【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』，此版叢書(shū)是“數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書(shū)共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書(shū)是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書(shū)卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫(xiě)的注解。

【山話嵓語(yǔ)】『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)』其實(shí)還有新版，即80年代的改開(kāi)版，改開(kāi)版內(nèi)容較新而且還又增添了25本大學(xué)基礎(chǔ)自學(xué)內(nèi)容，直接搞出了一套從初中到大學(xué)的一條龍數(shù)理化自學(xué)教材大系列。不過(guò)我依然選擇6677版，首先是因?yàn)?677版保留了很多古早知識(shí)，讓我終于搞明白了和老工程師交流時(shí)遇到的奇特專業(yè)術(shù)語(yǔ)和計(jì)算模式的來(lái)由。另外就是6677版的版權(quán)風(fēng)險(xiǎn)極小，即使出版社再版也只會(huì)再版80年代改開(kāi)版。我認(rèn)為6677版不失為一套不錯(cuò)的自學(xué)教材，不該被埋沒(méi)在故紙堆中，是故才打算利用業(yè)余時(shí)間，將『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』上傳成文字版。

第十章機(jī)械能

【山話||? 本篇專欄中的力單位達(dá)因等于10??牛頓；功的單位爾格等于10??焦耳。另外這套老教材中的力的單位常用公斤，如今是不允許的，力是不能使用公斤為單位的】?

§10-5機(jī)械能守恒定律

【01】動(dòng)能和勢(shì)能總稱為機(jī)械能，它們是可以相互轉(zhuǎn)換的，我們用自由落體作為例子來(lái)研究它們的轉(zhuǎn)換規(guī)律。

【02】一個(gè)質(zhì)量為 m 的物體在高 h 處的位置（圖10·10）上。這時(shí)，物體沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，所以動(dòng)能EkC＝0，勢(shì)能EpC＝mgh? 。因此，物體的總的機(jī)械能為EC＝EkC＋EpC＝mgh? 。

【03】現(xiàn)在讓物體從 C 點(diǎn)自由落下到地面上的 A 點(diǎn)，如圖10.10所示。這時(shí)，物體落到 A 點(diǎn)時(shí)的速度vA2＝2gh，所以它在A點(diǎn)的動(dòng)能EkA＝1/2mvA2＝1/2m ×?2gh＝mgh? 。

【04】物體在A點(diǎn)的勢(shì)能EpA等于零。所以，物體在A點(diǎn)的總的機(jī)械能為EA＝EkA＋EpA＝mgh? 。

【05】由此可見(jiàn)，物體在從 C 點(diǎn)自由落下到 A 點(diǎn)時(shí)，勢(shì)能完全變?yōu)閯?dòng)能，總的機(jī)械能保持不變。

【06】現(xiàn)在再在物體下落的路線上任意選擇一點(diǎn) B 來(lái)進(jìn)行研究。B 點(diǎn)的高度是(h－h(huán)?)，所以物體在B點(diǎn)的勢(shì)能為 EpB＝mg(h－h(huán)?)＝mgh－mgh?，即勢(shì)能減少了mgh?? 。

【07】物體從 C 點(diǎn)自由下落經(jīng)過(guò) B 點(diǎn)時(shí)的速度vB2＝2gh?；所以物體在B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為EkB＝1/2mvB2＝1/2m ×?2gh?＝mgh?，即動(dòng)能增加了mgh?? 。

【08】物體在 B 點(diǎn)的總的機(jī)械能為EB＝EkB＋EpB＝mgh?＋mgh－mgh?＝mgh? 。

【09】由此可見(jiàn)，物體自由落下時(shí)，在任何一段路程上的勢(shì)能減少等于在那一段路程上的動(dòng)能增加，但是總的機(jī)械能保持不變。

【10】利用同樣的方法可以證明，豎直上拋的物體，如果不考慮空氣的阻力，那么，在它上升的過(guò)程中動(dòng)能的減少總是等于勢(shì)能的增加，但是總的機(jī)械能保持不變。

【11】不僅重力勢(shì)能可以與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)變，彈性勢(shì)能也可以與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)變。

