：濾波、分析、變換、綜合、壓縮、估計、識別等等。所謂“數(shù)字信號處理”，就是用數(shù)值計算的方法，完成對信號的處理。 0.2 數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成
數(shù)字信號處理就是用數(shù)值計算的方法對信號進行變換和處理。不僅應用于數(shù)字化信號的處理，而且 也可應用于模擬信號的處理。以下討論模擬信號數(shù)字化處理系統(tǒng)框圖。 （1）前置濾波器 將輸入信號
x
a(t)中高于某一頻率（稱折疊頻率，等于抽樣頻率的一半）的分量加以濾除。 （2）A/D變換器 在A/D變換器中每隔T秒（抽樣周期）取出一次
x
a(t)的幅度，抽樣后的信號稱為離散信號。在A/D變換器中的保持電路中進一步變換為若干位碼。 （3）數(shù)字信號處理器（DSP） （4）D/A變換器 按照預定要求，在處理器中將信號序列
x
(
n
)進行加工處理得到輸出信號
y
(
n
)。由一個二進制碼流產(chǎn)生一個階梯波形，是形成模擬信號的第一步。 （5）模擬濾波器 把階梯波形平滑成預期的模擬信號；以濾除掉不需要的高頻分量，生成所需的模擬信號
y
a(t)。 0.3 數(shù)字信號處理的特點
（1）靈活性。（2）高精度和高穩(wěn)定性。（3）便于大規(guī)模集成。（4）對數(shù)字信號可以存儲、運算、系統(tǒng)可以獲得高性能指標。 0.4 數(shù)字信號處理基本學科分支
數(shù)字信號處理（DSP）一般有兩層含義，一層是廣義的理解，為數(shù)字信號處理技術——DigitalSignalProcessing，另一層是狹義的理解，為數(shù)字信號處理器——DigitalSignalProcessor。 0.5 課程內(nèi)容
該課程在本科階段主要介紹以傅里葉變換為基礎的“經(jīng)典”處理方法，包括：（1）離散傅里葉變換及其快速算法。（2）濾波理論（線性時不變離散時間系統(tǒng)，用于分離相加性組合的信號，要求信號頻譜占據(jù)不同的頻段）。 在研究生階段相應課程為“現(xiàn)代信號處理”（AdvancedSignalProcessing）。信號對象主要是隨機信號，主要內(nèi)容是自適應濾波（用于分離相加性組合的信號，但頻譜占據(jù)同一頻段）和現(xiàn)代譜估計。 簡答題： 1．按自變量與函數(shù)值的取值形式是否連續(xù)信號可以分成哪四種類型? 2．相對模擬信號處理，數(shù)字信號處理主要有哪些優(yōu)點? 3．數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成有哪些？ 第一章：本章概念較多，需要理解和識記的內(nèi)容較多，學習時要注意。
1.1 離散時間信號
1.離散時間信號的定義
離散時間信號是指一個實數(shù)或復數(shù)的數(shù)字序列，它是整數(shù)自變量n的函數(shù)，表示為x(n)。一般由模擬信號等間隔采樣得到：
。
時域離散信號有三種表示方法：1）用集合符號表示 2）用公式表示 3）用圖形表示 2.幾種基本離散時間信號（記住定義）
（1）單位采樣序列 （2）單位階躍序列 （3）矩形序列 （4）實指數(shù)序列 （5）正弦序列 ω是正弦序列數(shù)字域的頻率，單位是弧度。 對連續(xù)信號中的正弦信號進行采樣，可得正弦序列。設連續(xù)信號為，它的采樣值為，因此
（重點）
這個式子具有一般性，它反映了由連續(xù)信號采樣得到的離散序列，其數(shù)字頻率與模擬頻率的一般關系。另外需要說明的是，ω的單位為弧度，Ω的單位為弧度/秒。本書中，我們一律以ω表示數(shù)字域頻率，而以Ω及f表示模擬域頻率。
例：已知采樣頻率FT = 1000Hz, 則序列x（n） = cos(0.4πn) 對應的模擬頻率為 (
400π
) 弧度/s。 說明：本題旨在理解數(shù)字頻率與模擬頻率之間的關系：。 （6）復指數(shù)序列 復指數(shù)序列是以余弦序列為實部、正弦序列為虛部所構成的一個復數(shù)序列。 （7）
周期序列(重點)
所有 存在一個最小的正整數(shù) ,滿足： ,則稱序列 是周期序列，周期為 。(注意：
按此定義，模擬信號是周期信號，采用后的離散信號未必是周期的
) 例：正弦序列 的周期性： 當 ， 為整數(shù)時， ，即為周期性序列。周期 ，式中， 、 限取整數(shù)，且 的取值要保證 是最小的正整數(shù)。 可分幾種情況討論如下：（1）
當
為整數(shù)時，只要
，
就為最小正整數(shù)，即周期為
。
（2）
當
不是整數(shù)，而是一個有理數(shù)時，設
，式中，
、
是互為素數(shù)的整數(shù)（互為素數(shù)就是兩個數(shù)沒有公約數(shù)），取
，則
，即周期為
。
（3）
當
是無理數(shù)時，則任何
皆不能使
為正整數(shù)，這時，正弦序列不是周期性的。
例：X(n) = cos(0.4πn)的基本周期為(
5
)。
[說明]
基本周期的定義即計算公式：，其中N和k均為整數(shù)，N為基本周期（使得N為最小整數(shù)時k取值）。本題ω = 0.4π，代入上式得到：。 3.信號運算
（1）加法：兩個信號之和 由同序號的序列值逐點對應相加得到。 （2）乘法：兩個信號之積 由同序號的序列值逐點對應相乘得到。 （3）移位：當，序列右移（稱為延時）；當，序列左移（稱為超前）。 （4）翻轉(zhuǎn)： （5）尺度變換：或，其中M和N都是正整數(shù)。 當時，序列是通過取x(n)的每第M個采樣形成，這種運算稱為下采樣。對于序列，定義如下這種運算稱為上采樣。 4.信號分解（重點）
任一信號x(n)可表示成單位脈沖序列的移位加權和
： 簡記為 1.2 時域離散系統(tǒng)
時域離散系統(tǒng)定義 1 線性系統(tǒng)（重點）
判定公式
： 若=,=則 2 時不變系統(tǒng)（重點）
判定公式
：y(n)=T[x(n)] y(n-)=T[x(n-)]
例：判斷下列系統(tǒng)是否為線性、時不變系統(tǒng)。（重點）
（1）； （2）；
解
： （1）令：輸入為 ，輸出為 故該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。 故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 （2） 令：輸入為 ，輸出為 ，因為 故系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。又因為 因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。 3 線性時不變系統(tǒng)（LTI或者LSI系統(tǒng)）輸入與輸出之間關系（重點）：
y（n）==x（n）*h（n）
重點：線性離不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)的單位脈沖響應的卷積
【說明】離散時間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應h(n)為系統(tǒng)對單位沖激序列δ(n)的零狀態(tài)響應。 單位沖激響應的概念非常重要。在時域，LTI系統(tǒng)可以由其單位沖激響應h(n)唯一確定，因此，我們常常用單位沖激響應描述 LTI 系統(tǒng)。在這種情況下， LTI 系統(tǒng)的輸入輸出關系可以由卷積運算描述：y（n）==x（n）*h（n）
物理意義
： 卷積和運算具有顯式意義，即可以用來確定系統(tǒng)的輸出。如果系統(tǒng)確定，則其單位沖激響應是唯一的。由此，可求系統(tǒng)對任意輸入的響應。
注意：
計算卷積和的關鍵是求和區(qū)間的確定。因此，常常需要繪制序列x(m) 和h(n-m)的圖形。利用序列x(m) 和h(n-m)的圖形可助我們方便地確定求和區(qū)間。
卷積的求解方法（重點）：
線性卷積是一種非常重要的一種運算，對它的求解，一般我們采用作圖法。線性卷積滿足交換律，設兩序列長度分別是
N和M
，線性卷積后序列的長度為
N＋M－1
。
卷積的計算過程包括翻轉(zhuǎn)、移位、相乘、相加四個過程。
1）將和用和表示，畫出和這兩個序列； 2）選擇一個序列，并將其按時間翻轉(zhuǎn)形成序列； 3）將移位
n
，得到； 4）將和相同
m
的序列值對應相乘后，再相加。
例：設
，
,
和
如圖1所示。求
和
的卷積
。（重點）
圖1
解 方法一：用圖解法求卷積和。
(1) 將和用和表示(圖2中(a)、(b)圖)。 圖2 圖解法求卷積過程
(2) 將進行反折，形成(圖2中(c)圖)；將移位，得到(圖2中(d)、(e)、(f)圖)。 (3) 將和相同的序列值相乘，再相加，得到(圖2中(g)圖)。
再討論解析法求線性卷積
。 用式 求解上式首先要根據(jù)和的非零值區(qū)間確定求和的上下限，的非零值區(qū)間為，的非零值區(qū)間為，或，由兩個非零值區(qū)間可得的取值區(qū)間為，它們的乘積的非零值區(qū)間應滿足： 和 因此 當 、時，； 當 時，； 當 時，。 與圖解法結果一致。
y
(
n
)用公式表示為
方法二：當序列和的長度分別為有限長和時，可采用“不進位乘法”求兩序列線卷積。
如圖1所示：， 例：兩線性時不變系統(tǒng)級聯(lián)，其單位取樣響應分別為 和 ，輸入為 ，求系統(tǒng)的輸出 。 已知： ， ， 。 解：設第一個系統(tǒng)的輸出為 ，則 因而輸出為 4. 系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性的判定（重點）
1)穩(wěn)定系統(tǒng)：
有界的輸入產(chǎn)生的輸出也有界的系統(tǒng)，即：若，則
（記住!!）
線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：(
系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的單位脈沖響應絕對可和
)
（記住!!）
或：
其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓 |z|=1（記住!!）
