3.用DFT進(jìn)行譜分析的參數(shù)選擇問(wèn)題(重點(diǎn))

對(duì)模擬信號(hào)頻譜的采樣間隔，稱之為頻率分辨率。

（1）在已知信號(hào)的最高頻率fc(即譜分析范圍)時(shí)，為了避免頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣頻率Fs滿足：Fs>2fc。

（2）采樣頻率Fs，采樣點(diǎn)數(shù)N，譜分辨率F=Fs/N，如果保持采樣點(diǎn)數(shù)N不變，要提高頻譜分辨率(減小F)，就必須降低采樣頻率，采樣頻率的降低會(huì)引起譜分析范圍變窄和頻譜混疊失真。如維持Fs不變，為提高頻率分辨率可以增加采樣點(diǎn)數(shù)N。因?yàn)镹T=Tp，T=Fs-1，只有增加對(duì)信號(hào)的觀察時(shí)間Tp，才能增加N。

（3）采樣點(diǎn)數(shù)N>2fc/F

（4）最小記錄時(shí)間Tp≥1/F

例：用DFT對(duì)實(shí)信號(hào)進(jìn)行譜分析，要求頻率分辨率

，信號(hào)最高頻率為

，試確定以下參數(shù)：（1）最小記錄時(shí)間；（2）最大取樣間隔；（3）最少采樣點(diǎn)數(shù)；（4）若要求頻率分辨率提高一倍，求最少采樣點(diǎn)數(shù)。（重點(diǎn)）

解 （1）

（2）

（3）

（4）

簡(jiǎn)答題：（重點(diǎn)）

1. 一個(gè)序列的DFT與序列的傅里葉變換之間的關(guān)系是什么？

2. 序列的DTFT和序列的z變換間的關(guān)系是什么？序列的DFT和序列的Z變換間的關(guān)系是什么？

3. 有限長(zhǎng)序列

的長(zhǎng)度為M，對(duì)其進(jìn)行頻域采樣，不失真的條件是什么？?jī)蓚€(gè)有限長(zhǎng)序列

，

，對(duì)它們進(jìn)行線性卷積，結(jié)果用

表示，

的長(zhǎng)度是多少？如果進(jìn)行循環(huán)卷積，那么什么時(shí)候線性卷積和循環(huán)卷積的結(jié)果相等？

4. 用DFT進(jìn)行譜分析帶來(lái)哪些誤差問(wèn)題？采取什么措施可以減少這些誤差？

5. 時(shí)域采樣定理的要點(diǎn)是什么？頻域采樣定理的要點(diǎn)是什么？

第四章：快速傅里葉變換并不是一種新的變換，它是離散傅里葉變換的一種快速算法。

4.1 直接計(jì)算DFT的問(wèn)題及改進(jìn)的途徑

直接計(jì)算DFT，需要

次復(fù)數(shù)乘法，

次復(fù)數(shù)加法。

直接計(jì)算離散傅里葉變換，由于計(jì)算量近似正比于N2，顯然對(duì)于很大的N值，直接計(jì)算離散傅里葉變換要求的算術(shù)運(yùn)算量非常大。(重點(diǎn))我們可以利用系數(shù)WNnk的特性來(lái)改善離散傅里葉變換的計(jì)算效率。

（1）

的對(duì)稱性

（2）

的周期性

利用

的對(duì)稱性和周期性，將大點(diǎn)數(shù)的DFT分解成若干個(gè)小點(diǎn)數(shù)的DFT，F(xiàn)FT正是基于這個(gè)基本思路發(fā)展起來(lái)的。(重點(diǎn))

說(shuō)明：快速傅里葉變換FFT(Fast Fourier Transform)

分類：按時(shí)間抽?。―IT）算法和按頻率抽取（DIF）算法。

4.2 基2FFT的算法原理和FFT運(yùn)算特點(diǎn)

1）數(shù)據(jù)要求：

2）計(jì)算效率（乘法運(yùn)算次數(shù)：，加法計(jì)算次數(shù)：NM ）（復(fù)數(shù)運(yùn)算）

（DFT運(yùn)算：乘法運(yùn)算次數(shù)：，加法計(jì)算次數(shù)：）（復(fù)數(shù)運(yùn)算）

對(duì)于算法原理，要求能夠看懂分解流圖。

1 時(shí)域抽取法如下：（Decimation In Time, DIT–FFT）

設(shè)序列x(n)長(zhǎng)度為N，且滿足N=2M，M為正整數(shù)。按n的奇偶把x(n)分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)的子序列：

