參考資料：

1. 《數(shù)學分析》（陳紀修 於崇華 編）

2. 《解析幾何》（呂林根 許子道 編）

3. 《高等代數(shù)習題集》（楊子旭 編）

數(shù)學分析——

例題（來自《數(shù)學分析（陳紀修 於崇華?編）》）——

求數(shù)列極限：lim{[n^（1/2）][（n^2+1）^（1/4）-（n+1）^（1/2）]}

思路：有減法，有偶次根式，考慮分子有理化——

1. [n^（1/2）][（n^2+1）^（1/4）-（n+1）^（1/2）]

   =[n^（1/2）][（n^2+1）^（1/2）-（n+1）]/[（n^2+1）^（1/4）+（n+1）^（1/2）]

   =[n^（1/2）][（n^2+1）-（n+1）^2]/{[（n^2+1）^（1/4）+（n+1）^（1/2）][（n^2+1）^（1/2）+（n+1）]}

   =[n^（1/2）][（n^2+1）-（n^2+2n+1）]/{[（n^2+1）^（1/4）+（n+1）^（1/2）][（n^2+1）^（1/2）+（n+1）]}

   ={-2n[n^（1/2）]}/{[（n^2+1）^（1/4）+（n+1）^（1/2）][（n^2+1）^（1/2）+（n+1）]}

2. 對分子分母進行降次，分子最高次為0——

   {-2n[n^（1/2）]}/{[（n^2+1）^（1/4）+（n+1）^（1/2）][（n^2+1）^（1/2）+（n+1）]}

   =-2/{[（1+1/n^2）^（1/4）+（1+1/n）^（1/2）][（1+1/n^2）^（1/2）+（1+1/n）]}；

3. 取極限——

   lim{[n^（1/2）][（n^2+1）^（1/4）-（n+1）^（1/2）]}

   =-2/lim{[（1+1/n^2）^（1/4）+（1+1/n）^（1/2）][（1+1/n^2）^（1/2）+（1+1/n）]}

   =-1/2.

解析幾何——

例題（來自《解析幾何（呂林根 許子道 編）》）——

a.在三角形ABC中，設AB=e1，AC=e2，設AT是角A的平分線（它與BC交于T點），將AT分解為e1，e2的線性組合.

b.在四面體OABC中，設點G是三角形ABC的重心（三中線之交點），求向量OG對于向量OA，OB和OC的分解式.

解——

a.過A點做BC邊上的高AD，過T點向邊AB，AC做垂線TE，TF——

1. 由角平分線性質(zhì)可知，TE=TF；

2. 計算三角形ABT和三角形ACT的面積，S三角形ABT=AB*TE/2=BT*AD/2，S三角形ACT=AC*TF/2=CT*AD/2；

3. 由2可得比式：

   （|AB|*|TE|/2）/（|AC|*|TF|/2）=（|BT|*|AD|/2）/（|CT|*|AD|/2），即|AB|/|AC|=|BT|/|CT|，即|AB|/|AC|=|BT|/（|BC|-|BT|），

   |BT|=|AB|*|BC|/（|AB|+|AC|），BT=|AB|BC/（|AB|+|AC|）

4. AT=AB+BT

   =AB+|AB|BC/（|AB|+|AC|）

   =AB+|AB|（AC-AB）/（|AB|+|AC|）

   =（|AC|AB+|AB|AC）/（|AB|+|AC|）

   =（|e2|e1+|e1|e2）/（|e1|+|e2|）.

b.由重心定義可得：

OG=OC+CG

=OC+（CA+CB）/3

=OC+[（OA-OC）+（OB-OC）]/3

=（OA+OB+OC）/3.

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)習題集（楊子旭）》）——證明：實數(shù)域和復數(shù)域之間不存在其他的數(shù)域。

證明：設R是實數(shù)域，K是復數(shù)域，而F是任意一個包含R且不同于R的數(shù)域——

1. F至少包含一個復數(shù)a+bi（b不為0）；

2. 由于F是數(shù)域，故i=[（a+bi）-a]/b；

3. 由于R是F的子集，故對任意的實數(shù)a，b，都有a+bi屬于F，即F包含全體復數(shù)，從而為復數(shù)域，得證。

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