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在六西格瑪課堂中，有同學(xué)提出了一個(gè)問題，就是偏態(tài)分布的平均值和中位數(shù)為何會(huì)不相等？要回答這類問題，我們必需要先明白平均值和中位數(shù)的定義和計(jì)算原理，再了解他們?cè)诜植贾械奶匦?，以形象化的方法來解釋。今天，?yōu)思學(xué)院會(huì)深入探討一下，為什么偏態(tài)分布的平均值和中位數(shù)會(huì)出現(xiàn)不一致。

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，偏態(tài)分布是指數(shù)據(jù)集中的值不對(duì)稱地分布在平均值周圍。根據(jù)百度百科的定義：

偏態(tài)分布是與“正態(tài)分布”相對(duì)，分布曲線左右不對(duì)稱的數(shù)據(jù)次數(shù)分布，是連續(xù)隨機(jī)變量概率分布的一種?？梢酝ㄟ^峰度和偏度的計(jì)算，衡量偏態(tài)的程度。可分為正偏態(tài)和負(fù)偏態(tài)，前者曲線右側(cè)偏長，左側(cè)偏短；后者曲線左側(cè)偏長，右側(cè)偏短。

這種不對(duì)稱性可能導(dǎo)致平均值和中位數(shù)之間的差異，即它們不相等。

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什么是偏態(tài)分布？

偏態(tài)分布是指數(shù)據(jù)分布不對(duì)稱的情況，其中一個(gè)尾部比另一個(gè)更長或更重。這種不對(duì)稱性可能是由于異常值、極端情況或特定趨勢引起的。偏態(tài)分布通常分為正偏態(tài)（右偏）和負(fù)偏態(tài)（左偏）兩種情況。

平均值和中位數(shù)的定義

平均值是一組數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的結(jié)果。中位數(shù)是將數(shù)據(jù)集按順序排列后，位于中間的值。平均值和中位數(shù)都是衡量數(shù)據(jù)集集中趨勢的方式。

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平均值和中位數(shù)的比較

在對(duì)稱分布（如正態(tài)分布）中，平均值和中位數(shù)通常相等，我們來看看以下數(shù)據(jù)的一個(gè)例子。

4；5；6；6；6；7；7；7；7；7；7；8；8；8；9；10

以上數(shù)據(jù)集可以用以下直方圖表示。每個(gè)區(qū)間的寬度是1，每個(gè)值都位于區(qū)間的中間。

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直方圖顯示數(shù)據(jù)的對(duì)稱分布。如果可以在直方圖中的某個(gè)點(diǎn)繪制垂直線，使得垂直線左側(cè)和右側(cè)的形狀互為鏡像，則分布是對(duì)稱的。這些數(shù)據(jù)的平均值、中位數(shù)和眾數(shù)均為 7。在完全對(duì)稱的分布中，平均值和中位數(shù)相同。

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然而，在偏態(tài)分布中，它們可能不相等。這是因?yàn)槠骄凳艿綐O端值的影響，而中位數(shù)受到極端值的影響較小。

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我們來看看另一個(gè)例子，數(shù)據(jù)如下：

6 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 8 ；8 ；8 ；9

如下圖所示，分布是不對(duì)稱的。它向右傾斜。

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這組數(shù)據(jù)的平均值為 7.7，中位數(shù)為 7.5，眾數(shù)為 7。在這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量中，均值最大，而眾數(shù)最小。同樣，均值最能反映偏差。當(dāng)數(shù)據(jù)分布向左傾斜時(shí)，均值往往小于中位數(shù)。當(dāng)分布向右傾斜時(shí)，平均值通常大于中位數(shù)。

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偏態(tài)分布的情況

在正偏態(tài)分布中，大部分?jǐn)?shù)據(jù)位于分布的左側(cè)，而尾部延伸到右側(cè)，因此，偏度方向是右則。我們可以記住兩個(gè)重點(diǎn)：

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• 偏度會(huì)將平均數(shù)拉向偏度方向。

• 中位數(shù)始終位于均值和眾數(shù)之間。

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例如，一組薪資數(shù)據(jù)中，少數(shù)人的高薪將導(dǎo)致平均數(shù)工資增加，而中位數(shù)則不受極端數(shù)據(jù)影響，總之其意義在于50%的人工資高于中位數(shù)，50%人低于中位數(shù)。

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所以，偏態(tài)分布的程度取決于數(shù)據(jù)中的極端值數(shù)量和程度。極端值越多越極端，分布就越傾斜。這些極端值會(huì)影響平均值，但對(duì)中位數(shù)影響較小。

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結(jié)論

偏態(tài)分布的平均值和中位數(shù)通常不相等，這是由于數(shù)據(jù)分布的不對(duì)稱性所導(dǎo)致的。了解這種差異對(duì)于正確地解釋和分析數(shù)據(jù)至關(guān)重要。