則x(n)的DFT為

所以

將X(k)又可以寫為

上式將N點(diǎn)DFT分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT運(yùn)算，運(yùn)算過(guò)程如下圖示

利用蝶形運(yùn)算求解。

運(yùn)算量：由按時(shí)間抽取的FFT流圖可見：

每級(jí)都由個(gè)蝶形單元構(gòu)成，因此每級(jí)都需要次復(fù)數(shù)乘法和次復(fù)數(shù)加法。這樣，級(jí)運(yùn)算共需要：

復(fù)數(shù)乘法：

復(fù)數(shù)加法：

而直接計(jì)算DFT需要：

復(fù)數(shù)乘法：

復(fù)數(shù)加法：

以乘法為例，對(duì)FFT算法與直接DFT算法的運(yùn)算量進(jìn)行比較：

8

64

12

5.4

128

16384

448

36.6

1024

1048576

5120

204.8

可以看出：當(dāng)越大時(shí)，F(xiàn)FT算法的優(yōu)越性越突出。

DIT-FFT算法與DFT運(yùn)算量的比較

直接計(jì)算DFT與FFT算法的計(jì)算量之比為

N越大，F(xiàn)FT的優(yōu)點(diǎn)越為明顯

說(shuō)明：掌握給定點(diǎn)數(shù)的基2 DIT-FFT蝶形圖

8點(diǎn)DFT的完整FFT流圖：

2頻域抽樣法（Decimation In Frequency, DIF–FFT）

將長(zhǎng)度為N=2M的序列x(n)前后對(duì)半分開, 其N點(diǎn)DFT可表示為

按k的奇偶可將X(k)分為兩部分

k取偶數(shù)時(shí)

k取奇數(shù)時(shí)

令 得到

注：DIT—FFT與DIF—FFT特點(diǎn)比較(重點(diǎn))

相同之處：

（1）DIF與DIT兩種算法均為原位運(yùn)算

（2）DIF與DIT運(yùn)算量相同

所以，DIF與DIT是兩種等價(jià)的FFT算法。

不同之處：

（1）DIF與DIT兩種算法結(jié)構(gòu)倒過(guò)來(lái)

DIF的輸入序列為自然順序，輸出為倒序排列，與DIT的正好相反。

（2）蝶形結(jié)構(gòu)不同

DIF的復(fù)數(shù)乘法只出現(xiàn)在減法之后，DIT則是先作復(fù)數(shù)乘法后作加減法。

簡(jiǎn)答題：(重點(diǎn))

1. 比較DIT—FFT與DIF—FFT特點(diǎn)。

2. 為什么要進(jìn)行FFT變換？FFT變換的基本思想是什么？說(shuō)明基-2FFT分成哪兩種算法。說(shuō)出它們的英文名稱和中文含義。

(DFT的計(jì)算在數(shù)字信號(hào)處理中非常有用，但是由于DFT的計(jì)算量較大，即使采用計(jì)算機(jī)也很難對(duì)問(wèn)題進(jìn)行實(shí)時(shí)處理，通過(guò)引入其快速算法FFT，使DFT的計(jì)算大大簡(jiǎn)化，運(yùn)算時(shí)間一般可縮短一、二個(gè)數(shù)量級(jí)?；舅悸罚篋FT的運(yùn)算量與

成正比；如果一個(gè)大點(diǎn)數(shù)

的DFT能分解為若干小點(diǎn)數(shù)DFT的組合，則顯然可以達(dá)到減小運(yùn)算量的效果。根據(jù)把長(zhǎng)序列分解為短序列的分解形式不同，基-2FFT算法基本上可以分為兩大類：按時(shí)間抽取法—decimation in time, DIT；按頻率抽取法——decimation in frequency, DIF))

第五章：本章主要掌握IIR和FIR兩種濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

5.1 基本單元結(jié)構(gòu)