2)因果系統(tǒng)：
時刻的輸出只由時刻之前的輸入決定
（記住!!）
線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：
（記住!!）因果系統(tǒng)的單位脈沖響應必然是因果序列。（記住!!）
或：
其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域在某圓外部：即：|z|>Rx（記住!!）
3）穩(wěn)定因果系統(tǒng)
：同時滿足上述兩個條件的系統(tǒng)。 線性移不變系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)的
充要條件
：，
（記住!!）
或：
H(z)的極點在單位圓內(nèi)
H(z)的收斂域滿足：
（記住!!）
例：判斷線性時不變系統(tǒng)的因果性、穩(wěn)定性，并給出依據(jù)。（重點）
(1)； （2）；
解
：（1）只要，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因為輸出只與n時刻的和n時刻以前的輸入有關。如果，則，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 （2）如果，，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是非因果的，因為輸出還和x(n)的將來值有關。
注意：如果給出的是h(n)，用上面要求記住的充要條件判斷！
例：設某線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應為
（
a
為實數(shù)），分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。（重點）
解：討論因果性： 因為 時， ，所以該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。 討論穩(wěn)定性： ∵ ∴ 當 時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。
例：設某線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應為
（
a
為實數(shù)），分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。（重點）
解：討論因果性： 因為 時， ，所以該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。 討論穩(wěn)定性： ∵ ∴ 當時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 1.3 線性常系數(shù)差分方程
1 差分方程定義
卷積和是一種LTI 系統(tǒng)的數(shù)學模型，一般情況下，我們可以用差分方程描述LTI系統(tǒng)的輸入輸出關系。 差分方程給出了系統(tǒng)響應y[n]的內(nèi)部關系。為得到y(tǒng)[n]的顯式解，必須求解方程。 2差分方程求解
1經(jīng)典法 2遞推法
3
變換域法（參見下章z域變換）（重點）
例：設系統(tǒng)的差分方程為 ，輸入序列為 ，求輸出序列
。
解：一階差分方程需一個初始條件。 設初始條件為： 則 設初始條件改為： 則 該例表明，對于同一個差分方程和同一個輸入信號，因為初始條件不同，得到的輸出信號是不相同的。
幾點結論（重點）
（1）對于實際系統(tǒng)，用遞推解法求解，總是由初始條件向
n
>0的方向遞推，是一個因果解。但對于差分方程，其本身也可以向
n
<0的方向遞推，得到的是非因果解。因此差分方程本身不能確定該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)還是非因果系統(tǒng)，還需要用初始條件進行限制。
（2）一個線性常系數(shù)差分方程描述的系統(tǒng)不一定是線性非時變系統(tǒng)，這和系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關。如果系統(tǒng)是因果的，一般在輸入
x
(
n
)=0(
n
<
n
0)時，則輸出
y
(
n
)=0(
n
<
n
0)，系統(tǒng)是線性非時變系統(tǒng)。
1.4 模擬信號數(shù)字處理方法
1 模擬信號數(shù)字處理框圖
：模擬信號輸入 預濾波：目的是限制帶寬（一般使用低通濾波器） 1采樣：將信號在時間上離散化 A/DC：模/數(shù)轉(zhuǎn)換 2量化：將信號在幅度上離散化（量化中幅度值=采樣幅度值） 3編碼：將幅度值表示成二進制位（條件） 數(shù)字信號處理：對信號進行運算處理 D/AC：數(shù)/模轉(zhuǎn)換（一般用采樣保持電路實現(xiàn)：臺階狀連續(xù)時間信號在采樣時刻幅度發(fā)生跳變 ） 平滑濾波：濾除信號中高頻成分（低通濾波器），使信號變得平滑 ：輸入信號經(jīng)過處理后的輸出信號 2．連續(xù)信號的采樣
對連續(xù)信號進行理想采樣，設采樣脈沖，則采樣輸出 在討論理想采樣后，信號頻譜發(fā)生的變化時，可遵循下面的思路： 1）由；2）由； 3）根據(jù)頻域卷積定理，由計算出。 計算過程： 1） 2）周期信號可以用傅里葉級數(shù)展開，因此 其中系數(shù) 所以 其傅里葉變換 3） 因此，采樣后信號頻譜產(chǎn)生周期延拓，周期為Ωs，同時幅度為原來的1/T倍。這是一個非常重要的性質(zhì)，應熟練掌握。 3 時域抽樣定理（重點）
一個限帶模擬信號，若其頻譜的最高頻率為，對它進行等間隔抽樣而得，抽樣周期為T，或抽樣頻率為；只有在抽樣頻率時，才可由準確恢復。
例：有一連續(xù)信號式中，（1）求出的周期。
（2）用采樣間隔對進行采樣，試寫出采樣信號的表達式。 （3）求出對應的時域離散信號(序列) ，并求出的周期。
解：
（1）周期為 （2） （3）x(n)的數(shù)字頻率ω=0.8π，故，因而周期N=5，所以x(n)=cos(0.8πn+π/2)
簡答題：（重點）
1． 是不是任意連續(xù)信號離散后，都可從離散化后的信號恢復出原來的信號？為什么？ 2． 一個連續(xù)時間信號經(jīng)過理想采樣以后，其頻譜會產(chǎn)生怎樣的變化？在什么條件下，頻譜不會產(chǎn)生失真？ 3． 說明時域采樣定理的要點？ 4． 離散信號頻譜函數(shù)的一般特點是什么？ 5． 畫出模擬信號數(shù)字處理框圖。并說明各部分的作用。
名詞解釋：（重點）
1. 時域采樣定理 2. 線性系統(tǒng)、時不變系統(tǒng)、穩(wěn)定系統(tǒng)、因果系統(tǒng)
第二章：本章涉及信號及系統(tǒng)的頻域分析方法，概念較多，但很基礎，學習時要注意。
2.1 序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)
1.定義
DTFT 是一個用來確定離散時間序列頻譜的重要數(shù)學工具。 物理意義：傅里葉變換是將對信號的時域分析轉(zhuǎn)換為對其在頻域的分析，便于研究問題。 若序列滿足絕對可和條件 則其
離散時間傅里葉變換（DiscreteTimeFourierTransform-DTFT：非周期序列的傅里葉變換）
定義為
------（記住!!）
反變換定義為
：
------
傅里葉變換對
例：設
，求其序列傅里葉變換。（重點）
解 當 時 (2-5)
的幅度和相位隨 變化曲線如圖2.1所示。 圖2.1
R
4(
n
)的幅度與相位曲線
例：試求如下序列的傅里葉變換：（重點）
（1） （2） （3） （4） 解： （1） （2） （3） ， （4） = 2.性質(zhì)
1）
周期性（重點）：
DTFT是關于ω的周期為2π的周期函數(shù)
。
2)線性（重點）
：設 ， ，那么 3）
時移特性（重點）
4）頻移特性 5）
時域卷積定理（重點）
6）頻域卷積定理 7）帕斯瓦爾定理 時域總能量等于頻域一周期內(nèi)總能量。 7) 幅度頻譜為ω的偶函數(shù)，相位頻譜為ω的奇函數(shù)。 8) X(ejω)的實部為ω的偶函數(shù)， X(ejω) 的虛部為ω的奇函數(shù)。
對稱關系的總結（重點）
：
如果x[n]為復數(shù)序列，其DTFT為 X(ejω),
(a)
x[n]實部的DTFT為X(ejω)的共軛對稱部分
----------- (b)
x[n]虛部的DTFT 為X(ejω)的反共軛對稱部分
----------- (c)
x[n]的共軛對稱部分的DTFT為 X(ejω)的實部
----------- (d)
x[n] 的反共軛對稱部分的DTFT 為X(ejω)的虛部
-----------
如果實序列x[n] 的 DTFT 為X(ejω),
(e)
x[n]的偶對稱部分的DTFT為X(ejω) 的實部
， ----------- (f)
x[n]的奇對稱部分的DTFT為 X(ejω) 的虛部
， -----------
例：設系統(tǒng)的單位取樣響應，輸入序列為，完成下面各題：（1）求出系統(tǒng)輸出序列；（2）分別求出、和的傅里葉變換。（重點）
解
：（1） （2） 2.2 時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關系：
式中 2.3 序列的Z變換
1 Z變換定義(重點)
Z變換為離散時間信號與LTI系統(tǒng)分析的重要數(shù)學工具。給定一離散時間序列x(n)，其
z變換定義
為：
------（記住!!）
其中，,。z變換存在情況下的Z變量取值范圍稱為
收斂域
(ROC)。
注意：Z變換+不同收斂域?qū)煌諗坑虻牟煌蛄?/p>
序列（Z變換+收斂域）(重點)
例：求以下序列的Z變換及收斂域：（重點）
（1）； （2）； （3）
解
：（1） （2） （3）
[說明]上題也可以改為求序列的傅立葉變換?？梢岳?。
2 Z變換和DTFT之間的關系(重點)
DTFT 為單位圓上的z變換。數(shù)學表達為： ------ 記住并理解!
