定義

經(jīng)過翻轉(zhuǎn)、平移、旋轉(zhuǎn)后，能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形，而該兩個(gè)三角形的三條邊及三個(gè)角都對(duì)應(yīng)相等。全等三角形指兩個(gè)全等的三角形，它們的三條邊及三個(gè)角都對(duì)應(yīng)相等。全等三角形是幾何中全等之一。

根據(jù)全等轉(zhuǎn)換，兩個(gè)全等三角形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后，仍舊全等。正常來說，驗(yàn)證兩個(gè)全等三角形一般用邊邊邊（SSS）、邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）、角角邊（AAS）、和直角三角形的斜邊，直角邊（HL）來判定。

性質(zhì)

1．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

2．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。

3. 能夠完全重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。

4．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等。

5．全等三角形的對(duì)應(yīng)角的角平分線相等。

6．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線相等。

7．全等三角形面積和周長相等。

8．全等三角形的對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值相等。

判定過程

在第一行寫要進(jìn)行判定全等的兩個(gè)三角形；第二行畫大括號(hào)，分別寫判定的三個(gè)條件，并注明理由；在第三行寫出結(jié)論，并說明理由。

五種理由

1.公共邊；2.已知；3.已證；4.公共角；5.由定義推到的角，如“對(duì)頂角相等”。

最后一行，寫兩個(gè)三角形全等并注明理由.（如圖1）（若為直角三角形，在第二行須先寫明兩個(gè)直角相等并為90度，再寫兩個(gè)斜邊、直角邊分別相等）。

（例：Rt△xxx與Rt△xxx）（提示：線段的垂直平分線上的一點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）

注意

三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形也不一定全等。

例題

SSS（邊邊邊）即三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

舉例：如圖3，AC=BD，AD=BC，求證∠A=∠B.

證明：在△ACD與△BDC中{AC=BD，AD=BC，CD=DC.

∴△ACD≌△BDC.（SSS）

∴∠A=∠B.（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）

圖三

SAS（邊角邊）即三角形的其中兩條邊對(duì)應(yīng)相等，且兩條邊的夾角也對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

舉例：如圖4，AB平分∠CAD，AC=AD，求證∠C=∠D.

證明：∵AB平分∠CAD.

∴∠CAB=∠BAD.在△ACB與△ADB中{AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB.

∴△ACB≌△ADB.（SAS）

∴∠C=∠D.（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）

圖四

AAS（角角邊）即三角形的其中兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且對(duì)應(yīng)相等的角所對(duì)應(yīng)的邊也對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

舉例：如圖5，AB=DE，∠A=∠E，求證∠B=∠D.

證明：在△ABC與△EDC中{∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE.

∴△ABC≌△EDC.（AAS）

∴∠B=∠D.（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）

圖5

推論

利用性質(zhì)和判定，學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地找出兩個(gè)全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角是關(guān)要驗(yàn)證全等三角形，不需驗(yàn)證所有邊及所有角也對(duì)應(yīng)地相同。以下判定，是由三個(gè)對(duì)應(yīng)的部分組成，即全等三角形可透過以下定義來判定：

SSS（Side-Side-Side）（邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對(duì)應(yīng)相等的話，該兩個(gè)三角形就是全等三角形。

SAS（Side-Angle-Side）（邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對(duì)應(yīng)相等，且這兩條邊的夾角（即這兩條邊組成的角）都對(duì)應(yīng)相等的話，該兩個(gè)三角形就是全等三角形。

ASA（Angle-Side-Angle）（角、邊、角）：各三角形的其中兩個(gè)角都對(duì)應(yīng)相等，且這兩個(gè)角的夾邊（即公共邊，）都對(duì)應(yīng)相等的話，該兩個(gè)三角形就是全等三角形。

AAS（Angle-Angle-Side）（角、角、邊）：各三角形的其中兩個(gè)角都對(duì)應(yīng)相等，且其中一個(gè)角的對(duì)邊（三角形內(nèi)除組成這個(gè)角的兩邊以外的那條邊）或鄰邊（即組成這個(gè)角的一條邊）對(duì)應(yīng)相等的話，該兩個(gè)三角形就是全等三角形。

HL定理（hypotenuse -leg） （斜邊、直角邊）：直角三角形中一條斜邊和一條直角邊都對(duì)應(yīng)相等，該兩個(gè)三角形就是全等三角形。

證明

一般來說線段和角相等需要證明全等。因此我們可以來采取逆向思維的方式。來想要證全等，則需要什么條件要證某某邊等于某某邊，那么首先要證明含有那兩個(gè)邊的三角形全等。

然后把所得的等式運(yùn)用（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）證明三角形全等。有時(shí)還需要畫輔助線幫助解題。常用的輔助線有：中線倍長，截長補(bǔ)短等。

分析完畢以后要注意書寫格式，在全等三角形中，如果格式不寫好那么就容易出現(xiàn)看漏的現(xiàn)象。

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