一個(gè)數(shù)字網(wǎng)絡(luò)可以用差分方程表示，也可以用單位脈沖響應(yīng)來(lái)表示，也可以用系統(tǒng)函數(shù)來(lái)表示。但是對(duì)于研究這個(gè)系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法，即它的運(yùn)算結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，用方框圖或信號(hào)流圖最直接。對(duì)于延時(shí)、乘以系數(shù)以及相加這三種基本運(yùn)算來(lái)說(shuō)，方框圖和信號(hào)流圖表示法如下圖所示。

以二階數(shù)字濾波器y(n)=b1y(n-1)+b2y(n-2)+ax(n)為例，它的方框圖和信號(hào)流圖如下圖所示。

一般來(lái)說(shuō)，用方框圖表示數(shù)字濾波器，結(jié)構(gòu)明顯、直觀；而用信號(hào)流圖來(lái)表示，則簡(jiǎn)單、方便。

利用圖論中的轉(zhuǎn)置定理，可以把一個(gè)信號(hào)流圖轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)的信號(hào)流圖。

轉(zhuǎn)置定理如果將流圖中所有支路方向都顛倒或反向，并交換輸入x(n)和輸出y(n)，則其特性保持不變，新流圖是原流圖的轉(zhuǎn)置形式。

例如，上圖中流圖的轉(zhuǎn)置形式如下圖(a)所示，但通常的習(xí)慣是將輸入x(n)畫在流圖的左邊，而輸出畫在流圖的右邊，這樣得到圖(b)所示的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)。

5.2 無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

IIR（Infinite Impulse Response無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)）濾波器具有以下特點(diǎn)（重點(diǎn)）：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)h(n)無(wú)限長(zhǎng)；系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面（0<|z|<∞）上有極點(diǎn)存在；結(jié)構(gòu)上存在從輸出到輸入的反饋，即結(jié)構(gòu)是遞歸型的。

1. 直接型

對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：

直接型包括直接Ⅰ型和直接Ⅱ型，書本講授的為直接Ⅱ型。直接Ⅱ型的推導(dǎo)，利用到線性移不變系統(tǒng)，交換級(jí)聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)不變。

對(duì)于直接Ⅱ型，要求能夠直接由差分方程或系統(tǒng)函數(shù)繪出相應(yīng)的信號(hào)流圖，反之亦然。

特點(diǎn)：便于理解，累積誤差大，運(yùn)算速度相對(duì)慢。（重點(diǎn)）

2．級(jí)聯(lián)型

對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：

把濾波器用若干二階子網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)起來(lái)構(gòu)成，每個(gè)二階子網(wǎng)絡(luò)采用直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

特點(diǎn)：級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)中每一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)決定一個(gè)零點(diǎn)、一個(gè)極點(diǎn)，每一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)決定一對(duì)零點(diǎn)、一對(duì)極點(diǎn)。相對(duì)直接型結(jié)構(gòu)，其優(yōu)點(diǎn)是調(diào)整方便，此外，運(yùn)算累積誤差較直接型小。（重點(diǎn)）

3．并聯(lián)型

對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：

特點(diǎn)：每一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)決定一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，每一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)決定一對(duì)共軛極點(diǎn)，調(diào)整極點(diǎn)位置方便，但調(diào)整零點(diǎn)位置不如級(jí)聯(lián)型方便。運(yùn)算誤差不積累。運(yùn)算速度最高。（重點(diǎn)）

例：已知IIR DF的系統(tǒng)函數(shù)為畫出直接I型、直接II型的結(jié)構(gòu)流圖。

解：先將化為的有理式

直接I型：

直接II型：

例：已知IIR DF的系統(tǒng)函數(shù)為畫出級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型的結(jié)構(gòu)流圖。

解：級(jí)聯(lián)型

并聯(lián)型：

5.3 有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

FIR（Finite Impulse Response有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)）濾波器具有以下特點(diǎn)（重點(diǎn)）：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)h(n)有限長(zhǎng)；系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|>0處收斂，對(duì)因果系統(tǒng)而言，極點(diǎn)全部位于z=0處；結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒(méi)有輸出到輸入的反饋。