3. 序列特性與X(z)的收斂域ROC的關系。(重點)
收斂區(qū)域要依據(jù)序列的性質(zhì)而定。同時，也只有Z變換的收斂區(qū)域確定之后，才能由Z變換唯一地確定序列。 一般來來說，序列的Z變換的收斂域在Z平面上的一環(huán)狀區(qū)域：
總結：a. ROC不包含任何極點。
b.有理
z
變換的收斂域ROC由其極點界定。
c. 對于有限長序列x[n],其
z
變換的收斂域ROC 為整個
z
-平面，可能在
z
= 0 或
z
= ∞除外。只有序列為時，收斂域是整個Z平面。
d. 對于右邊序列x[n],其 z變換的收斂域ROC由其離原點最遠的極點確定，其形式為。
e. 對于左邊序列x[n], 其
z
變換的收斂域ROC由其離原點最近的極點確定，其形式為。
f. 對于雙邊序列x[n], 其
z
變換的收斂域ROC環(huán)狀收斂域，，其形式為公共收斂域。
4. Z反變換(重點)
常用序列的Z變換(重點--記住!!)
： 逆變換 x，C：收斂域內(nèi)繞原點逆時針的一條閉合曲線 留數(shù)定理： 留數(shù)輔助定理：
利用部分分式展開：，然后利用定義域及常用序列的Z變換求解。(重點)
基本要求：用部分分式展開法求z反變換。(重點)
例：假設 ，收斂域ROC 為,則 的z反變換為( )。（重點）
說明：
本題要求掌握序列的時域特性域z變換收斂域之間的對應關系。具體說，有限長序列的z變換的ROC是怎樣的，右邊序列的z變換的ROC是怎樣的，因果序列的z變換的ROC是怎樣的，左邊序列的z變換的ROC是怎樣的，反因果序列的z變換的ROC是怎樣的。 典型序列的z變換表達式是否記住了？這兩個典型z變換對，對求z變換或逆z變換非常重要。
例：已知
，試求與
對應的所有可能的序列
。（重點）
解：同一個Z變換函數(shù)，收斂域不同，對應的序列也不同。本題沒有給定收斂域，所以必須先確定收斂域。 有兩個極點：，，因為收斂域總是以極點為邊界，所以收斂域有以下三種情況：，，，三種收斂域?qū)N不同的原序列，分別討論如下： （1） 對應左邊序列 ∴ （2） 對應雙邊序列 ∴ （3） 對應右邊序列 ∴
例：設
，用部分分式展開法求逆Z變換。（重點）
解：先去掉z的負冪次，以便于求解，將的分子分母同乘以，得： 將等式兩端同時除以z，得： 因而得： 由收斂域知，為右邊序列，得： 主要應用于單階極點的序列。 5 Z變換的性質(zhì)
1
線性性質(zhì)(重點)
2
序列的移位性質(zhì)(重點)
3
序列乘以指數(shù)序列的性質(zhì)(重點)
4序列乘以n的ZT 5復共軛序列的ZT 6初值定理 7終值定理 8
時域卷積定理(重點)
設 則 9復卷積定理 10帕斯維爾定理 ， 那么 2.4 離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應
1 系統(tǒng)函數(shù)定義（重點）
一個線性時不變離散時間系統(tǒng)在時域中可以用它的單位取樣響應來表征，即： 對等式兩邊取Z變換并根據(jù)時域卷積定理，有： 則： 一般稱為
系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)
（系統(tǒng)零狀態(tài)響應的Z變換與輸入的Z變換之比），它表征了系統(tǒng)的復頻域特性。 2 系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關系
(
給定差分方程，能計算其系統(tǒng)函數(shù)，或給定系統(tǒng)函數(shù)，能計算得到差分方程。
)
（重點）
3 頻率響應（重點）
頻率響應是一個重要的概念，根據(jù)頻率響應，可理解濾波。 頻率響應定義為系統(tǒng)單位沖激響應的DTFT：
（重點）
其中，
|H(ejω)| 稱為幅頻響應， 稱為相頻響應。
系統(tǒng)的頻率響應是以2π為周期的ω的連續(xù)函數(shù)，這一點和連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應是不同的，學習時應加以注意。若h(n)為實數(shù)，則系統(tǒng)的幅度響應在區(qū)間內(nèi)是偶對稱的，而相位響應是奇對稱的。
注意
：
僅當穩(wěn)定系統(tǒng)才有頻率響應。頻率響應H(ejω)可根據(jù)DTFT 與z變換之間的關系簡單得到：
穩(wěn)態(tài)響應的求解 結論： 對于LTI 系統(tǒng)，如果輸入為正弦序列x(n)=cos(ω0t+φ0), 則輸出響應y(n)必為相同形式的正弦序列，但需在 ω=ω0的幅頻響應|H(ejω)|進行加權，并通過相頻響應 在 ω=ω0的值進行移位，即：y[n]= |H(ejω0)|cos(ω0t+φ0+ ) 例：假設實序列x[n]的DTFT 記為, 則其幅值 是關于ω的（
偶函數(shù)
）。
說明：
還記得反復強調(diào)的一句話，實序列的DTFT的幅度、實部是關于頻率ω偶函數(shù)，而相位和虛部則是關于頻率ω奇函數(shù)。 例：對于一LTI 離散時間系統(tǒng)其頻率響應,如果系統(tǒng)輸x(n) =, 響應的穩(wěn)態(tài)輸出響應y(n) = ( )。
說明：
將系統(tǒng)的頻率響應寫成幅度相位表達式：，則輸出信號為：。這里由于給出了的具體表達式，所以需要分別計算出和之值。 4 用系統(tǒng)函數(shù)極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性（重點）
系統(tǒng)函數(shù)：
（
傳輸函數(shù)H(z) 為系統(tǒng)的單位沖激響應h（n）的Z變換。
）
1)穩(wěn)定系統(tǒng)：
有界的輸入產(chǎn)生的輸出也有界的系統(tǒng)，即：若，則 線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件： 或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓 |z|=1（
牢記此結論!）
2)因果系統(tǒng)：
時刻的輸出只由時刻之前的輸入決定 線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件： 或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域在某圓外部：即：|z|>Rx（
牢記此結論!）
3）穩(wěn)定因果系統(tǒng)
：同時滿足上述兩個條件的系統(tǒng)。 線性移不變系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：， 或：H(z)的極點在單位圓內(nèi)H(z)的收斂域滿足：（
牢記此結論!）
例：.一因果LTI 離散時間系統(tǒng)的傳輸函數(shù), 則系統(tǒng)的單位沖激響應為(
0.5nu（n）
)。
說明：
根據(jù)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的單位沖激響應，其實就是將傳遞函數(shù)進行逆z變換，但要注意系統(tǒng)的因果性如何。 例：因果IIR 離散時間LTI 系統(tǒng)，其傳輸函數(shù)，則系統(tǒng)(
穩(wěn)定
)。 例：一FIR離散時間 LTI 系統(tǒng)總是(
穩(wěn)定
)。
說明：
系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何判斷？按照教材中的說法，就是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的收斂域如果包括“單位圓”，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果你熟悉了序列的z變換的ROC的性質(zhì)，則此題不難回答。對于因果系統(tǒng)來說，其單位沖激響應為因果序列，故其z變換的ROC一定是某圓外部的整個區(qū)域。而這個圓就位于離原點最遠的極點上，所以，
對于因果系統(tǒng)，如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點都位于單位圓以內(nèi)的話，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。
對于FIR系統(tǒng)，其單位沖激響應是一個
有限長序列
，其z變換的ROC為除了無窮遠和原點之外的整個z平面，自然包括單位圓，所以
FIR系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的。
5 系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)函數(shù)零點及極點確定
（式中，
zk
是極點，
zi
是零點；在極點處，序列x(n)的Z變換是不收斂的，因此收斂區(qū)域內(nèi)不應包括極點。） 系統(tǒng)函數(shù)H（z）的極點位置主要影響頻響的峰值位置及尖銳程度，零點位置主要影響頻響的谷點位置及形狀。
例：設一階系統(tǒng)的差分方程為，，用幾何法分析其幅頻特性。（重點）
解：對差分方程兩邊取Z變換，得： 系統(tǒng)函數(shù)為： ，極點為，零點為，如下圖左所示： 當 時，由于極點矢量長度最短，幅頻特性出現(xiàn)峰值，隨著 的增加，幅度逐漸減小，當 時，由于極點矢量長度最長，幅頻特性出現(xiàn)谷值，隨著 的增加，幅度逐漸增大，直到 時，幅頻特性出現(xiàn)峰值，如上圖右所示。
簡答題：（重點）
1. 說明有限長序列、左邊序列、右邊序列、雙邊序列的概念和收斂域各是什么？ 2. 說明系統(tǒng)頻率響應的概念？系統(tǒng)的頻率響應和系統(tǒng)函數(shù)是什么關系？（單位圓上（ ）的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應） 3. 說明FIR系統(tǒng)為什么始終是穩(wěn)定的？ 4. 怎樣在z域表示離散時間LTI 系統(tǒng)?
