?從知識上而言，張量分析 源于 微積分與線性代數，為 連續(xù)介質力學（有限變形理論、本構理論）提供了直接的基礎，又聯(lián)系與微分流形。由此，本課程基于 微積分與線性代數 建立 張量（多重線性函數）的微積分，包括 張量代數、張量微分學、張量積分學，可作為高維微積分（針對向量值映照）的一種發(fā)展。本課程的數學方面，張量代數基于外積運算，微分學與積分學的建立聯(lián)系與微分流形；力學方面，張量微積分的應用聯(lián)系與體積、曲面形態(tài)連續(xù)介質的有限變形理論。

?

本課程表現(xiàn)為基于知識體系的內在結構，實現(xiàn)張量分析、微分流形、連續(xù)介質力學的融合。

（1）?張量的引入

1-1 微分同胚與構型?

基于 微分同胚 引入 體積介質運動的 物理構型 與 參數構型

1-2?體積介質的變形梯度

基于 向量值映照的可微性 引入 變形梯度，變形梯度 表現(xiàn) 張量的形式

（2）外積運算

外積運算 基于 置換算子，置換算子 基于 置換運算，由此 置換運算 是本質，講述中歸納了 置換運算的 基本性質，后續(xù)所有的相關運算 都歸結于 置換運算的基本性質。

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講述按 置換運算、置換算子、對稱化與反稱化算子、外積運算的次序。

2-1?置換運算

置換運算的一個直接應用是 行列式的定義，就此 給與了 行列式的解析表達式

基于行列式的解析表達式，結合微積分中的體積分換元公式 解析獲得 體積系統(tǒng)的輸運方程。

2-2?置換算子

2-3 對稱化與反稱化算子

2-4?外積運算

2-5?外積運算的相關應用

外積運算的一個重要應用為 仿射量（二階張量）的特征問題，包括：仿射量行列式的外積定義；仿射量特征多項式中主不變量的表示；Cayley-Hamilton定理（基于外積運算形式）

力學數學 謝錫麟

2023年07月27日 第一次發(fā)布