文/心塵軒

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STKO模態(tài)分析視頻教程

參見(jiàn)相應(yīng)視頻

一、模型案例信息

文字描述：

結(jié)構(gòu)模型為6層5跨的平面框架結(jié)構(gòu)（這種框架形式多見(jiàn)于結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)理論的學(xué)術(shù)文章），跨度為4m, 層高為3m, 約束平面外的平動(dòng)自由度以防止面外變形，為簡(jiǎn)化建模過(guò)程，模型中的所有梁柱截面均采用400*400*20mm的空心箱型截面，每個(gè)節(jié)點(diǎn)賦予點(diǎn)質(zhì)量10t以考慮荷載和自重，底部為固定約束可見(jiàn)下圖。詳細(xì)的建模過(guò)程可以參見(jiàn)相應(yīng)的視頻教程。

二、振型形狀對(duì)比

下圖給出了abaqus 和STKO 結(jié)構(gòu)在第一和第二振型形狀的對(duì)比，結(jié)果表明兩個(gè)軟件幾乎一致，且呈圖均具有美觀欣賞性。

三、結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性對(duì)比

兩個(gè)軟件對(duì)比的結(jié)構(gòu)主要?jiǎng)恿μ匦裕渲邪ǎ禾卣髦?，圓頻率，模態(tài)有效質(zhì)量，模態(tài)參與系數(shù)，如下系列表所示。根據(jù)對(duì)比結(jié)果可知，兩個(gè)軟件分析的結(jié)果幾乎一致。由有效模態(tài)質(zhì)量表格可知，第一階有效模態(tài)占總質(zhì)量為83%，所以對(duì)于這樣的6層結(jié)構(gòu)，我們可以說(shuō)他的結(jié)構(gòu)動(dòng)力行為由其一階模態(tài)控制，如果考慮高階模態(tài)影響，則前兩階模態(tài)足以較精確地表達(dá)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。

四、歐拉梁和鐵木辛柯梁對(duì)模態(tài)分析的影響

第四點(diǎn)是一個(gè)細(xì)節(jié)問(wèn)題，總有同學(xué)問(wèn)我，為什么Abaqus 和OpenSEES 做出來(lái)的結(jié)果對(duì)不上。實(shí)際上，是我們并沒(méi)有考究我們的單元選擇。在Abaqus 中，若不做特殊設(shè)置，默認(rèn)的梁?jiǎn)卧强紤]剪切變形的鐵木辛柯梁，而在OpenSEES中默認(rèn)的elastic beam column 是歐拉梁。歐拉梁因?yàn)椴豢紤]剪切變形則會(huì)使得結(jié)構(gòu)稍稍偏剛，這一點(diǎn)可以從下表的對(duì)比可以看出，歐拉梁的模型的特征值和圓頻率均大于鐵木辛柯梁。因而在這一節(jié)，一并回復(fù)詢(xún)問(wèn)者，做模型一定要細(xì)心，每一個(gè)參數(shù)的設(shè)置都會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的懸殊。所以在Abaqus請(qǐng)明確使用的是B31 還是B33，在OpenSEES中可以使用section aggregator 進(jìn)行添加剪切剛度以考慮剪切變形，總之模型需要保持一致性。

五、幾何模型導(dǎo)入的快速建模

第五點(diǎn)內(nèi)容，可參見(jiàn)文首視頻教程，在這里不再贅述。

六、MDOF 和SDOF 等效合理性的驗(yàn)證

結(jié)構(gòu)多自由度等效為單自由度的理論是進(jìn)行結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)的一個(gè)重要內(nèi)容。通過(guò)動(dòng)力學(xué)的知識(shí)，我們可知，結(jié)構(gòu)在彈性狀態(tài)下，模態(tài)之間是正交互不影響的，于是通過(guò)對(duì)多自由度體系的推導(dǎo)如下：

我們可以得出以下結(jié)論：?地震輸入給結(jié)構(gòu)的總能量等于各個(gè)模態(tài)等效單自由度體系相應(yīng)能量的之和。因而，我們可以將復(fù)雜的MDOF 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具有相應(yīng)有效模態(tài)質(zhì)量的單自由度問(wèn)題。以雙自由度系統(tǒng)而言，如下圖：