答案：傳輸函數(shù)H(z)表示離散時間LTI 系統(tǒng)。
第三章：DFT是為適應計算機分析傅里葉變換規(guī)定的一種專門運算，本章是數(shù)字信號處理課程的重點章節(jié)。
前言
信號處理中會遇到幾種信號形式：（1）連續(xù)周期信號（2）連續(xù)非周期信號（3）離散非周期信號（4）離散周期信號(重點)
各種信號在時域和頻域之間總的來說都是傅里葉變換，但具體形式及應用是不同的。 1．
連續(xù)周期信號 —— 傅里葉級數(shù)（FS）
連續(xù)周期信號 可展開成傅里葉級數(shù)： （*）
式中， ， 為 的周期。 傅里葉級數(shù)的系數(shù)為： 幅度頻譜是指各次諧波的振幅隨頻率的變化關系，即： 2．
連續(xù)非周期信號 —— 傅里葉變換（FT）
連續(xù)非周期信號 的傅里葉變換為： 因為非周期可視為 ，則離散頻譜間距 ，則 變成 的連續(xù)函數(shù)。 3．
離散非周期信號 —— 序列的傅里葉變換（DTFT）
如果把序列看成連續(xù)時間信號的采樣，采樣間隔為 ，則數(shù)字頻率 和模擬角頻率 的關系為 ，且 ，代入上式，得： 4．
離散周期信號 —— 離散傅里葉級數(shù)（DFS）
設 是周期為 的周期序列，即： 為任意整數(shù)
表3.1 四種傅里葉變換形式的歸納
一般規(guī)律：一個域的離散對應另一個域的周期延拓， 一個域的連續(xù)必定對應另一個域的非周期。(重點)
3.1 離散傅里葉級數(shù)
1.周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）
說明：
離散傅里葉級數(shù)系數(shù)，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。
連續(xù)時間周期信號可以用傅里葉級數(shù)表示，離散周期序列也可以表示成傅里葉級數(shù)形式。 周期為N的復指數(shù)序列的基頻序列為 k次諧波序列為 由于，即，因而，
離散傅里葉級數(shù)的所有諧波成分中只有N個是獨立的。
因此在展開成離散傅里葉級數(shù)時，我們
只能取N個獨立的諧波分量
，通常取k=0到(N-1)，即 （*） 式中，
1/N
是習慣上采用的常數(shù)，是
k次諧波的系數(shù)
。利用 將（*）式兩端同乘以，并對一個周期求和 即 由于 所以也是一個以
N
為周期的周期序列。因此，
時域離散周期序列的離散傅里葉級數(shù)在頻域上仍然是一個周期序列。稱為離散傅里葉級數(shù)系數(shù)，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。
令，則 其中，
符號DFS[.]表示離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFS[.]表示離散傅里葉級數(shù)反變換。
例：設，將以為周期進行周期延拓，得到周期序列，求的DFS。 解： 其幅度特性為： 2.周期序列的傅里葉變換
思路
：由 利用和DTFT的頻移特性，可得
傅里葉變換時域、頻域?qū)P系：
根據(jù)序列的傅里葉變換和離散傅里葉級數(shù)頻域特性，再結合連續(xù)時間信號的傅里葉變換頻域特性，我們可以得出傅里葉變換時、頻域的一般對應關系：
連續(xù)→非周期，離散→周期
。
這種對應關系很重要，要求熟記(重點)。
3.2 有限長序列的離散傅立葉變換(DFT)
說明：(Discrete Fourier Transform，DFT離散傅里葉變換)
1 定義(重點)
，0≤ ≤
------（記住!!）
，0≤n≤
------記住!
其中，
應當注意，雖然和都是長度為得有限長序列
，但他們分別是由
周期序列
和截取其主周期得到的，周期為的
周期序列
可以看成長度為的
有限長序列周期延拓
的結果。
本質(zhì)上是做DFS或IDFS
，所以不能忘記它們的隱含周期性。尤其是涉及其位移特性時更要注意。
(重點)
DFT的隱含周期性：(重點)
例：設
，求
的4點DFT。(重點)
解： 的4點離散傅里葉變換為： 以 為周期將 延拓成周期序列，得 ： 其離散傅里葉級數(shù)為：
例：設
，求
的8點DFT。(重點)
解： 的8點離散傅里葉變換為： 以 為周期將 延拓成周期序列，得 ： 其離散傅里葉級數(shù)為： 由例可見，離散傅里葉變換的結果與變換區(qū)間長度 的取值有關。 2 離散傅立葉變換與DTFT、Z變換的關系(重點)
DFT的物理意義：X（k）為x(n)的傅里葉變換在區(qū)間上的等間隔采樣。為在Z平面單位圓上的點等間隔采樣。
3 時域分析
記住結論：時域抽樣對應頻域的周期拓展，頻率抽樣對應時域的以周期N的周期拓展。 這可以表述為如下公式： 3.3 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)
1 線性性質(zhì)
若
則 2 循環(huán)移位性質(zhì)
設是長度為的有限長序列，則的點循環(huán)移位定義為（）： 循環(huán)移位的實現(xiàn)步驟： 3 循環(huán)卷積定理（重點）
1）設序列
h
(
n
)和
x
(
n
)的長度分別為
N
和
M
。
h
(
n
)與
x
(
n
)的
L
點循環(huán)卷積定義為
式中，
L
稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度，
L
≥max［
N
，
M
］。
2) 循環(huán)卷積矩陣
特點： （1）第1行是序列{
x
(0),
x
(1),…,
x
(
L
－1)}的循環(huán)倒相序列。注意，如果
x
(
n
)的長度
M
<
L
，則需要在
x
(
n
)末尾補
L－M
個零后，再形成第一行的循環(huán)倒相序列。 （2）第1行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移1位形成的。 （3）矩陣的各主對角線上的序列值均相等。
循環(huán)卷積和線性卷積的區(qū)別
線性卷積：翻折—>乘加—>移位 ：y（n）=x（n）*h（n）=∑h（k）x（n-k）
循環(huán)卷積：補零—>周期延拓—>翻折—>循環(huán)移位—>對應值相加
例：計算下面給出的兩個長度為4的序列
h
(
n
)與
x
(
n
)的4點和8點循環(huán)卷積。（重點）
解：按照
循環(huán)卷積矩陣
寫出
h
(
n
)與
x
(
n
)的4點循環(huán)卷積矩陣形式為
h
(
n
)與
x
(
n
)的8點循環(huán)卷積矩陣形式為 【補充】①計算
h
(
n
)與
x
(
n
)的線性卷積？②哪一種情況下計算的循環(huán)卷積結果就等于線性卷積？ 【說明】
當循環(huán)卷積區(qū)間長度
L
大于等于
y
(
n
) =
h
(
n
)*
x
(
n
)的長度時，循環(huán)卷積結果就等于線性卷積。假設
h
(
n
)和
x
(
n
)都是有限長序列，長度分別是
N
和
M
。循環(huán)卷積等于線性卷積的條件是
L
≥
N
＋
M
－1。（重點）
3） 時域循環(huán)卷積定理
設h(n)和x(n)的長度分別為N和M，其L點循環(huán)卷積為 L 且 則由DFT的循環(huán)卷積定理有 4 復共軛序列的DFT
性質(zhì)：設
是x(n)的復共軛序列，長度為N，，
則
例：給定一16-點實序列x（n）, 其 16-點 DFT 記為X(k), 已知X(13)= 2 + j3,則X*(3) = (
2 + j3
)。 說明：DFT的性質(zhì)。實序列的DFT的共軛對稱性：X(k) ＝X*(N-k)，或X(N-k) ＝X*(k)。 5 DFT的共軛對稱性（重點）
可總結出DFT的共軛對稱性質(zhì)：如果序列
x
(
n
)的DFT為
X
(
k
)，則
x
(
n
)的實部和虛部（包括j）的DFT分別為
X
(
k
)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量；而
x
(
n
)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的DFT分別為
X
(
k
)的實部和虛部乘以j。
3.4 頻域采樣定理
離散傅里葉變換相當于信號傅里葉變換的等間隔采樣，也就是說實現(xiàn)了頻域的采樣，便于計算機計算。那么是否任一序列都能用頻域采樣的方法去逼近呢？這是一個很吸引人的問題。 我們考慮一個任意的絕對可和的序列
x
(n)，它的z變換為 如果對
X
(z)單位圓上進行等距離采樣 現(xiàn)在要問，這樣采樣以后，信息有沒有損失？或者說，采樣后所獲得的有限長序列
x
N(n)能不能代表原序列
x
(n)。 為了弄清這個問題，我們從周期序列開始 由于 所以 也即是原非周期序列
x
(n)的周期延拓序列，其時域周期為頻域采樣點數(shù)
N
。在第一章我們看到，時域的采樣造成頻域的周期延拓，這里又對稱的看到，頻域采樣同樣造成時域的周期延拓。 因此，如果序列
x
(n)不是有限長的，則時域周期延拓時，必然造成混疊現(xiàn)象，因而一定會產(chǎn)生誤差。
對于長度為
M
的有限長序列，只有當頻域采樣點數(shù)
N
大于或等于序列長度
M
時，才有
即可由頻域采樣值
X
(k)恢復出原序列
x
(n)，否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象，這就是所謂的頻域采樣定理。（重點）
內(nèi)插公式： 3.5 DFT的應用舉例
1.用DFT計算線性卷積(重點)
用循環(huán)（周期）卷積計算有限長序列的線性卷積(重點)
對周期要求：（N1、N2分別為兩個序列的長度）(記住!!)
