【閱前提示】本篇出自『數理化自學叢書6677版』，此版叢書是“數理化自學叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎自學教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經與如今迥異，因此不建議零基礎學生直接拿來自學。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎教育但卻很不扎實的學酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學叢書”系列17冊的基礎上又添加了1冊八五人教中學甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學叢書”系列中代數4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數，使兩邊能夠對偶平衡；二則，我認為《微積分初步》這本書對“準大學生”很重要，以我的慘痛教訓為例，大一高數第一堂課，我是直接蒙圈，學了個寂寞。另外大學物理的前置條件是必須有基礎微積分知識，因此我所讀院校的大學物理課是推遲開課；而比較生猛的大學則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎高數（例如田光善舒幼生老師的力學課）。我選擇在“自學叢書”17本的基礎上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學前可以看看，不至于像我當年那樣被高數打了個措手不及。

第四章因式分解?

§4-7最高公因式

【01】在算術里，我們學過幾個整數的最大公約數?，F在我們先來復習一下最大公約數的意義和求法。

【02】任何一個整數，如果它能夠整除另一個整數，就叫它做后一個數的約數（或因數）。例如 12 是 36 的約數，12 也是 60 的約數。幾個數共同的約數叫做這幾個數的公約數，例如 12 是 36 和 60 的公約數。幾個數的公約數可能不止一個，例如 12 是 36 和 60 的公約數，6 也是 36 和 60 的公約數。在幾個數的所有公約數里，最大的一個公約數叫做這幾個數的最大公約數，例如 12 是 36 和 60 的最大公約數。

【03】要求兩個數的最大公約數，要先把這兩個數分解成為質因數的連乘積，并把相同的質因數寫成冪的形式。把這兩個數的所有相同質因數（如果這種質因數是用冪的形式表示的，那末要把次數最低的一個冪選出來）都選取出來，它們的連乘積就是所求的最大公約數。

例1.求 36 和 60 的最大公約數。

【解】36＝22·32；60＝22·3·5? ?！?36 和 60 的最大公約數是 22·3＝12? 。

【注】對于質因數 2，要取 22，因為如果只選用 2，那末 2×3＝6，就不是 36 和 60 的最大公約數。對于質因數 3，要取 3，因為如果取 32，那末 22·32＝36，就不是 60 的約數，因而不是 36 和 60 的公約數了。

例2.求 96，192 和 288 的最大公約數。

【解】先把它們分解成為質因數的連乘積。96＝2?·3，192＝2?·3，288＝2?·32? ?！?所求的最大公約數是 2?·3＝96? 。

【04】類似地在代數里，我們有時也要求幾個整式的最高公因式，所謂幾個整式的最高公因式，就是這些整式的公因式中次數最高的式子。現在把求幾個整式的最高公因式的方法，舉例說明如下：

例3.求 16a3b?x2，24a2b?x3，－32a?bx?y?的最高公因式。

【解】這三個代數式都是單項式，已經都是各個因式的連乘積的形式。我們只要選取它們共有的因式就是了。

拿數字系數來說，16，24，－32 的最大公約數是 8? 。（負號通常不要選入）

拿字母因數來說，我們選各個代數式共有的字母，而且選各個字母的最低的冪，得 a2bx2? 。

∴ 它們的最高公因式是 8a2bx2? 。

【注】在代數里，我們叫最高公因式而不叫最大公因式，因為我們只考慮它在所有公因式中關于各個字母的次數是最高的，至于它的值，如果字母取小于 1 的值，那末次數越高，代數式的值是越小的。

例4.求 a?－a3b＋ab3－b?，a?－2a2b2＋b?，a?－3a?b2＋3a2b?－b? 的最高公因式。

【解】這幾個整式都是多項式，要先分解因式。

a?－a3b＋ab3－b?＝a3(a－b)＋b3(a－b)＝(a－b)(a3＋b3)＝(a－b)(a＋b)(a2－ab＋b2)，

a?－2a2b2＋b?＝(a2－b2)2＝[(a＋b)(a－b)]2＝(a＋b)2(a－b)2，

a?－3a?b2＋3a2b?－b?＝(a2－b2)3＝(a＋b)3(a－b)3? 。

∴ 最高公因式是(a＋b)(a－b)? 。

例5.求 (a－b)(c－a)，(b－a)(a＋c)，(a－b)(b＋a) 的最高公因式。

【解】

(a－b)(c－a)＝－(a－b)(a－c)；

(b－a)(a＋c)＝－(a－b)(a＋c)；

(a－b)(b＋a)＝(a－b)(a＋b)? 。

∴ 最高公因式是 a－b? 。

習題4-7

求下列各式的最高公因式：