這個(gè)雙自由度系統(tǒng)的地震響應(yīng)就等效為為兩個(gè)分別具有有效模態(tài)質(zhì)量的單自由度體系的疊加，也就是振型時(shí)程分析的原理。

在這里我們探討一個(gè)有趣的問(wèn)題，我們能否通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析就可以根據(jù)此結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性求得結(jié)構(gòu)在相應(yīng)振型荷載分布下的結(jié)構(gòu)初始剛度，這從原理上是可以實(shí)現(xiàn)的。通過(guò)模態(tài)分析，可以得出結(jié)構(gòu)的有效模態(tài)質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的模態(tài)圓頻率，也就求出結(jié)構(gòu)在相應(yīng)的模態(tài)下的剛度。那我們就嘗試下吧，對(duì)象為結(jié)構(gòu)一階模態(tài)下的結(jié)構(gòu)剛度。操作如下：

首先提取結(jié)構(gòu)一階模態(tài)對(duì)應(yīng)的振型，按照此振型分布模型對(duì)結(jié)構(gòu)施加水平分布力，并進(jìn)行模態(tài)推覆分析，如下圖所示。

結(jié)構(gòu)一階模態(tài)推覆得到的等效單自由度的剛度和通過(guò)模態(tài)分析得到的剛度計(jì)算如下圖。兩者高度吻合，說(shuō)明從剛度而言，MDOF 和相應(yīng)模態(tài)等效的SDOF 理論是合理的。實(shí)際上，我們這節(jié)開(kāi)頭也推導(dǎo)了MDOF和相應(yīng)模態(tài)等效的SDOF 從能量角度理論也是精確的。這些視角的分析和驗(yàn)證可以幫助我們進(jìn)一步深入理解動(dòng)力學(xué)的相關(guān)知識(shí)。

七、MDOF 和SDOF 等效在彈塑性狀態(tài)的延申

實(shí)際上這個(gè)問(wèn)題到目前為止依然沒(méi)有被解決，結(jié)構(gòu)一旦進(jìn)入彈塑性后，結(jié)構(gòu)的各階振型是耦聯(lián)的，并不再維持彈性狀態(tài)下的正交關(guān)系。因此在彈性狀態(tài)下的MDOF等效為相應(yīng)SDOF能否繼續(xù)延申至結(jié)構(gòu)的彈塑性狀態(tài)，是一個(gè)值得思考的問(wèn)題。前輩們也付出較多的努力和探索。直到一個(gè)知名的權(quán)威專(zhuān)家出來(lái)說(shuō)明：我們承認(rèn)結(jié)構(gòu)在進(jìn)入彈塑性狀態(tài)后結(jié)構(gòu)各個(gè)振型存在耦聯(lián)，也即某一個(gè)振型會(huì)對(duì)另一個(gè)振型產(chǎn)生影響，但我們可以假定如果我們繼續(xù)按照結(jié)構(gòu)彈性狀態(tài)下振型理論去計(jì)算結(jié)構(gòu)彈塑性的反應(yīng)響應(yīng)，如果得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)和結(jié)構(gòu)實(shí)際的響應(yīng)相比，精度滿足工程需求，那么，我們就有理由相信，即使結(jié)構(gòu)進(jìn)入彈塑性狀態(tài)，振型之間存在耦聯(lián)，但這種耦聯(lián)是比較弱的，忽略它并沿用結(jié)構(gòu)彈性狀態(tài)下的振型理論得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)是足以精確的描述結(jié)構(gòu)的行為。正是在這樣的指導(dǎo)思想下，結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)理論進(jìn)一步得到了發(fā)展，比如MPA，以及隨后的基于塑性的設(shè)計(jì)理論，也包括時(shí)下基于概率的結(jié)構(gòu)性能設(shè)計(jì)理論的等等，而提出這樣的假定的人就是知名結(jié)構(gòu)學(xué)家喬普拉。也非常推薦大家閱讀喬普拉關(guān)于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的專(zhuān)著，該專(zhuān)著中文版由謝禮立院士主持翻譯。《DYNAMICS OF STRUCTURES Theory and Applications to Earthquake Engineering》。

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