2.用DFT進行譜分析的誤差問題(重點)
（1）混疊現(xiàn)象
利用DFT逼近連續(xù)時間信號的傅里葉變換，
為避免混疊失真，按照抽樣定理的要求，采樣頻率至少是信號最高頻率的兩倍。
解決混疊問題的唯一方法是
保證采樣頻率足夠高
。
（2）截斷效應
任何帶限信號都是非時限的，任何時限信號都是非帶限的。
實際問題中遇到的
離散時間序列可能是
非時限的、無限長序列
，在對該序列利用DFT進行處理時，
由于作DFT的點數(shù)總是有限的，因此就有一個必須將該序列截斷的問題。
序列截斷的過程相當于給該序列乘上一個矩形窗口函數(shù)RN(n)。如果原來序列的頻譜為，矩形窗函數(shù)的頻譜為，則截斷后有限長序列的頻譜為
截斷后序列的頻譜與原序列頻譜必然有差別，這種差別對譜分析的影響主要表現(xiàn)在如下兩個方面
： ①
頻譜泄露：
由于矩形窗函數(shù)頻譜的引入，使卷積后的頻譜被展寬了，即的頻譜“泄露”到其它頻率處，稱為頻譜泄露。 在進行DFT時，由于取無限個數(shù)據(jù)是不可能的，所以序列的時域截斷是必然的，泄露是難以避免的。為了盡量減少泄露的影響，截斷時要根據(jù)具體的情況，選擇適當形狀的窗函數(shù)，如漢寧窗或漢明窗等。 ②
譜間干擾
。 在主譜線兩邊形成很多旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾(簡稱
譜間干擾
)，特別是強信號譜的旁瓣可能湮沒弱信號的主譜線，或者把強信號譜的旁瓣誤認為是另一頻率的信號的譜線，從而造成假信號，這樣就會使譜分析產(chǎn)生較大偏差。
（3）柵欄效應
由于DFT是有限長序列的頻譜等間隔采樣所得到的樣本值，這就相當于透過一個柵欄去觀察原來信號的頻譜，因此必然有一些地方被柵欄所遮擋，這些被遮擋的部分就是未被采樣到的部分，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應。由于柵欄效應總是存在的，因而可能會使信號頻率中某些較大的頻率分量由于被“遮擋”而無法得到反映。此時，通常在有限長序列的尾部增補若干個零值，借以改變原序列的長度。這樣對加長的序列作DFT時，由于點數(shù)增加就相當于調(diào)整了原來柵欄的間隙，可以使原來得不到反映的那些較大的頻率分量落在采樣點上而得到反映。
產(chǎn)生原因說明：由傅里葉變換理論知道，若信號持續(xù)時間有限長，則其頻譜無限寬；若信號的頻譜有限寬，則其持續(xù)時間必然為無限長。(重點)
如果用DFT分析連續(xù)信號的頻譜，在對連續(xù)信號采樣時，無法滿足采樣定理，那么就會出現(xiàn)
頻譜混疊
現(xiàn)象。解決混疊問題的唯一方法是保證采樣頻率足夠高。當連續(xù)信號無限長或很長時，在對連續(xù)信號采樣時，采樣點數(shù)太多以致無法存儲和計算，需要將信號
截斷
，這樣將導致
頻譜的泄漏現(xiàn)象
。為了盡量減少泄露的影響，截斷時要根據(jù)具體的情況，選擇適當形狀的窗函數(shù)，如漢寧窗或漢明窗等。用DFT計算連續(xù)信號的頻譜只能得到采樣點上的頻譜，而不能看到整個頻譜，這種現(xiàn)象稱為
柵欄效應
?？梢酝ㄟ^增加點數(shù)，因為點數(shù)增加就相當于調(diào)整了原來柵欄的間隙，可以使原來得不到反映的那些較大的頻率分量落在采樣點上而得到反映。 3.用DFT進行譜分析的參數(shù)選擇問題(重點)
對模擬信號頻譜的采樣間隔，稱之為頻率分辨率。 （1）在已知信號的最高頻率
f
c(即譜分析范圍)時，為了避免頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣頻率
F
s滿足：
F
s>2fc。 （2）采樣頻率
F
s，采樣點數(shù)N，譜分辨率
F
=
F
s/
N
，如果保持采樣點數(shù)N不變，要提高頻譜分辨率(減小
F
)，就必須降低采樣頻率，采樣頻率的降低會引起譜分析范圍變窄和頻譜混疊失真。如維持
F
s不變，為提高頻率分辨率可以增加采樣點數(shù)
N。
因為
NT=Tp
，
T=F
s-1，只有增加對信號的觀察時間
Tp
，才能增加N。 （3）采樣點數(shù)
N
>2fc/
F
（4）最小記錄時間
Tp
≥1/
F
例：用DFT對實信號進行譜分析，要求頻率分辨率
，信號最高頻率為
，試確定以下參數(shù)：（1）最小記錄時間；（2）最大取樣間隔；（3）最少采樣點數(shù)；（4）若要求頻率分辨率提高一倍，求最少采樣點數(shù)。（重點）
解 （1）
（2）
（3）
（4）
簡答題：（重點）
1. 一個序列的DFT與序列的傅里葉變換之間的關系是什么？ 2. 序列的DTFT和序列的z變換間的關系是什么？序列的DFT和序列的Z變換間的關系是什么？ 3. 有限長序列 的長度為M，對其進行頻域采樣，不失真的條件是什么？兩個有限長序列 ， ，對它們進行線性卷積，結果用 表示， 的長度是多少？如果進行循環(huán)卷積，那么什么時候線性卷積和循環(huán)卷積的結果相等？ 4. 用DFT進行譜分析帶來哪些誤差問題？采取什么措施可以減少這些誤差？ 5. 時域采樣定理的要點是什么？頻域采樣定理的要點是什么？
第四章：快速傅里葉變換并不是一種新的變換，它是離散傅里葉變換的一種快速算法。
4.1 直接計算DFT的問題及改進的途徑
直接計算DFT，需要
次復數(shù)乘法，
次復數(shù)加法。
直接計算離散傅里葉變換，由于計算量近似正比于
N
2，顯然對于很大的
N
值，直接計算離散傅里葉變換要求的算術運算量非常大。(重點)
我們可以利用系數(shù)
W
Nnk的特性來改善離散傅里葉變換的計算效率。 （1） 的對稱性 （2） 的周期性
利用
的對稱性和周期性，將大點數(shù)的DFT分解成若干個小點數(shù)的DFT，F(xiàn)FT正是基于這個基本思路發(fā)展起來的。(重點)
說明：快速傅里葉變換FFT(Fast Fourier Transform)
分類：按時間抽?。―IT）算法和按頻率抽取（DIF）算法
。 4.2 基2FFT的算法原理和FFT運算特點
1）數(shù)據(jù)要求：
2）計算效率（乘法運算次數(shù)：，加法計算次數(shù)：NM ）（復數(shù)運算）
（DFT運算：乘法運算次數(shù)：，加法計算次數(shù)：）（復數(shù)運算）
對于算法原理，要求能夠看懂分解流圖。 1 時域抽取法如下：（Decimation In Time, DIT–FFT）
設序列
x
(
n
)長度為
N
，且滿足
N
=2
M
，
M
為正整數(shù)。按
n
的奇偶把
x
(
n
)分解為兩個
N
/2點的子序列：
則x(n)的DFT為
所以
將
X
(
k
)又可以寫為
上式將N點DFT分解為兩個N/2點的DFT運算，運算過程如下圖示
利用蝶形運算求解。
運算量：
由按時間抽取的FFT流圖可見： 每級都由個蝶形單元構成，因此每級都需要次復數(shù)乘法和次復數(shù)加法。這樣，級運算共需要：
復數(shù)乘法
：
復數(shù)加法
： 而
直接計算DFT需要
：
復數(shù)乘法：
復數(shù)加法：
以乘法為例，對FFT算法與直接DFT算法的運算量進行比較： 8 64 12 5.4 128 16384 448 36.6 1024 1048576 5120 204.8 可以看出：當越大時，F(xiàn)FT算法的優(yōu)越性越突出。
DIT-FFT算法與DFT運算量的比較
直接計算DFT與FFT算法的計算量之比為
N
越大，F(xiàn)FT的優(yōu)點越為明顯
說明：掌握給定點數(shù)的基2 DIT-FFT蝶形圖
8點DFT的完整FFT流圖：
2頻域抽樣法（Decimation In Frequency, DIF–FFT）
將長度為
N
=2
M
的序列
x
(
n
)前后對半分開, 其
N
點DFT可表示為 按
k
的奇偶可將
X
(
k
)分為兩部分
k
取偶數(shù)時
k
取奇數(shù)時 令 得到 注：