FIR濾波器有以下幾種基本結(jié)構(gòu)：直接型；級(jí)聯(lián)型。

1．直接型

特點(diǎn)：直觀明了，便于理解，但不便于調(diào)整參數(shù)。（重點(diǎn)）

2．級(jí)聯(lián)型

將H（z）因式分解得到

特點(diǎn)：每一個(gè)一階因子控制一個(gè)零點(diǎn)，每一個(gè)二階因子控制一對(duì)共軛極點(diǎn)，調(diào)整零點(diǎn)位置比直接型方便，但H（z）中的系數(shù)比直接型多（近似3/2N），因而需要的乘法器多。（重點(diǎn)）

例：已知FIR DF的系統(tǒng)函數(shù)為畫出直接型和級(jí)聯(lián)型的結(jié)構(gòu)流圖。（重點(diǎn)）

解：直接型：

級(jí)聯(lián)型：

簡(jiǎn)答題：（重點(diǎn)）

1. IIR和FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)形式有哪些？各自有什么特點(diǎn)?

2. IIR和FIR濾波器的基本特點(diǎn)是什么？

名詞解釋：（重點(diǎn)）

1. IIR濾波器

2. FIR濾波器

第六章：本章講授了設(shè)計(jì)IIR濾波器常用的兩種設(shè)計(jì)方法——脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。

6.1 引言

1.數(shù)字濾波器的分類

（1）IIR和FIR數(shù)字濾波器（重點(diǎn)）

這是根據(jù)濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)的長(zhǎng)度是否有限來(lái)劃分的。若h(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為M+1的有限長(zhǎng)序列，通常將此時(shí)的系統(tǒng)稱為有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（FIR，F(xiàn)initeImpulseResponse）系統(tǒng)。

如果系統(tǒng)函數(shù)的分母中除a0外，還有其它的ak不為零，則相應(yīng)的h(n)將是無(wú)限長(zhǎng)序列，稱這種系統(tǒng)為無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（IIR，InfiniteImpulseResponse）系統(tǒng)。

（2）低通、高通、帶通、帶阻濾波器

注意：數(shù)字濾波器（DF）與模擬濾波器（AF）的區(qū)別

數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都是以2π為周期的，濾波器的低通頻帶處于2π的整數(shù)倍處，而高頻頻帶處于π的奇數(shù)倍附近。

2.設(shè)計(jì)指標(biāo)描述

濾波器的指標(biāo)通常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)一般為復(fù)函數(shù)，通常表示為

其中，稱為幅頻響應(yīng)，稱為相頻響應(yīng)。對(duì)IIR數(shù)字濾波器，通常用幅頻響應(yīng)來(lái)描述設(shè)計(jì)指標(biāo)，而對(duì)于線性相位特性的濾波器，一般用FIR濾波器設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)。

IIR低通濾波器指標(biāo)描述：

——通帶截止頻率，——阻帶截止頻率，——通帶最大衰減，——阻帶最小衰減，——3dB通帶截止頻率

3.設(shè)計(jì)方法（重點(diǎn)）

三步：（1）按照實(shí)際需要確定濾波器的性能要求。（2）用一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個(gè)性能要求。（3）用一個(gè)有限精度的算法去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。

IIR濾波器常借助模擬濾波器理論來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，（重點(diǎn)）設(shè)計(jì)步驟為：先根據(jù)所給的濾波器性能指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)( butterworth濾波器設(shè)計(jì)法等，有封閉公式利用)，然后由Ha(s)經(jīng)變換（脈沖響應(yīng)不變法或者雙線性變換法等）得到所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。在變換中，一般要求所得到的數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)應(yīng)保留原模擬濾波器頻率響應(yīng)的主要特性。為此要求：（重點(diǎn)）

（1）因果穩(wěn)定的模擬濾波器必須變成因果穩(wěn)定的數(shù)字濾波器；

（2）數(shù)字濾波器的頻響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響。

6.2 脈沖響應(yīng)不變法、雙線性不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器

設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器可以按照技術(shù)要求先設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)

，再按一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將

轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

。其設(shè)計(jì)流程如圖所示6.1所示。

利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果來(lái)求相應(yīng)的數(shù)字濾波器，可以用映射的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，把s平面映射到z平面。這種由復(fù)變量s到復(fù)變量z之間的映射關(guān)系，必須滿足三點(diǎn)要求：

