*A×B≠B×A講究順序，集合不講究順序

5.區(qū)間

開(kāi)區(qū)間：（a,b)

閉區(qū)間：[a,b]

半開(kāi)半閉：[a,b);(a,b]

有限區(qū)間/無(wú)限區(qū)間（＋∞，-∞）

(＋∞)-(+∞)不確定

(+∞)+(+∞)=+∞

(-∞)-(-∞)不確定

(-∞)+(-∞)=-∞

(+∞)-(-∞)不確定

6.鄰域：U（a，δ）=｛a-δ＜x＜a+δ｝表示以a為中心，δ為半徑

去心鄰域：U（a，δ）={x｜0<｜x-a｜<δ}去掉中心。

1·4數(shù)列極限

1、數(shù)列：X1,X2，...，Xn--無(wú)窮數(shù)列{Xn}

單調(diào)增數(shù)列：X1≤X2≤X3≤...≤Xn

單調(diào)減：X1≥X2≥X3≥...≥Xn

2、有界數(shù)列：|Xn|≤M，反之則是無(wú)界（無(wú)窮大or無(wú)窮?。?/p>

3、極限： 設(shè)有一個(gè)數(shù)列{Xn}，若存在常數(shù)a（極限），使得任給ε＞0，總存在N，當(dāng)n＞N時(shí)，|Xn-a|＜ε（即落在了以a為中心，以ε為半徑的領(lǐng)域里），我們就叫作{Xn}以a為極限（或{Xn}收斂于a），記作

*①用定義證明極限：只需要找到一個(gè)N成立就可以（只要有一個(gè)就會(huì)有無(wú)數(shù)個(gè)）

②求極限：求解過(guò)程中需要做出n＞某個(gè)數(shù)，如果是＜就需要檢查

4、數(shù)列極限的性質(zhì)

（1）性質(zhì)一：如果數(shù)列{Xn}是收斂的，那么它的極限一定是唯一的（收斂于a=極限為a）

證明（反證法）：

（2）性質(zhì)二：如果數(shù)列{Xn}是收斂的，那么它一定是有界的

證明：

*有界是收斂的必要條件，不是充分條件（eg.1,-1,1,-1....)

即有界推不出收斂，但收斂可以推出有界

*單調(diào)有界，則有極限

（3）性質(zhì)3：如果數(shù)列{Xn}有極限a，且a＞0（或a＜0），那么ヨN，n＞N，xn＞0

證明：

(4)子數(shù)列：數(shù)列Xk=X1,X2,X3,X4,X5.....從中抽出指定的項(xiàng)組成新的數(shù)列Xkn=X1,X3,X6,X7,X8......，則數(shù)列{Xkn}是數(shù)列{Xk}的子數(shù)列

eg.Xk=1，2，3，4，5，6，7，8....

Xkn=1，3，6，7，8.....

*子數(shù)列的次序必須和主數(shù)列的次序一樣

*kn≥n

（5）性質(zhì)4：如果數(shù)列{Xn}收斂于a，那么任何子數(shù)列{Xkn}也收斂于a

證明：

①推論1：如果找到一個(gè)子數(shù)列不收斂，則原數(shù)列發(fā)散

②推論2：如果找到兩個(gè)子數(shù)列，雖都收斂，但極限不同，那么原數(shù)列發(fā)散

③推論3：原數(shù)列收斂的充分必要條件?找奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的子數(shù)列都收斂，并且極限都相同

*只找到一個(gè)收斂的子數(shù)列，原數(shù)列不一定收斂

1·5函數(shù)極限（一）

1、當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→a

定義：設(shè)函數(shù)y=f（x），若ヨ常數(shù)a，

?ε＞0，總ヨX，使得x＞x時(shí)，|f（x）-a|＜ε，記作limx→+∞f（x）=a

Eg.理解定義：a=1，?小鄰域半徑0.01，都可以找到X，使得X之后的x完全落在鄰域里

*數(shù)列極限的證明：?ε＞0，找N=[]+1（N必須取整數(shù)）

2、當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→a

定義：設(shè)函數(shù)y=f（x），?ε＞0，ヨX（X＞0）x＜-X，使得|f（x）-a|＜ε

3、當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）→a

定義：設(shè)函數(shù)y=f（x），?ε＞0，ヨX＞0，都有|x|＞X，使得|f（x）-a|＜ε

4、當(dāng)x→x0(x是取不到x0的）時(shí)，f（x）→a

定義：設(shè)函數(shù)y=f（x），f（x）在x0的去心鄰域內(nèi)有定義（即在x0處可以沒(méi)有定義）ヨa，?ε（ε是a的小鄰域的半徑）＞0，ヨ△（△是x0的鄰域的半徑）＞0，使得0＜|x-x0|＜△時(shí)，|f（x）-a|＜ε