DIT—FFT與DIF—FFT特點比較(重點)
相同之處
： （1）DIF與DIT兩種算法均為原位運算 （2）DIF與DIT運算量相同 所以，DIF與DIT是兩種等價的FFT算法。
不同之處
： （1）DIF與DIT兩種算法結構倒過來 DIF的輸入序列為自然順序，輸出為倒序排列，與DIT的正好相反。 （2）蝶形結構不同 DIF的復數(shù)乘法只出現(xiàn)在減法之后，DIT則是先作復數(shù)乘法后作加減法。
簡答題：(重點)
1. 比較DIT—FFT與DIF—FFT特點。 2. 為什么要進行FFT變換？FFT變換的基本思想是什么？說明基-2FFT分成哪兩種算法。說出它們的英文名稱和中文含義。
(
DFT的計算在數(shù)字信號處理中非常有用，但是由于DFT的計算量較大，即使采用計算機也很難對問題進行實時處理，通過引入其快速算法FFT，使DFT的計算大大簡化，運算時間一般可縮短一、二個數(shù)量級?；舅悸罚篋FT的運算量與 成正比；如果一個大點數(shù) 的DFT能分解為若干小點數(shù)DFT的組合，則顯然可以達到減小運算量的效果。根據(jù)把長序列分解為短序列的分解形式不同，基-2FFT算法基本上可以分為兩大類：按時間抽取法—decimation in time, DIT；按頻率抽取法——decimation in frequency, DIF)
)
第五章：本章主要掌握IIR和FIR兩種濾波器的基本網(wǎng)絡結構。
5.1 基本單元結構
一個數(shù)字網(wǎng)絡可以用
差分方程
表示，也可以用
單位脈沖響應
來表示，也可以用
系統(tǒng)函數(shù)
來表示。但是對于研究這個系統(tǒng)的實現(xiàn)方法，即它的運算結構來說，用方框圖或信號流圖最直接。對于
延時
、
乘以系數(shù)
以及
相加
這
三種基本運算
來說，方框圖和信號流圖表示法如下圖所示。 以二階數(shù)字濾波器
y
(n)=b1
y
(n-1)+b2
y
(n-2)+a
x
(n)為例，它的方框圖和信號流圖如下圖所示。 一般來說，用方框圖表示數(shù)字濾波器，結構明顯、直觀；而用信號流圖來表示，則簡單、方便。 利用圖論中的轉(zhuǎn)置定理，可以把一個信號流圖轉(zhuǎn)化為另一個等價的信號流圖。
轉(zhuǎn)置定理如果將流圖中所有支路方向都顛倒或反向，并交換輸入x(n)和輸出y(n)，則其特性保持不變，新流圖是原流圖的轉(zhuǎn)置形式。
例如，上圖中流圖的轉(zhuǎn)置形式如下圖(a)所示，但通常的習慣是將輸入
x
(n)畫在流圖的左邊，而輸出畫在流圖的右邊，這樣得到圖(b)所示的轉(zhuǎn)置結構。 5.2 無限長脈沖響應基本網(wǎng)絡結構
IIR（Infinite Impulse Response無限長脈沖響應）濾波器具有以下特點（重點）
：單位脈沖響應h(n)無限長；系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面（0<|z|<∞）上有極點存在；結構上存在從輸出到輸入的反饋，即
結構是遞歸型的
。 1. 直接型
對應的系統(tǒng)函數(shù)為： 直接型包括直接Ⅰ型和直接Ⅱ型，書本講授的為直接Ⅱ型。直接Ⅱ型的推導，利用到線性移不變系統(tǒng)，交換級聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)不變。 對于直接Ⅱ型，要求能夠直接由差分方程或系統(tǒng)函數(shù)繪出相應的信號流圖，反之亦然。
特點：便于理解，累積誤差大，運算速度相對慢。（重點）
2．級聯(lián)型
對應的系統(tǒng)函數(shù)為： 把濾波器用若干二階子網(wǎng)絡級聯(lián)起來構成，每個二階子網(wǎng)絡采用直接Ⅱ型結構來實現(xiàn)。
特點：級聯(lián)型結構中每一個一階網(wǎng)絡決定一個零點、一個極點，每一個二階網(wǎng)絡決定一對零點、一對極點。相對直接型結構，其優(yōu)點是調(diào)整方便，此外，運算累積誤差較直接型小。（重點）
3．并聯(lián)型
對應的系統(tǒng)函數(shù)為：
特點：每一個一階網(wǎng)絡決定一個實數(shù)極點，每一個二階網(wǎng)絡決定一對共軛極點，調(diào)整極點位置方便，但調(diào)整零點位置不如級聯(lián)型方便。運算誤差不積累。運算速度最高。（重點）
例：已知IIR DF的系統(tǒng)函數(shù)為畫出直接I型、直接II型的結構流圖。 解：先將化為的有理式 直接I型： 直接II型： 例：已知IIR DF的系統(tǒng)函數(shù)為畫出級聯(lián)型和并聯(lián)型的結構流圖。 解：
級聯(lián)型
并聯(lián)型
： 5.3 有限長脈沖響應基本網(wǎng)絡結構
FIR（Finite Impulse Response有限長脈沖響應）濾波器具有以下特點（重點）
：單位脈沖響應h(n)有限長；系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|>0處收斂，對因果系統(tǒng)而言，極點全部位于z=0處；結構上主要是
非遞歸結構
，沒有輸出到輸入的反饋。 FIR濾波器有以下幾種基本結構：直接型；級聯(lián)型。 1．直接型
特點：直觀明了，便于理解，但不便于調(diào)整參數(shù)。（重點）
2．級聯(lián)型
將H（z）因式分解得到
特點：每一個一階因子控制一個零點，每一個二階因子控制一對共軛極點，調(diào)整零點位置比直接型方便，但H（z）中的系數(shù)比直接型多（近似3/2N），因而需要的乘法器多。（重點）
例：已知FIR DF的系統(tǒng)函數(shù)為畫出直接型和級聯(lián)型的結構流圖。（重點）
解：直接型： 級聯(lián)型：
簡答題：（重點）
1. IIR和FIR濾波器的基本結構形式有哪些？各自有什么特點? 2. IIR和FIR濾波器的基本特點是什么？
名詞解釋：（重點）
1. IIR濾波器 2. FIR濾波器
第六章：本章講授了設計IIR濾波器常用的兩種設計方法——脈沖響應不變法和雙線性變換法。
6.1 引言
1.數(shù)字濾波器的分類
（1）IIR和FIR數(shù)字濾波器（重點）
這是根據(jù)濾波器的單位脈沖響應h(n)的長度是否有限來劃分的。若h(n)是一個長度為M+1的有限長序列，通常將此時的系統(tǒng)稱為
有限長單位脈沖響應（FIR，F(xiàn)initeImpulseResponse）系統(tǒng)。
如果系統(tǒng)函數(shù)的分母中除a0外，還有其它的ak不為零，則相應的h(n)將是無限長序列，稱這種系統(tǒng)為
無限長單位脈沖響應（IIR，InfiniteImpulseResponse）系統(tǒng)。
（2）低通、高通、帶通、帶阻濾波器
注意：數(shù)字濾波器（DF）與模擬濾波器（AF）的區(qū)別
數(shù)字濾波器的頻率響應都是以2π為周期的，濾波器的低通頻帶處于2π的整數(shù)倍處，而高頻頻帶處于π的奇數(shù)倍附近。 2.設計指標描述
濾波器的指標通常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻率響應一般為復函數(shù)，通常表示為 其中，稱為
幅頻響應
，稱為
相頻響應
。對IIR數(shù)字濾波器，通常用幅頻響應來描述設計指標，而對于線性相位特性的濾波器，一般用FIR濾波器設計實現(xiàn)。 IIR低通濾波器指標描述： ——通帶截止頻率，——阻帶截止頻率，——通帶最大衰減，——阻帶最小衰減，——3dB通帶截止頻率 3.設計方法（重點）
三步：（1）按照實際需要確定濾波器的性能要求。（2）用一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個性能要求。（3）用一個有限精度的算法去實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。