圖6.1 從模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器流程圖

因果穩(wěn)定的

映射成因果穩(wěn)定的

，即s平面的左半平面必須映射到z平面單位圓的內(nèi)部。（重點(diǎn)）

的頻率響應(yīng)能模仿

的頻率響應(yīng)，即s平面的虛軸必須映射到z平面的單位圓上。變換前后的濾波器在時(shí)域或頻域的主要特征(頻率響應(yīng)或單位沖激響應(yīng)等)應(yīng)盡可能相同或接近。將傳輸函數(shù)

從s平面轉(zhuǎn)換到z平面的方法有多種，主要有沖激不變法和雙線性變換法。

1 脈沖響應(yīng)不變法

設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

，相應(yīng)的單位沖擊響應(yīng)是

，

。LT[.]代表拉氏變換，對(duì)

進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到

，將h(n)=

作為數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

便是

的

變換。因此脈沖響應(yīng)不變法是一種時(shí)域逼近方法，它使

在采樣點(diǎn)上等于

。但是，模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果是

，所以下面基于脈沖響應(yīng)不變法的思想，導(dǎo)出直接從

到

的轉(zhuǎn)換公式。

設(shè)模擬濾波器只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于多項(xiàng)式的階次，將用部分分式表示： 式中為的單階極點(diǎn)。將進(jìn)行逆拉氏變換，得到： 式中，是單位階躍函數(shù)。對(duì)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為，得到：

對(duì)上式進(jìn)行變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即

由于沖激響應(yīng)不變法（又稱標(biāo)準(zhǔn)z變換法）從s平面→z平面是通過(guò)的多值映射，并不是一種簡(jiǎn)單的一一對(duì)應(yīng)的代數(shù)映射關(guān)系。脈沖響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，不是簡(jiǎn)單的重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而是模擬濾波器頻率頻率響應(yīng)的周期延拓。所以希望所設(shè)計(jì)的濾波器是帶限的，否則頻率混疊現(xiàn)象會(huì)使設(shè)計(jì)出的數(shù)字濾波器在附近的頻率特性嚴(yán)重的偏離模擬濾波器在處的頻率特性，嚴(yán)重時(shí)使數(shù)字濾波器的指標(biāo)得不到滿足。

特點(diǎn)（重點(diǎn)）

優(yōu)點(diǎn)：1.頻率變換關(guān)系是線性的，即，如果不存在頻譜混疊現(xiàn)象，用這種方法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器會(huì)很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響特性。2.數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖擊響應(yīng)波形，時(shí)域特性逼近好。缺點(diǎn)：會(huì)產(chǎn)生不同程度的頻譜混疊失真，其適合用于帶限濾波器（低通、帶通濾波器）的設(shè)計(jì)，不適合用于高通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。

2 雙線性變換法

(這種映射法能保證使s平面與z平面建立單值對(duì)應(yīng)，從而消除混疊現(xiàn)象)

將雙線性變換帶入，得

s平面的

與z平面的

成非線性正切關(guān)系。正是因?yàn)槿绱?，雙線性變換法消除了頻率混疊現(xiàn)象。但與此同時(shí)也直接影響數(shù)字濾波器頻響逼真的模仿模擬濾波器的頻響。這種頻率之間的非線性變換關(guān)系帶來(lái)了以下兩個(gè)問(wèn)題：

(1) 一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器；

(2) 如果模擬濾波器的頻響具有片斷常數(shù)特性，則轉(zhuǎn)換到z平面上，數(shù)字濾波器仍具有片斷常數(shù)特性，但特性轉(zhuǎn)折點(diǎn)頻率值與模擬濾波器特性轉(zhuǎn)折點(diǎn)頻率值成非線性關(guān)系。

這種頻率的畸變，可通過(guò)對(duì)頻率進(jìn)行預(yù)修正來(lái)予以校正。

特點(diǎn)（重點(diǎn)）

優(yōu)點(diǎn)：1.不產(chǎn)生頻域混疊現(xiàn)象2.雙線性變換法可由簡(jiǎn)單的代數(shù)公式將直接轉(zhuǎn)換成。缺點(diǎn)：與之間的非線性關(guān)系是雙線性變換法的缺點(diǎn)，是數(shù)字濾波器頻響曲線不能保真地模仿模擬濾波器的頻響曲線形狀。只適合片段常數(shù)特性的濾波器設(shè)計(jì)。

