在這篇筆記中我們回答評論區(qū)中提出的一些問題，例如：如何判定原式確定了一條橢圓曲線、為何需要做坐標(biāo)變換等。

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原式f(a,b,c)=0是關(guān)于3個未知數(shù)的三次齊次方程，其解集是射影平面P^2上的一條代數(shù)曲線。又由隱函數(shù)求導(dǎo)可知其無奇點，應(yīng)用光滑平面曲線的genus-degree公式【1】我們已經(jīng)知道E:=V(f)有虧格g=1，因此是橢圓曲線。

注【1】：d次齊次方程確定的光滑平面曲線的虧格g=(d-1)(d-2)/2。

盡管E（的仿射錐）在a,b,c坐標(biāo)下具有較為對稱的形式，但實踐表明其有理點在這一形式下不易求得。因此我們考慮將E化為橢圓曲線的標(biāo)準(zhǔn)型，在標(biāo)準(zhǔn)型下E的群結(jié)構(gòu)容易計算，并且有許多現(xiàn)成的算法可以利用。

本期視頻的內(nèi)容是通過給出一個具體的雙有理等價，將E化為其仿射標(biāo)準(zhǔn)型。其過程中所使用的技巧具有一定的普遍性。

應(yīng)用上一期視頻的課后習(xí)題，我們可將E進(jìn)一步化為Weierstrass short form?：y^=x^3+ax+b，此時E的群運算將會非常簡潔。

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至此我們已經(jīng)做好了尋找E上的有理點的準(zhǔn)備工作。關(guān)于E(Q)的具體刻畫，敬請期待下一期視頻講解！