*x的變化趨勢(shì)與x0處是否有定義，取值是什么沒(méi)有關(guān)系

5、左極限：x→x0-（即x從x0左側(cè)趨近)時(shí)，?ε＞0，ヨX＞0，都有0＜x0-x＜△，使得f(x)→A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的左極限，記作

6、右極限：x→x0（即x從x0右側(cè)趨近)時(shí)，?ε＞0，ヨX＞0，都有0＜x-x0＜△，使得f(x)→A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的左極限，記作

7、x→x0的函數(shù)極限存在的充要條件

*證明極限是否存在的思路

①只要能證明左（右）極限不存在，則x→x0不存在

②左、右極限都存在，但極限不相等，則x→x0不存在

例題

1·5 函數(shù)極限（二）

1、函數(shù)極限的性質(zhì)

（1）性質(zhì)1：如果極限存在，那么它一定是唯一的

（2）性質(zhì)2（局部有界性）：如果函數(shù)的極限存在，一定存在x0的去心鄰域，使得在這個(gè)鄰域里f（x）是有界的

*去心的原因：x0是極限

（3）性質(zhì)3（局部保號(hào)性）：如果函數(shù)的極限是a，且a＞0，那么一定存在一個(gè)去心鄰域，使得在這個(gè)去心鄰域里f（x）＞0

（4）性質(zhì)4：假設(shè)當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是a，如果a存在，其充要條件是當(dāng)x→x0時(shí)，取任意的一個(gè)數(shù)列{xn}，當(dāng)xn是以x0為極限的時(shí)候，f（xn）[將xn代入f（x）]的極限也必須是a

*從兩種角度理解：

函數(shù)：連續(xù)

數(shù)列：分散（離散）

逆否命題：①如果找到一個(gè)數(shù)列{xn}，它的極限不存在，則函數(shù)的極限不存在；②找到兩個(gè)數(shù)列{xn}的極限（需趨于x0），但是極限不相等，則函數(shù)的極限也不存在

例題

1·6 無(wú)窮小（0）與無(wú)窮大（＋∞/-∞）

1、無(wú)窮小的定義：如果f（x）→0，f（x）的極限為0，則函數(shù)f（x）稱為無(wú)窮?。ㄒ⒚髯兓^(guò)程）

2、無(wú)窮小的定理：

***（1）無(wú)窮?。ā?）×有界是無(wú)窮小

有界：一般是三角函數(shù)居多，做題時(shí)加上絕對(duì)值即可

例題

（2）函數(shù)極限與無(wú)窮小的充要條件：函數(shù)f（x）的極限是a?函數(shù)f（x）=a+α（x），其中α（x）的極限為0

理解：兩邊同時(shí)求極限

3、無(wú)窮大的定義：函數(shù)f（x)→+∞/-∞

4、無(wú)窮大的運(yùn)算性質(zhì)

（1）無(wú)窮大×無(wú)窮大=無(wú)窮大

（2）無(wú)窮大+有界=無(wú)窮大

（3）+∞+（-∞）=常數(shù)/+∞/-∞

（4）+∞+（+∞）=+∞

（5）-∞+（-∞）=未定式

（6）＋∞/+∞=未定式

（7）c（常數(shù)）×無(wú)窮大=0（c為0）/無(wú)窮大（c為非0常數(shù)）

5、無(wú)窮大的定理

（1）如果函數(shù)f（x)是無(wú)窮大，則1/f(x）是無(wú)窮小

（2）如果函數(shù)f（x）是無(wú)窮小，則1/f(x）是無(wú)窮大

*x必須是同一變化過(guò)程

1·7 極限的運(yùn)算法則

1、定理一（四則運(yùn)算）若limf(x)＝a，limg(x)＝b

1)limf(x)±g(x)＝limf(x)±limg(x)＝a±b

2)limf(x)g(x)＝limf(x)·limg(x)

3)limf(x)/g(x)＝limf(x)/limg(x) [b≠0]

前提：f(x)、g(x)的極限存在才能分開(kāi)

推論一：limcf(x)＝climf(x)

c可以往外提的條件：①常數(shù)；②與x無(wú)關(guān)的變量

前提：f(x)的極限存在

推論2：limf（x）^n=（limf（x））^n