例：已知模擬濾波器傳輸函數(shù)為，設(shè)，用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法將轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。

解：用脈沖響應(yīng)不變法（令）將轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。

。

用雙線性變換法將轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。

6.3 設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法

前面只介紹了IIR低通數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法，但是在工程上常常要設(shè)計(jì)各種截止頻率的低通、高通、帶通和帶阻數(shù)字濾波器，這些數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法通常是在設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器的基礎(chǔ)上采用頻率變換法把低通濾波器轉(zhuǎn)換成所要求的濾波器。因?yàn)閿?shù)字濾波器設(shè)計(jì)都是從低通濾波器開始的，所以其他類型濾波器的設(shè)計(jì)都要把給定的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)，然后再轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標(biāo)。

這種轉(zhuǎn)換方法可以在模擬域進(jìn)行，也可以在數(shù)字域完成。用兩種變換方法進(jìn)行各種頻率范圍的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程可表示如下：

(a) 模擬頻率變換法設(shè)計(jì)流程

(b) 數(shù)字頻率變換法設(shè)計(jì)流程

圖6.2 頻率變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器流程

上面兩種方法中模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)可根據(jù)所設(shè)計(jì)的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換獲得。也可給定一組相應(yīng)指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)，然后以此濾波器為基礎(chǔ)進(jìn)行各種變換。設(shè)計(jì)好的濾波器必須求其頻率特性，進(jìn)行指標(biāo)驗(yàn)證。如果不滿足給定數(shù)字濾波器指標(biāo)，則需要修改模擬指標(biāo)重新設(shè)計(jì)。

簡(jiǎn)答題：（重點(diǎn)）

1． 分析采用雙線性變換法將該模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，數(shù)字濾波器的頻率特性相對(duì)原模擬濾波器頻率特性是否有失真，為什么？

2． 是否可以用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法把模擬帶阻濾波器變換成數(shù)字帶阻濾波器，為什么？

（答案：可以用雙線性變換法把模擬帶阻濾波器變換成數(shù)字帶阻濾波器，但不能用脈沖響應(yīng)不變法把模擬帶阻濾波器變換成數(shù)字帶阻濾波器。因?yàn)槊}沖響應(yīng)不變法中從s平面到z平面的映射是多值映射，將模擬帶阻濾波器變成數(shù)字帶阻濾波器會(huì)存在頻率響應(yīng)的混疊失真，而雙線性變換法從中從s平面到z平面的映射是一一對(duì)應(yīng)的，不存在頻率響應(yīng)的混疊失真。）

3. 說(shuō)明脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法各自的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)和適應(yīng)范圍？

4. 說(shuō)明IIR數(shù)字濾波器間接設(shè)計(jì)法（由模擬濾波器到數(shù)字濾波器）的基本思想和設(shè)計(jì)要求。

名詞解釋：（重點(diǎn)）

1. IIR數(shù)字濾波器間接設(shè)計(jì)法

2. 雙線性變換法
（雙線性變換法是為克服脈沖響應(yīng)不變法頻率混疊現(xiàn)象提出的，其思想是將s平面上的點(diǎn)經(jīng)過(guò)和二次映射到z平面。雙線性變換法的優(yōu)點(diǎn)是不會(huì)產(chǎn)生頻率混疊，但卻引入頻率的非線性失真。）

3. 脈沖響應(yīng)不變法
（脈沖響應(yīng)不變法思想是把模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)經(jīng)過(guò)采樣作為相應(yīng)數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)。其

平面和

平面的映射關(guān)系為：

。沖激不變法的優(yōu)點(diǎn)是數(shù)字頻率和模擬頻率為線性關(guān)系即：

。缺點(diǎn)是會(huì)產(chǎn)生頻率混疊，適用低通設(shè)計(jì)。）

第七章：本章主要講授線性相位FIR濾波器常用的設(shè)計(jì)方法——窗函數(shù)法

7.1 線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)（重點(diǎn)）

特點(diǎn)：可實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的線性相位特性、系統(tǒng)是穩(wěn)定的、因果的、階數(shù)較高