【12】如圖10·11所示，在水平光滑的桌面上放一彈簧，一端固定，一端系一小球。球在位置1時(shí)，彈簧不伸不縮，沒(méi)有彈性勢(shì)能?，F(xiàn)把小球拉到位置2然后放手，使在桌面上來(lái)回運(yùn)動(dòng)。當(dāng)球在位置2時(shí)，動(dòng)能為零，彈簧因被拉長(zhǎng)而具有勢(shì)能。從位置2轉(zhuǎn)向位置1時(shí)，彈簧逐漸恢復(fù)原長(zhǎng)，勢(shì)能逐漸轉(zhuǎn)變成動(dòng)能；到達(dá)位置1時(shí)，全部勢(shì)能變成了動(dòng)能。從位置1轉(zhuǎn)向位置3時(shí)，彈簧逐漸被壓縮，動(dòng)能逐漸轉(zhuǎn)變成勢(shì)能；到達(dá)位置3時(shí)，全部動(dòng)能變成了勢(shì)能。從位置3回到位置1和從位置1回到位置2時(shí)，象以前那樣重復(fù)勢(shì)能和動(dòng)能的變化。

【13】同樣地可以證明，在這個(gè)動(dòng)能和彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)變的過(guò)程中，如果沒(méi)有摩擦力和其他阻力的存在，總的機(jī)械能也保持不變。

【14】因此，從上面的分析中，我們可以得出一個(gè)重要的結(jié)論：在勢(shì)能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)變的過(guò)程中，如果沒(méi)有摩擦力和媒質(zhì)的阻力的存在，也沒(méi)有外力做功，則總的機(jī)械能保持不變。這就是機(jī)械能守恒定律，它是最普遍的自然定律一能的轉(zhuǎn)變和守恒定律的一種特殊形式。

【15】工程上利用動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)變來(lái)完成一件工作的例子是很多的。例如在筑路或者打壩的時(shí)候，為了使路基或堤壩堅(jiān)固，工人們要用硪把松散的泥土打緊.當(dāng)工人們把俄舉起來(lái)的時(shí)候，抵抗重力做功，增加了勢(shì)能；當(dāng)硪落下來(lái)的時(shí)候，勢(shì)能轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)能；等它打到泥土上的時(shí)候，又消耗了動(dòng)能，克服泥土的阻力做功。

例8.一個(gè)物體豎直上拋的速度是49米/秒。計(jì)算它的勢(shì)能和動(dòng)能在什么高度時(shí)恰好相等。

【解】設(shè)在離拋出處 h 高度的地方，動(dòng)能和勢(shì)能恰好相等，則在這個(gè)地方的總的機(jī)械能應(yīng)該等于勢(shì)能的兩倍，即 2mgh? 。根據(jù)機(jī)械能守恒定律，這個(gè)機(jī)械能應(yīng)該等于把物體上拋時(shí)的動(dòng)能，所以，即在離拋出處61.25米高度的地方，動(dòng)能和勢(shì)能恰好相等。

例9.物體由長(zhǎng) L 和高 h 的光滑斜面的頂點(diǎn)滑下，試證明在達(dá)到斜面末端時(shí)的速度為 v＝。先用動(dòng)力學(xué)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式證明，再用動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)變定律證明。

【解】

(1)用動(dòng)力學(xué)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式證明。

使物體沿斜面滑下的力為 mgsinθ＝mgh/L? 。根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律 f＝ma，得mgh/L＝ma，∴ a=gh/L，即物體沿光滑的斜面滑下的加速度為gh/L，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式 v2＝2aS，已知S=L，所以? 。

(2)用動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)變定律證明。

物體在斜面的頂點(diǎn)時(shí)，動(dòng)能等于零，勢(shì)能等于mgh? 。物體在沿斜面滑下的過(guò)程中，勢(shì)能逐漸減小，而動(dòng)能則逐漸增加；到達(dá)斜面底時(shí)，全部勢(shì)能都轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)能，所以1/2mv2＝mgh，∴v＝? 。

習(xí)題10-5

1、一個(gè)50克重的球從3米高的地方落到地面上后又跳起2米高。求它所損失的機(jī)械能?！?.05公斤·米】

2、一個(gè)250公斤重的炸彈從800米高的地方投下。求它離地面100米高時(shí)和落地時(shí)的勢(shì)能和動(dòng)能各等于多少？【25000公斤·米，175000公斤·米，0,200000公斤·米】

3、一個(gè)重10公斤的鐵塊從10米高處自由落下，求鐵塊落到距地面5米處的動(dòng)能?！?90焦耳】

4、一個(gè)小球用3米/秒的速度沿水平桌面運(yùn)動(dòng)，然后滾上斜面。如果摩擦力和空氣阻力不計(jì)，試問(wèn)小球沿斜面能上升多少高？【約0.46米】

5、如果炮彈的質(zhì)量是槍彈質(zhì)量的900倍，炮彈與槍彈用同一速度射中目標(biāo)。問(wèn)炮彈所做的破壞功是槍彈所做的破壞功的多少倍？如果使槍彈的動(dòng)能等于炮彈的動(dòng)能，則槍彈的飛行速度應(yīng)該等于炮彈飛行速度的多少倍？【900倍，30倍】