前言：

看了優(yōu)秀作者@樂正垂星做的一期視頻彎曲的空間長什么樣？，便產(chǎn)生了對數(shù)學知識的無比震撼！之前我胡思亂想寫過一篇文章“螞蟻”曲線引發(fā)的探索不知覺地就沾上邊了hhh~自賣自夸一波，我瞬間對自己學好數(shù)學這門基礎學科(的皮毛)充滿了信心！

好了不扯太多無關的了~

ps:另外，由于b站專欄機制限制圖片只能發(fā)100張，而用LaTeX輸入的公式也屬于圖片范疇。因此為了將此篇文章寫完，一些字符非必要不用LaTex碼，可能會影響觀感...

正文：

先來到視頻01:57處提及的"雙極坐標"

我們考慮從直角坐標入手轉化為上述坐標

選基準點為A(a,0),B(-a,0)，分別過其做方向角為α,β的直線，那么其交點就可以通過聯(lián)立直線方程解出了：

于是標色部分其實就是兩坐標間的轉化關系。也就是說，如果我們知道了兩直線方向角，那么就可以代入上式求出x和y，這也就完成了(α,β)→(x,y)的映射(也即由該坐標系向平面直角坐標系轉化的橋梁)

這個轉化關系非常重要，后面還會再提及~

然后到了視頻02:15處

“不把坐標系畫標準”這句話富有內(nèi)涵！需要觀眾們反復斟酌的。

意思就是：只有標準的坐標系才可以直接使用勾股定理以及其他我們所學的平面幾何知識。這個放后文再講~

ps:視頻后面其實也提到了“每個空間都有它自己的勾股定理”，乍一聽有些別扭，但其實跟這句話是相照應的，也恰好符合上文中我對其的翻譯(標大部分)

我們可以暫時先放掉這兩句聽著略帶別扭又富含深意的話。感興趣者可以先換種思路，嘗試著按下文中筆者的理解或許也能給部分讀者助解：

也就是同一函數(shù)在不同坐標系中的畫法不同

就以視頻02:45處為例，在(左圖)極坐標系中畫出點相連的線段，我們需要求出該線段的極坐標方程

若對其性質(zhì)了解熟悉，可以直接在原圖根據(jù)幾何關系求出

作線段的垂線，由于線段端點到原點距離相等(均為4)，因此兩端點與原點構成等腰三角形

那么根據(jù)"三線合一"可求出垂線段長為4cos60°=2，垂足對于的極角為-30°+60°=30°

從而確定垂足的點坐標：

于是從開始，逆時針旋轉φ，則對應的極徑變?yōu)?secφ

順時針旋轉同理

再根據(jù)線段端點可確定旋轉范圍：

則極角范圍：

線段對于極坐標方程：

即

如果不熟悉極坐標性質(zhì)，那就得兜個圈子?？梢韵葟闹苯亲鴺巳胧謱懗龇匠?，再轉化為極坐標方程

根據(jù)轉化關系可完成(ρ,θ)→(x,y)的映射(即將極坐標化為直角坐標)

兩線段端點轉化到直角坐標表示為：

寫出其直線方程為：

根據(jù)轉化關系得：

整理即得：

ps:化簡需用到輔助角公式

再限制極角范圍即得線段的極坐標方程

由此可以說明，函數(shù)在極坐標系中的圖像是一條線段

這里的自變量是θ，因變量是ρ，闡述的是ρ隨θ的變化關系(直觀而言：自變量增大則對應逆時針旋轉，其闡述的是逆時針旋轉過程中點到原點(有向)距離的變化)

ps:之所以說“有向距離”是因為ρ也可以取負值，此時相當于沿著θ反方向走，這些概念在初學時應該都有提及，這里就不多贅述了

而如果函數(shù)在直角坐標系中的圖像又是如何呢？

其對應的是正割函數(shù)(當然是由y=secx經(jīng)過平移和拉伸得到的)的一段

在直角坐標系中，這里的自變量是x，因變量是y，闡述的是y隨x的變化關系(直觀而言：自變量增大則對應向右平移，其闡述的是向右平移過程中點到y(tǒng)軸(有向)距離的變化)