穩(wěn)定和線性相位特性是FIR濾波器最突出的優(yōu)點(diǎn)。

設(shè)FIR單位脈沖響應(yīng)

長(zhǎng)度為

，其傳輸函數(shù)為

（重點(diǎn)）

其中，——幅度特性（重點(diǎn)），純實(shí)數(shù)，可正可負(fù)，即

——相位特性（重點(diǎn)）

線性相位是指是的線性函數(shù)，即群時(shí)延（常數(shù)）

1 線性相位FIR數(shù)字濾波器時(shí)域約束條件(重點(diǎn))

1第一類線性相位（嚴(yán)格線性相位特性）對(duì)h(n)的約束條件，要求 和滿足：

2第二類線性相位對(duì)h(n)的約束條件，要求 和滿足：

問(wèn)：何為線性相位濾波器?FIR濾波器成為線性相位濾波器的充分條件是什么？（重點(diǎn)）

答：線性相位的濾波器是指其相位函數(shù)與數(shù)字頻率成線性關(guān)系，即。

FIR濾波器成為線性相位的充分條件是：

①是實(shí)數(shù)。

②滿足以為中心的偶對(duì)稱或者奇對(duì)稱，即。

2．線性相位FIR濾波器幅度特性的特點(diǎn)(重點(diǎn))

（1）h(n)=h(N-1-n)，N為奇數(shù)——1型

（2）h(n)=h(N-1-n)，N為偶數(shù)——2型

（3）h(n)=-h(N-1-n)，N為奇數(shù)——3型

（4）h(n)=-h(N-1-n)，N為偶數(shù)——4型

類型

h(n)

Hg(ω)

1型

h(n)=h(N-1-n)，N為奇數(shù)

Hg(ω)關(guān)于ω=0、π、2π偶對(duì)稱

2型

h(n)=h(N-1-n)，N為偶數(shù)

Hg(ω)關(guān)于ω=0、2π偶對(duì)稱，關(guān)于ω=π奇對(duì)稱

3型

h(n)=-h(N-1-n)，N為奇數(shù)

Hg(ω)關(guān)于ω=0、π、2π奇對(duì)稱

4型

h(n)=-h(N-1-n)，N為偶數(shù)

Hg(ω)關(guān)于ω=0、2π奇對(duì)稱，關(guān)于ω=π偶對(duì)稱

實(shí)際使用時(shí)，一般來(lái)說(shuō)，1型適合構(gòu)成低通、高通、帶通、帶阻濾波器；2型適合構(gòu)成低通、帶通濾波器；3型適合構(gòu)成帶通濾波器；4型適合構(gòu)成高通、帶通濾波器。(重點(diǎn))

舉例說(shuō)明(重點(diǎn))：

系統(tǒng)函數(shù)：

差分方程：

因?yàn)闉槠鎸?duì)稱，N=6為偶數(shù)。所以是4型（第二類線性相位、N為偶數(shù)情況）

3．線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn)

由于，線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)分布具有如下特點(diǎn)：如果是的零點(diǎn)，其倒數(shù)也必然是其零點(diǎn)；因?yàn)槭菍?shí)序列，故的零點(diǎn)也必定共軛成對(duì)，所以和也是其零點(diǎn)。只要知道其中一個(gè)，其他三個(gè)也就確定了。所以，零點(diǎn)必是互為倒數(shù)的共軛對(duì)。(重點(diǎn))

7.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器的一般步驟

通過(guò)第6章可知IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)的主要方法是先設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通濾波器，然后把它轉(zhuǎn)換成形式的數(shù)字濾波器。但是對(duì)于FIR濾波器來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)方法的關(guān)鍵要求之一就是保證線性相位條件。而IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法中只對(duì)幅度特性進(jìn)行了設(shè)計(jì)故無(wú)法保證這一點(diǎn)。所以，F(xiàn)IR濾波器的設(shè)計(jì)需要采用完全不同的方法。FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法主要有窗函數(shù)法、頻率采樣法、切比雪夫逼近法等。