IIR濾波器常借助模擬濾波器理論來設計數(shù)字濾波器
，
（重點）設計步驟為
：先根據(jù)所給的濾波器性能指標設計出相應的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)( butterworth濾波器設計法等，有封閉公式利用)，然后由Ha(s)經(jīng)變換（
脈沖響應不變法
或者
雙線性變換法
等）得到所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。在變換中，一般要求所得到的數(shù)字濾波器頻率響應應保留原模擬濾波器頻率響應的主要特性。
為此要求：（重點）
（1）因果穩(wěn)定的模擬濾波器必須變成因果穩(wěn)定的數(shù)字濾波器；
（2）數(shù)字濾波器的頻響應模仿模擬濾波器的頻響。
6.2 脈沖響應不變法、雙線性不變法設計IIR數(shù)字低通濾波器
設計數(shù)字濾波器可以按照技術要求先設計一個模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù) ，再按一定的轉(zhuǎn)換關系將 轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 。其設計流程如圖所示6.1所示。 利用模擬濾波器的設計結果來求相應的數(shù)字濾波器，可以用映射的方法來實現(xiàn)，把
s
平面映射到
z
平面。這種由復變量
s
到復變量
z
之間的映射關系，必須滿足三點要求： 圖6.1 從模擬濾波器設計數(shù)字濾波器流程圖
因果穩(wěn)定的
映射成因果穩(wěn)定的
，即
s
平面的左半平面必須映射到
z
平面單位圓的內(nèi)部。（重點）
的頻率響應能模仿 的頻率響應，即
s
平面的虛軸必須映射到
z
平面的單位圓上。變換前后的濾波器在時域或頻域的主要特征(頻率響應或單位沖激響應等)應盡可能相同或接近。將傳輸函數(shù) 從
s
平面轉(zhuǎn)換到
z
平面的方法有多種，主要有沖激不變法和雙線性變換法。 1 脈沖響應不變法
設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ，相應的單位沖擊響應是 ， 。LT[.]代表拉氏變換，對 進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到 ，將h(n)= 作為數(shù)字濾波器的單位脈沖響應，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 便是 的 變換。因此脈沖響應不變法是一種時域逼近方法，它使 在采樣點上等于 。但是，模擬濾波器的設計結果是 ，所以下面基于脈沖響應不變法的思想，導出直接從 到 的轉(zhuǎn)換公式。 設模擬濾波器只有單階極點，且分母多項式的階次高于多項式的階次，將用部分分式表示： 式中為的單階極點。將進行逆拉氏變換，得到： 式中，是單位階躍函數(shù)。對進行等間隔采樣，采樣間隔為，得到： 對上式進行變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即 由于沖激響應不變法（又稱標準z變換法）從s平面→z平面是通過的多值映射，并不是一種簡單的一一對應的代數(shù)映射關系。脈沖響應不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率響應，不是簡單的重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應，而是模擬濾波器頻率頻率響應的周期延拓。所以希望所設計的濾波器是帶限的，否則頻率混疊現(xiàn)象會使設計出的數(shù)字濾波器在附近的頻率特性嚴重的偏離模擬濾波器在處的頻率特性，嚴重時使數(shù)字濾波器的指標得不到滿足。
特點（重點）
優(yōu)點：
1.頻率變換關系是線性的，即，如果不存在頻譜混疊現(xiàn)象，用這種方法設計的數(shù)字濾波器會很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響特性。2.數(shù)字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖擊響應波形，時域特性逼近好
。缺點：
會產(chǎn)生不同程度的頻譜混疊失真，其適合用于帶限濾波器（低通、帶通濾波器）的設計，不適合用于高通、帶阻濾波器的設計。 2 雙線性變換法
(這種映射法能保證使
s
平面與
z
平面建立單值對應，從而消除混疊現(xiàn)象) 將雙線性變換帶入，得
s
平面的 與
z
平面的 成非線性正切關系。正是因為如此，雙線性變換法消除了頻率混疊現(xiàn)象。但與此同時也直接影響數(shù)字濾波器頻響逼真的模仿模擬濾波器的頻響。這種頻率之間的非線性變換關系帶來了以下兩個問題： (1) 一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器； (2) 如果模擬濾波器的頻響具有片斷常數(shù)特性，則轉(zhuǎn)換到
z
平面上，數(shù)字濾波器仍具有片斷常數(shù)特性，但特性轉(zhuǎn)折點頻率值與模擬濾波器特性轉(zhuǎn)折點頻率值成非線性關系。 這種頻率的畸變，可通過對頻率進行預修正來予以校正。
特點（重點）
優(yōu)點：
1.不產(chǎn)生頻域混疊現(xiàn)象2.雙線性變換法可由簡單的代數(shù)公式將直接轉(zhuǎn)換成。
缺點：
與之間的非線性關系是雙線性變換法的缺點，是數(shù)字濾波器頻響曲線不能保真地模仿模擬濾波器的頻響曲線形狀。只適合片段常數(shù)特性的濾波器設計。 例：已知模擬濾波器傳輸函數(shù)為，設，用脈沖響應不變法和雙線性變換法將轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 解：用脈沖響應不變法（令）將轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 。 用雙線性變換法將轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 6.3 設計IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法
前面只介紹了IIR低通數(shù)字濾波器的設計方法，但是在工程上常常要設計各種截止頻率的低通、高通、帶通和帶阻數(shù)字濾波器，這些數(shù)字濾波器的設計方法通常是在設計一個低通濾波器的基礎上采用頻率變換法把低通濾波器轉(zhuǎn)換成所要求的濾波器。因為數(shù)字濾波器設計都是從低通濾波器開始的，所以其他類型濾波器的設計都要把給定的技術指標轉(zhuǎn)換成相應的模擬低通濾波器指標進行設計，然后再轉(zhuǎn)換成相應的數(shù)字濾波器指標。 這種轉(zhuǎn)換方法可以在模擬域進行，也可以在數(shù)字域完成。用兩種變換方法進行各種頻率范圍的數(shù)字濾波器的設計過程可表示如下： (a) 模擬頻率變換法設計流程 (b) 數(shù)字頻率變換法設計流程 圖6.2 頻率變換法設計數(shù)字濾波器流程 上面兩種方法中模擬低通濾波器的技術指標可根據(jù)所設計的技術指標轉(zhuǎn)換獲得。也可給定一組相應指標進行設計，然后以此濾波器為基礎進行各種變換。設計好的濾波器必須求其頻率特性，進行指標驗證。如果不滿足給定數(shù)字濾波器指標，則需要修改模擬指標重新設計。
簡答題：（重點）