這也就是筆者在前文所說的“同一函數(shù)在不同坐標系中的畫法不同”，換而言之，對于同一函數(shù)而言，在不同的坐標系中會以不同的樣貌展現(xiàn)。

怎樣？筆者的這個理解門檻是不是低一些呢？

再來看到視頻02:57處

考慮寫出極坐標下直線的一般方程

先寫出直角坐標下直線的一般方程：Ax+By+C=0

化為極坐標方程，即：Aρcosθ+Bρsinθ+C=0

整理得：

說明函數(shù)在極坐標系中的圖像是一條直線

那么函數(shù)在直角坐標系中的圖像是怎么樣的呢？

根前面的情況類似，也是經(jīng)過平移和伸縮變換的正割函數(shù)

當直線在極坐標中上下平移時，就是參數(shù)C在改變；而在直角坐標系中，C的改變就是對應沿y軸方向的拉伸了。

我們前面說過了，同一函數(shù)而言，在不同的坐標系中會以不同的樣貌展現(xiàn)。

那么上面的這個現(xiàn)象又說明了什么呢？改變參數(shù)會使函數(shù)在不同坐標系中也會以不同姿態(tài)進行變換。

就如上面這個函數(shù)而言，改變參數(shù)C，其在極坐標系中的圖像會上下平移，而其在直角坐標系中的圖像會縱向伸縮。

還有很多這樣的例子，比如直角坐標系中，函數(shù)y=f(x)到y(tǒng)=f(x-a)，可視為將函數(shù)圖像向右平移了a個單位；

而極坐標系中，函數(shù)ρ=f(θ)到ρ=f(θ-a)，可視為將函數(shù)圖像逆時針旋轉a弧度個單位

好了，筆者寫這篇專欄是間斷著些的，中間停留了一段時間導致思路出現(xiàn)不太流暢，不過檢查了一遍發(fā)現(xiàn)問題不大，就是沒銜接太好，因此這里再補充幾點敘述：

上文花了很多筆墨，其實關鍵是想表明：同一函數(shù)在不同的坐標系中會以不同的樣貌展現(xiàn)

就如y=secx在平面直角坐標系中是正割函數(shù)：

其自變量是x，因變量是y

而ρ=secθ在極坐標系中是一條直線：

其自變量是θ，因變量是ρ

上述這兩種坐標系都是標準的(前面提及的全部都是標準的坐標系)

那么什么是不標準的坐標系呢？通俗一點講，就是“使用的坐標系和真實的坐標系不一致”

比如說我要畫的圖像，本應該畫在極坐標系中(真實的坐標系)，但我硬生生地用直角坐標系(使用的坐標系)畫出來

使用的坐標系畫出來是這樣：

自變量是θ，因變量是ρ，但是是硬生生地用直角坐標畫的，因此是“不標準的坐標系”

好了，現(xiàn)在我要求這條曲線從點到點的弧長

說是求弧長，但由于這是非標準的坐標系，因此不能使用直接求坐標系中的那段弧長

因為這不是真實的坐標系，也就是說言下之意就是畫出標準的極坐標系，再求從處的點到處的點間的弧長：

如圖橙色線才是真實的弧長

兩端點的極坐標：

化為直角坐標得：

用勾股定理求得長度為：

ps:這里化為了標準的坐標系才可使用勾股定理

另外，這題比較特殊，因為我們提前知道了這條曲線長什么樣，那如果不知道這條曲線張什么樣，那就套極坐標下的弧長公式：

證明的話在視頻的07:22處也提到了

這是標準的極坐標系，因此才可使用勾股定理

由于微元極小，因此以直代曲rdθ近似為直線，由勾股定理有：

于是弧長為：

然后是到了視頻04:43部分

我們解釋了什么叫非標準的坐標系，也就是使用的坐標系并不是實際的坐標系，因此也就可以解釋這里的這個問題了：

左邊的這幅圖是標準的直角坐標系，圖示的直線方程為：

直角坐標系中要求曲線長度，同樣是以直代曲

那么弧微分即

于是

ps:當然，這里剛好是直線，因此直接使用勾股定理更方便。這里采用弧微分顯得有些小題大做，但針對的是曲線為一般表達式的情況

而右邊這幅圖就不是標準的坐標系了，我使用的是直角坐標系，但其實想表達的真實的坐標系卻是極坐標系，因此我們需要把真實的坐標系還原回去

表達式：

其在真實的極坐標系中是如上的一段曲線

因此采用極坐標下的弧長公式：(前文已經(jīng)推導過)