FIR濾波器的窗函數(shù)法設(shè)計(jì)思想是：在保證線性相位條件的前提下，選擇合適的長(zhǎng)度，使其傳輸函數(shù)滿足技術(shù)指標(biāo)要求。用一個(gè)長(zhǎng)度為的序列替代無(wú)限長(zhǎng)作為實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器的的單位脈沖響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù)為這種設(shè)計(jì)思想稱為窗函數(shù)設(shè)計(jì)法。顯然在保證對(duì)稱性的前提下，窗函數(shù)長(zhǎng)度越長(zhǎng)，則越接近。但是誤差是肯定存在的，這種誤差稱為截?cái)嗾`差。

對(duì)FIR濾波器的影響：由于加窗后無(wú)限長(zhǎng)的變?yōu)橛邢揲L(zhǎng)的，肯定會(huì)引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是通常所說(shuō)的吉布斯（Gibbs）效應(yīng)。吉布斯效應(yīng)直接影響濾波的性能，導(dǎo)致通帶內(nèi)的平穩(wěn)性變差和阻帶衰減不能滿足技術(shù)指標(biāo)。通常濾波器設(shè)計(jì)都要求過(guò)渡帶越窄越好，阻帶衰減越大越好。所以設(shè)計(jì)濾波器的方法要使吉布斯效應(yīng)的影響降低到最小。調(diào)整窗口長(zhǎng)度N只能有效的控制過(guò)渡帶的寬度，并不能減少帶內(nèi)波動(dòng)以及增大阻帶衰減。要想減小吉布斯效應(yīng)的影響，增加是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。如果改變窗函數(shù)的形狀，使其幅度函數(shù)具有較低的旁瓣幅度，就可減小通帶、阻帶的波動(dòng)，并加大阻帶衰減。但是這時(shí)主瓣將會(huì)加寬以包含更多的能量，故而將會(huì)增加過(guò)渡帶寬度。所以當(dāng)一定時(shí)，減小波動(dòng)和減小過(guò)渡帶是一對(duì)矛盾。必須根據(jù)實(shí)際要求，選擇合適的窗函數(shù)以滿足波動(dòng)要求，然后選擇滿足過(guò)渡帶指標(biāo)。

設(shè)計(jì)步驟：（1）根據(jù)對(duì)阻帶衰減以及過(guò)渡帶的指標(biāo)要求，選擇窗函數(shù)的類型，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N；（2）構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)，即（3）計(jì)算：如果給出待求濾波器的頻響函數(shù)為，那么在單位脈沖響應(yīng)作用下：；（4）加窗得到設(shè)計(jì)結(jié)果：

簡(jiǎn)答題(重點(diǎn))：

1. 用窗口法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器時(shí)，為了改善阻帶的衰減特性，窗函數(shù)形狀需要滿足的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是什么？

對(duì)窗口函數(shù)形狀要求：(1)盡量減少窗口頻譜中的旁瓣，使能量盡量集中在主瓣中，這樣可減少上沖和余振，提高阻帶衰減。(2)主瓣寬度盡量窄，以獲得較陡的過(guò)渡帶。

2. 什么是吉布斯現(xiàn)象（效應(yīng)）？如何有效減少該效應(yīng)的影響？（有限長(zhǎng)的序列h(n)去代替無(wú)限長(zhǎng)的hd(n)，肯定會(huì)引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是通常所說(shuō)的吉布斯（Gibbs）效應(yīng)。該效應(yīng)引起過(guò)渡帶加寬以及通帶和阻帶內(nèi)的波動(dòng)，尤其使阻帶的衰減小，從而滿足不了技術(shù)上的要求。減少該效應(yīng)只能從窗函數(shù)的形狀上找解決問(wèn)題的方法。構(gòu)造新的窗函數(shù)形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量，相應(yīng)旁瓣幅度更小。旁瓣的減小可使通帶、阻帶波動(dòng)減小，從而加大阻帶衰減。）

3. 窗口法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器，改變窗的寬度對(duì)濾波器的頻率特性有什么影響？

4. 簡(jiǎn)要說(shuō)明窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器的一般步驟。

5. 綜述數(shù)字濾波器的兩個(gè)主要分類IIR和FIR濾波器的特點(diǎn)和設(shè)計(jì)方法的不同。