復習筆記Day110：概率論知識總結

2023-03-01 21:15 作者:間宮_卓司 0人讀過 | 我要投稿

和之前說的一樣，現在來歸納一下這本概率論的內容，我只寫我看了的部分。想要這本書的朋友直接去搜概率論?應堅剛，然后第一個搜索結果的簡介上面就有了

第一章? ?初等概率論

§1.1~1.5

介紹了一些概率論的歷史和一些排列組合的知識

第二章? ?概率空間與隨機變量

§2.1? ?集合

數學基礎好的讀者可以忽略本節(jié)內容

§2.2? ?概率空間

定義2.2.1 引入了 $%5Csigma-$ 域的概念， $%5Csigma-$ 域是某個集合的一些子集構成的集合。對于子集構成的集合（書上叫子集類） $%5Cmathscr%7BF%7D%20$ ，如果其滿足(1)空集，全集都在 $%5Cmathscr%7BF%7D%20$ 里面;(2)如果一個集合在 $%5Cmathscr%7BF%7D%20$ 里面，那么它的子集也在 $%5Cmathscr%7BF%7D%20$ 里面;(3) $%5Cmathscr%7BF%7D%20$ 中元素的可列并仍然是 $%5Cmathscr%7BF%7D%20$ 中的元素

簡單來說， $%5Csigma-$ 域是包含了空集和全集，并且對可列并和補集運算保持封閉的子集類

引理2.2.1? $%5Csigma-$ 域對交、并、差、可列交保持封閉

定義2.2.1 引入了概率的概念，概率是衡量 $%5Csigma-$ 域中的集合的“大小”的概念， $%5Csigma-$ 域上的函數 $%5Cmathbb%7BP%7D%20$ 被稱為概率測度，如果其滿足(1)非負性： $%5Cmathbb%7BP%7D%20$ 作用在定義域中的任何元素都是非負的;(2)規(guī)范性： $%5Cmathbb%7BP%7D%20$ 作用在全集上結果為1;(3)可列可加性： $%5Cmathbb%7BP%7D%20$ 作用在可列個互不相交的元素的并的結果等于其分別作用在這些元素上然后再求和（即先取并再作用等于先作用再求和）

引理2.2.2?給出了一些概率測度的性質，比較顯然，就懶得寫了

這樣一來，給定了一個集合 $%5COmega%20$ ，這個集合的一個滿足 $%5Csigma-$ 域的條件的子集族 $%5Cmathscr%7BF%7D%20$ 和定義在 $%5Cmathscr%7BF%7D%20$ 上的一個概率測度 $%5Cmathbb%7BP%7D%20$ ，就可以得到一個概率空間 $%5Cleft(%20%5COmega%20%2C%5Cmathscr%7BF%7D%20%2C%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cright)%20$ ，這個定義不能說很理所當然，但我覺得還是比較合理的

§2.3?? 隨機變量與分布

定理2.3.1 給出了逆像的一些性質，說明了逆像運算可以和補、任意交、任意并交換順序

定義2.3.1?給出了隨機變量的定義，隨機變量是以概率空間 $%5Cleft(%20%5COmega%20%2C%5Cmathscr%7BF%7D%20%2C%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cright)%20$ 中的 $%5COmega%20$ 為定義域的函數，類似于 $%5Ctext%7BLebesgue%7D$ 可測函數的定義，一個函數 $%5Cxi$ 可以被稱為隨機變量，如果它滿足對任意實數 $x$ ，都成立 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20%5Cle%20x%20%5Cright%5C%7D%20%3A%3D%5Cleft%5C%7B%20w%5Cin%20%5COmega%20%3A%5Cxi%20%5Cleft(%20w%20%5Cright)%20%5Cle%20x%20%5Cright%5C%7D%20%5Cin%20%5Cmathscr%7BF%7D%20$ ，也稱這樣的 $%5Cxi$ 是 $%5Cmathscr%7BF%7D%20$ 可測的。