于是曲線長為：

經(jīng)計算機驗算，結果與視頻中的數(shù)字一致

然后到了視頻05:12處，

想必讀者們對世界地圖都不陌生，這就是個典例

左邊是真實的球面，而右邊的卻是硬生生畫成的平面。

坐標的坐標系可用空間直角坐標系或廣義球坐標系表示，而右邊是用直角坐標表示

也即世界地圖是使用的直角坐標系(右邊)，而真實的坐標系卻是空間直角坐標系/球坐標系

另外，球面幾何是非歐幾何，也就是不能展開為平面的。

3b1b也做過一期視頻闡述，感興趣者可參考：

【官方雙語】直觀視覺（偽）證明三例

然后到了視頻06:07開始提到的線元

直角坐標系和極坐標系的線元視頻中提及了，文章前面也帶讀者證明過了一遍。

這兩組等式，分別都可以直接在圖中通過微元以取代直后使用勾股定理得到

而如果針對的是一般情況，也就是真實的坐標系不知道如何畫，該怎么辦呢？

ps:能直接推當然最好，而以下的流程是針對一般的難以憑想象畫出的復雜的坐標系

比如如果不知道極坐標怎么畫，那么可以通過直角坐標，利用轉化關系進行替換得到

這里就用到開頭提及的“轉化關系”了

我們知道極坐標與直角坐標的轉化關系：

于是有：

則

再來推導單位球的線元：(視頻07:36)

取球坐標的參數(shù)方程：

這其實也可視為硬畫的直角坐標與球坐標之間的轉化關系

ps:(x,y,z)在真實的空間直角坐標系(視為地球儀)，而(θ,φ)在硬畫的直角坐標系中(視為世界地圖)

則在真實的空間直角坐標系中，通過弧微分以直代曲后使用勾股定理：

其中

代入上式整理得：

ps:細心的讀者會注意到視頻中后面一項是sin2θ，那就是筆者和up主選取的參數(shù)方程不同，up主選取的參數(shù)方程就是

再來看到拋物面的線元

真實的坐標系就是空間直角坐標系，通過弧微分以直代曲后使用勾股定理：

其中

于是

通過上述幾個例子，可以得知：

當坐標系標準時，線元可直接使用勾股定理；

而當坐標系不標準時，線元需要轉化到標準時再利用勾股定理求之

比如標準的直角坐標系中，(二維)，(三維)

標準的極坐標系中，

標準的球坐標系中，(具體得看參數(shù)角的方位)

而如果我給你的是一個平面直角坐標系，單告訴你它的線元卻是

這說明我使用的是平面直角坐標系(不標準的)，但真實的坐標系卻是極坐標系(標準的)，因此線元這一微分式的意義在于說明使用的平面直角坐標系是否標準(比如二維而言，若線元不是則說明坐標系不標準)同時也間接指定了真實的空間的性質(zhì)。(盡管對于復雜的線元式我們難以直接畫出其空間)

總結：

也沒太多好總結的，畢竟自己也是半桶水罷了(

主要是先闡述了“同一函數(shù)在不同坐標系中的畫法不同”，其根本原因是自變量和因變量在各個坐標系中代表的意義不同。比如平面直角坐標系中的x,y和極坐標系中ρ,θ代表的意義不同

就以常數(shù)函數(shù)y=1為例。在平面直角坐標系中，其為一條水平的直線，其代表的意義是隨著x增大"向右運動",y值始終不變(與x軸的有向距離始終不變)

而常數(shù)函數(shù)ρ=1，在極坐標系中，其為一個單位圓，其代表的意義是隨著θ增大"逆時針旋轉",ρ值始終不變(與原點的有向距離始終不變)

為了闡述清楚因此就又舉了上面一個例子了

然后是提及了(標準的)平面直角坐標系/空間直角坐標系/極坐標系/球坐標系中線元的推導。

具體的在前文也已經(jīng)歸納過：

最后是提及了坐標系是否標準的問題。可以通過看線元表達式來判斷其是否標準。比如平面直角坐標系中，只有當線元為才標準，其余的情況說明：這個坐標系是不標準的，而線元也間接反應了真實標準的空間的性質(zhì)。

這一點皮毛都足以讓筆者如癡如醉，足以反映數(shù)學無窮無盡的魅力~期待著未來去探尋更多微分幾何的奧妙~