1． 分析采用雙線性變換法將該模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，數(shù)字濾波器的頻率特性相對原模擬濾波器頻率特性是否有失真，為什么？ 2． 是否可以用脈沖響應不變法或雙線性變換法把模擬帶阻濾波器變換成數(shù)字帶阻濾波器，為什么？ （答案：可以用雙線性變換法把模擬帶阻濾波器變換成數(shù)字帶阻濾波器，但不能用脈沖響應不變法把模擬帶阻濾波器變換成數(shù)字帶阻濾波器。因為脈沖響應不變法中從s平面到z平面的映射是多值映射，將模擬帶阻濾波器變成數(shù)字帶阻濾波器會存在頻率響應的混疊失真，而雙線性變換法從中從s平面到z平面的映射是一一對應的，不存在頻率響應的混疊失真。） 3. 說明脈沖響應不變法和雙線性變換法各自的優(yōu)點和缺點和適應范圍？ 4. 說明IIR數(shù)字濾波器間接設計法（由模擬濾波器到數(shù)字濾波器）的基本思想和設計要求。
名詞解釋：（重點）
1. IIR數(shù)字濾波器間接設計法 2. 雙線性變換法 （雙線性變換法是為克服脈沖響應不變法頻率混疊現(xiàn)象提出的，其思想是將s平面上的點經(jīng)過和二次映射到z平面。雙線性變換法的優(yōu)點是不會產(chǎn)生頻率混疊，但卻引入頻率的非線性失真。） 3. 脈沖響應不變法 （脈沖響應不變法思想是把模擬濾波器的單位沖激響應經(jīng)過采樣作為相應數(shù)字濾波器的單位沖激響應。其 平面和 平面的映射關系為： 。沖激不變法的優(yōu)點是數(shù)字頻率和模擬頻率為線性關系即： 。缺點是會產(chǎn)生頻率混疊，適用低通設計。）
第七章：本章主要講授線性相位FIR濾波器常用的設計方法——窗函數(shù)法
7.1 線性相位FIR濾波器的特點（重點）
特點：可實現(xiàn)嚴格的線性相位特性、系統(tǒng)是穩(wěn)定的、因果的、階數(shù)較高
穩(wěn)定和線性相位特性是FIR濾波器最突出的優(yōu)點。
設FIR單位脈沖響應 長度為 ，其
傳輸函數(shù)
為
（重點）
其中，——
幅度特性（重點）
，純實數(shù)，可正可負，即 ——
相位特性（重點）
線性相位是指是的線性函數(shù)，即群時延（常數(shù)） 1 線性相位FIR數(shù)字濾波器時域約束條件(重點)
1
第一類線性相位（嚴格線性相位特性）對h(n)的約束條件
，要求 和滿足： 2
第二類線性相位對h(n)的約束條件
，要求 和滿足：
問：何為線性相位濾波器?FIR濾波器成為線性相位濾波器的充分條件是什么？（重點）
答：線性相位的濾波器是指其相位函數(shù)與數(shù)字頻率成線性關系，即。
FIR濾波器成為線性相位的充分條件是：
①是實數(shù)。
②滿足以為中心的偶對稱或者奇對稱，即
。 2．線性相位FIR濾波器幅度特性的特點(重點)
（1）
h
(n)=
h
(N-1-n)，
N
為奇數(shù)——1型 （2）
h
(n)=
h
(N-1-n)，
N
為偶數(shù)——2型 （3）
h
(n)=-
h
(N-1-n)，
N
為奇數(shù)——3型 （4）
h
(n)=-
h
(N-1-n)，
N
為偶數(shù)——4型 類型
h
(n)
H
g(ω)
1型
h
(n)=
h
(N-1-n)，
N
為奇數(shù)
H
g(ω)
關于ω=0、π、2π偶對稱
2型
h
(n)=
h
(N-1-n)，
N
為偶數(shù)
H
g(ω)
關于ω=0、2π偶對稱，關于ω=π奇對稱
3型
h
(n)=-
h
(N-1-n)，
N
為奇數(shù)
H
g(ω)
關于ω=0、π、2π奇對稱
4型
h
(n)=-
h
(N-1-n)，
N
為偶數(shù)
H
g(ω)
關于ω=0、2π奇對稱，關于ω=π偶對稱
實際使用時，一般來說，
1型適合構成低通、高通、帶通、帶阻濾波器；2型適合構成低通、帶通濾波器；3型適合構成帶通濾波器；4型適合構成高通、帶通濾波器。(重點)
舉例說明(重點)：
系統(tǒng)函數(shù)： 差分方程： 因為為奇對稱，N=6為偶數(shù)。所以是
4型
（
第二類線性相位、N為偶數(shù)情況
） 3．線性相位FIR濾波器零點分布特點
由于，線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的零點分布具有如下特點：如果是的零點，其倒數(shù)也必然是其零點；因為是實序列，故的零點也必定共軛成對，所以和也是其零點。只要知道其中一個，其他三個也就確定了。所以，
零點必是互為倒數(shù)的共軛對
。
(重點)
7.2窗函數(shù)法設計線性相位FIR濾波器的一般步驟
通過第6章可知IIR數(shù)字濾波器的設計的主要方法是先設計一個模擬低通濾波器，然后把它轉(zhuǎn)換成形式的數(shù)字濾波器。但是對于FIR濾波器來說，設計方法的關鍵要求之一就是保證線性相位條件。而IIR濾波器的設計方法中只對幅度特性進行了設計故無法保證這一點。所以，F(xiàn)IR濾波器的設計需要采用完全不同的方法。FIR濾波器的設計方法主要有窗函數(shù)法、頻率采樣法、切比雪夫逼近法等。
FIR濾波器的窗函數(shù)法設計思想
是：在保證線性相位條件的前提下，選擇合適的長度，使其傳輸函數(shù)滿足技術指標要求。用一個長度為的序列替代無限長作為實際設計的濾波器的的單位脈沖響應，其系統(tǒng)函數(shù)為這種設計思想稱為
窗函數(shù)設計法
。顯然在保證對稱性的前提下，窗函數(shù)長度越長，則越接近。但是誤差是肯定存在的，這種誤差稱為截斷誤差。
對FIR濾波器的影響：
由于加窗后無限長的變?yōu)橛邢揲L的，肯定會引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是通常所說的
吉布斯（Gibbs）效應
。吉布斯效應直接影響濾波的性能，導致通帶內(nèi)的平穩(wěn)性變差和阻帶衰減不能滿足技術指標。通常濾波器設計都要求過渡帶越窄越好，阻帶衰減越大越好。所以設計濾波器的方法要使吉布斯效應的影響降低到最小。調(diào)整窗口長度N只能有效的控制過渡帶的寬度，并不能減少帶內(nèi)波動以及增大阻帶衰減。要想減小吉布斯效應的影響，增加是無法實現(xiàn)的。如果改變窗函數(shù)的形狀，使其幅度函數(shù)具有較低的旁瓣幅度，就可減小通帶、阻帶的波動，并加大阻帶衰減。但是這時主瓣將會加寬以包含更多的能量，故而將會增加過渡帶寬度。所以當一定時，減小波動和減小過渡帶是一對矛盾。必須根據(jù)實際要求，選擇合適的窗函數(shù)以滿足波動要求，然后選擇滿足過渡帶指標。
設計步驟：
（1）根據(jù)對阻帶衰減以及過渡帶的指標要求，選擇窗函數(shù)的類型，并估計窗口長度N；（2）構造希望逼近的頻率響應函數(shù)，即（3）計算：如果給出待求濾波器的頻響函數(shù)為，那么在單位脈沖響應作用下：；（4）加窗得到設計結果：
簡答題(重點)：
1. 用窗口法設計FIR數(shù)字濾波器時，為了改善阻帶的衰減特性，窗函數(shù)形狀需要滿足的兩個標準是什么？ 對窗口函數(shù)形狀要求：(1)盡量減少窗口頻譜中的旁瓣，使能量盡量集中在主瓣中，這樣可減少上沖和余振，提高阻帶衰減。(2)主瓣寬度盡量窄，以獲得較陡的過渡帶。 2. 什么是吉布斯現(xiàn)象（效應）？如何有效減少該效應的影響？（有限長的序列
h
(
n
)去代替無限長的
h
d(
n
)，肯定會引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是通常所說的吉布斯（Gibbs）效應。該效應引起過渡帶加寬以及通帶和阻帶內(nèi)的波動，尤其使阻帶的衰減小，從而滿足不了技術上的要求。減少該效應只能從窗函數(shù)的形狀上找解決問題的方法。構造新的窗函數(shù)形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量，相應旁瓣幅度更小。旁瓣的減小可使通帶、阻帶波動減小，從而加大阻帶衰減。） 3. 窗口法設計FIR數(shù)字濾波器，改變窗的寬度對濾波器的頻率特性有什么影響？ 4. 簡要說明窗函數(shù)法設計線性相位FIR濾波器的一般步驟。 5. 綜述數(shù)字濾波器的兩個主要分類IIR和FIR濾波器的特點和設計方法的不同。