這個定義是可以理解的，因為這個集合如果在 $%5Cmathscr%7BF%7D%20$ 之外，就沒辦法用概率測度去衡量它的大小了。從定義里面可以看出，一個函數是否是隨機變量取決于 $%5Cmathscr%7BF%7D%20$ 。舉個最極端的例子，對于拋硬幣，其樣本空間為 $%5COmega%20%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Ctext%7B%E6%AD%A3%E9%9D%A2%EF%BC%8C%E5%8F%8D%E9%9D%A2%7D%20%5Cright%5C%7D%20$ ，然后定義隨機變量 $%5Cxi$ 滿足

$%5Cxi%20%5Cleft(%20%5Ctext%7B%E6%AD%A3%E9%9D%A2%7D%20%5Cright)%20%3D1%2C%5Cxi%20%5Cleft(%20%5Ctext%7B%E5%8F%8D%E9%9D%A2%7D%20%5Cright)%20%3D0$

但是如果把 $%5Cmathscr%7BF%7D%20$ 取成 $%5Cleft%5C%7B%20%5COmega%20%2C%5Cvarnothing%20%5Cright%5C%7D%20$ ， $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20%5Cle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright%5C%7D%20$ 就不在 $%5Cmathscr%7BF%7D%20$ 里面了。不過一般來說對于有限個或者可列個元素的樣本空間， $%5Cmathscr%7BF%7D%20$ 一般取成樣本空間的冪集的形式，也就是樣本空間所有的子集構成的集合，也是對于樣本空間而言最大的 $%5Csigma-$ 域，所以一般不用擔心這種問題。

定理2.3.2? $%5Cmathscr%7BF%7D%20$ 可測的隨機變量全體構成線性空間

證明思路和實變函數中證明 $%5Ctext%7BLebesgue%7D$ 可測函數全體構成線性空間是一樣的

和研究 $%5Ctext%7BLebesgue%7D$ 可測函數一樣（至少我知道的，實變函數歧視鏈最底端的程其襄），接下來從比較簡單的隨機變量開始研究，稱值域為至多可列集的隨機變量為離散隨機變量，如果值域只有有限個值，就稱為簡單隨機變量，隨機變量 $%5Cxi$ 的值域用 $R%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%20$ 來表示

引理2.3.1 若 $R%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%20$ 是至多可列集，那么 $%5Cxi$ 是隨機變量當且僅當 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20%3Dx%20%5Cright%5C%7D%20%5Cin%20%5Cmathscr%7BF%7D%20%2C%5Cforall%20x%5Cin%20R%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%20$

根據這個引理， $%5Cxi$ 和 $R$ 上的函數 $f$ 的復合 $f(%5Cxi)$ 仍然是隨機變量

定義2.3.2? $R$ 上的函數 $F_%7B%5Cxi%7D%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3A%3D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cle%20x%20%5Cright)%20$ 被稱為 $%5Cxi$ 的分布函數

定理2.3.3?分布函數 $F_%7B%5Cxi%7D%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 有以下三點性質:(1)它是單調遞增的;(2)它是右連續(xù)的;(3) $F_%7B%5Cxi%7D%5Cleft(%20-%5Cinfty%20%5Cright)%20%3D0%2CF_%7B%5Cxi%7D%5Cleft(%20%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%3D1$

對于第二點，仍然以拋硬幣為例子：

$F_%7B%5Cxi%7D%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%090%2Cx%3C0%5C%5C%0A%09%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C0%5Cle%20x%3C1%5C%5C%0A%091%2C1%5Cle%20x%5C%5C%0A%5Cend%7Bcases%7D$

如果把分布函數定義中的小于等于換成小于，那應該就是左連續(xù)而不是右連續(xù)了

定義2.3.3 兩個隨機變量被稱為同分布，如果它們的分布函數相等

雖然書上好像沒有講，但是我猜兩個隨機變量同分布當且僅當它們幾乎處處相等

第三章? ?條件概率與全概率公式

§3.1? ?獨立性

定義3.1.1?稱事件 $A_1%2C%5Ccdots%20%2CA_n%2C%5Ccdots%20$ 相互獨立，如果其任何的有限多個 $A_%7Bi_1%7D%2C%5Ccdots%20A_%7Bi_k%7D$ ，成立：

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A_%7Bi_1%7D%5Ccap%20%5Ccdots%20%5Ccap%20A_%7Bi_k%7D%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A_%7Bi_1%7D%20%5Cright)%20%5Ccdots%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A_%7Bi_k%7D%20%5Cright)%20$

這里的事件其實就是 $%5Cmathscr%7BF%7D%20$ 中的元素，而隨機變量 $%5Cxi%20_1%2C%5Ccdots%20%2C%5Cxi%20_n$ 相互獨立是指對任意的 $x_i%5Cin%20R%2C1%5Cle%20i%5Cle%20n$ ，有

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20_1%5Cle%20x_1%2C%5Ccdots%20%2C%5Cxi%20_n%5Cle%20x_n%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20_1%5Cle%20x_1%20%5Cright)%20%5Ccdots%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20_n%5Cle%20x_n%20%5Cright)%20$

需要注意相互獨立并不等于兩兩獨立

引理3.1.1?(1)隨機變量 $%5Cxi%20_1%2C%5Ccdots%20%2C%5Cxi%20_n$ 相互獨立等價于對任意的 $x_i%5Cle%20y_i%5Cin%20R%2C1%5Cle%20i%5Cle%20n$ ，有

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20x_1%3C%5Cxi%20_1%5Cle%20y_1%2C%5Ccdots%20%2Cx_n%3C%5Cxi%20_n%5Cle%20y_n%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20x_1%3C%5Cxi%20_1%5Cle%20y_1%20%5Cright)%20%5Ccdots%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20x_n%3C%5Cxi%20_n%5Cle%20y_n%20%5Cright)%20$

(2)如果它們是離散的，那么獨立等價于

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20_1%3Dx_1%2C%5Ccdots%20%2C%5Cxi%20_n%3Dx_n%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20_1%3Dx_1%20%5Cright)%20%5Ccdots%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20_n%3Dx_n%20%5Cright)%20$

§3.2? ?條件概率

定義3.2.1?概率空間上，對于兩個給定的事件 $A%2CB$ ，且 $%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A%20%5Cright)%20%3E0$ 。定義事件 $B$ 在條件 $A$ 下發(fā)生的條件概率為

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20B%7CA%20%5Cright)%20%3A%3D%5Cfrac%7B%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A%5Ccap%20B%20%5Cright)%7D%7B%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A%20%5Cright)%7D$

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Ccdot%20%7CA%20%5Cright)%20$ 也是一個概率測度

引理3.2.1? $%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cleft(%20C%7CB%20%5Cright)%20%7CA%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20C%7CA%5Ccap%20B%20%5Cright)%20$

§3.3? ?全概率公式與Bayes公式

定理3.3.1 設事件 $%5Cleft%5C%7B%20%5COmega%20_n%3An%5Cge%201%20%5Cright%5C%7D%20%5Csubset%20%5Cmathscr%7BF%7D%20$ 是 $%5COmega%20$ 的一個劃分，那么對任何 $A%5Cin%20%5Cmathscr%7BF%7D%20$ ，有

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A%20%5Cright)%20%3D%5Csum_n%5E%7B%7D%7B%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A%5Ccap%20%5COmega%20_n%20%5Cright)%7D%3D%5Csum_n%5E%7B%7D%7B%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A%7C%5COmega%20_n%20%5Cright)%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5COmega%20_n%20%5Cright)%7D$

Bayes公式不算一個定理，不過還是寫一下吧

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5COmega%20_n%7CA%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A%7C%5COmega%20_n%20%5Cright)%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5COmega%20_n%20%5Cright)%7D%7B%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A%20%5Cright)%7D$

其中分母一般是通過全概率公式來計算的

第四章? ?s'x'q'w

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